Problemas de Matemáticas Resueltos

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INICIO

24 de noviembre de 2016:

He añadido en la página de Máximo común divisor y mínimo común múltiplo:

Problema 63:

Las dimensiones de una caja son: 1,65 m; 2,1 m y 3 m. Se hacen construir cajas cúbicas las mayores que sea posible, cuyo lado sea un número exacto de cm y con las cuales se pueda llenar completamente la caja. Halla el lado y el número de estas cajas.

solución-mcd-y-mcm-63

18 de Septiembre de 2016:

He añadido en la página de Progresiones Aritméticas:

Problema 46:

Calcular la suma de todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 100 y 10.000.

solución-progresiones-aritméticas-46

Problema 47:

El área de un triángulo rectángulo es 54 m2. Calcular las longitudes de sus lados, sabiendo que están en progresión aritmética.

solución-progresiones-aritméticas-47

Problema 48:

Hallar una progresión aritmética de nueve términos, sabiendo que los tres primeros suman 36 y los tres últimos 162.

solución-progresiones-aritméticas-48

Problema 49:

La suma de los veinticinco primeros términos de una progresión aritmética  vale 800, y el producto de sus extremos es -272. Calcular el término primero, el último y el que ocupa el lugar veinte. Supóngase que la progresión es decreciente.

solución-progresiones-aritméticas-49

Problema 50:

Hallar el valor de los ángulos interiores de un pentágono convexo, sabiendo que están en progresión aritmética y que la diferencia entre al mayor y el menor es 140º.

solución-progresiones-aritméticas-50

 

17 de Septiembre de 2016:

He añadido en la página de Progresiones Geométricas:

Problema 37:

Determinar el valor que se ha de dar a x para que los términos x+2, 3x+2 y 9x-2 estén en progresión geométrica. Calcular la suma de los cinco primeros términos de esta progresión y la suma de la progresión geométrica indefinida:

imgprgm_37

para el valor de x antes hallado.

solución-progresiones-geométricas-37

He añadido en la página de progresiones Aritméticas:

Problema 44:

La suma de tres números en progresión aritmética  vale 15; y si al segundo de estos números se les resta una unidad, resulta una progresión geométrica. Hallar dichos números.

solución-progresiones-aritméticas-44

Problema 45:

¿Cuántos números impares consecutivos a partir del 1 es preciso tomar para que su suma sea igual 7744.

solución-progresiones-aritméticas-45

13 de Septiembre de 2016:

He añadido en la página de Progresiones Geométricas:

Problema 32:

Entre el 8 y el 5832 se interpolan 5 términos que forman con los números dados una progresión geométrica. Calcular el quinto término de esta progresión.

solución-progresiones-geométricas-32

Problema 33:

Calcular el número de términos que hay que tomar en la progresión geométrica:

imgprgm_32

para  que su suma sea 442865.

solución-progresiones-geométricas-33

Problema 34:

En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cada término es igual a la suma de los dos siguientes. Hallar la razón de la progresión.

solución-progresiones-geométricas-34

Problema 35:

En una progresión geométrica de cuatro términos el primero es el log 32 en el sistema de base 4 y el último es el coeficiente del término cuarto del desarrollo:

imgprgm_35

Hallar la razón de la progresión y la suma de los términos.

solución-progresiones-geométricas-35

Problema 36:

Encontrar el quinto término a5 de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos son:

imgprgm_36-1

Hallar la suma de la serie geométrica:

imgprgm_36-2

solución-progresiones-geométricas-36

11 de Septiembre de 2016:

He añadido en la página de Progresiones Geométricas:

Problema 31:

Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su producto es 27000 y su suma 130.

solución-progresiones-geométricas-31

10 de Septiembre de 2016:

He añadido en la página de Progresiones Geométricas:

Problema 30:

El producto de tres números en progresión geométrica es 216. Si se multiplica el primero por 12, el segundo por 5 y el tercero por dos se obtienen tres números en progresión aritmética, dispuestos en el mismo orden. Calcular dichos números.

solución-progresiones-geométricas-30

He añadido en la página de progresiones Aritméticas:

Problema 42:

En la progresión aritmética: 3…..23……59, el número de términos que hay entre 3 y 23 es la mitad de los comprendidos entre 23 y 59. Hallar la razón, el número de términos y la suma de ellos.

solución-progresiones-aritméticas-42

Problema 43:

Hallar la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de los cuadrados de los términos segundo y séptimo es 477, y que la diferencia entre los términos octavos y segundo es 18.

solución-progresiones-aritméticas-43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

349 pensamientos en “INICIO

  1. Muchíssssimas Gracias Manuel🙂 Ojalá todos los maestros fueran como usted🙂

    Atte. Una estudiante desvelada pero feliz de haber terminado la tarea gracias a usted🙂

    De verdad un millón de Gracias🙂

  2. Buenas Noches Manuel puedes por favor colaborar me en estos dos puntos que los debo entregar mañana te agradecería mucho.

    Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.

    – f(x) = cos√3x^−2 + 2

    – f”'(x)=6x^2+5x-6

    Muchas Gracias.

    • July:
      No he podido hacerlos hasta ahora. Lo siento
      1.– f(x) = cos√3x^−2 + 2
      Entiendo que (3x^−2 + 2) está incluido dentro de la raíz cuadrada
      Y que:
      3x^−2 + 2= (3/x^2)+2, y el último +2 está fuera de la fracción 3/x^2
      Luego función a derivar es:
      – f(x) = cos√3/(x^2) + 2
      La derivada del coseno es: y= cosx; y´= -senx
      En nuestro caso x es una función: √3/(x^2) + 2, que habrá que derivar también.
      Es la derivada de un cociente, de la que solo hay que aplicar su fórmula
      f´(x)= -[sen√3/(x^2) + 2].(-2x.3)/[(x^2)^2]/2√3/(x^2)+2= -[sen√3/(x^2) + 2][-6x/2x^4√3/(x^2)+2]= [sen√3/(x^2) + 2](3/x^3√3/(x^2)+2)
      2.– f”'(x)=6x^2+5x-6
      f´(x)= 12x+5
      f´´(x)= 12
      f(x)´´´=0

  3. Buena noches Manuel, por favor me ayuda con estos dos ejercicios, gracias por su colaboración

    1. f(x)=e^X/(ln⁡(x))
    2. 2sen(x).cos⁡(y)=1

    • Yury:
      1. f(x)=e^x/(ln⁡(x))
      f´(x)= [(e^x).ln x-1/x.e^x]ln^2(x)= e^x[lnx -1/x]/ln^2(x)
      2. 2sen(x).cos⁡(y)=1
      Entiendo que te piden calcular la derivada implícita, es decir, dy/dx.
      Para mayor facilidad hacemos eñ siguiente cambio de variable:
      dy/dx=y´
      [0.sen(x).cos⁡(y)]+2.cosx.cosy+2(-seny).y´.senx= 0
      2(-seny).y´.senx= -2.cosx.cosy
      y´= -2.cosx.cosy/2(-seny).senx
      y´= cosx.cosy/seny.senx
      deshaciendo el cambio de variable:
      dy/dx= cosx.cosy/seny.senx

  4. Buenos días Manuel, serías tan amable de colaborarme con estos ejercicios:

    1-〖f(x)= 2〗^senx.x^3

    2-f(x)=ln√((1+cosx)/(1-cosx))

    3- x^3-2x^2 y+3xy^2=38

    4- dada f(x)= 4x^2-x^3+3x^2 ; hallar f^”” (x)

    • Andrea:
      1-〖f(x)= 2〗^senx.x^3
      Tal y como pones el enunciado, me resulta confuso, entiendo que es:
      f(x)= (2^senx).(x^3)
      f´(x)=(2^senx).Ln2.cosx.(x^3)+(2x^2).(2^senx)= (x^2).(2^senx)(x.cosx.Ln2+2)
      2-f(x)=ln√((1+cosx)/(1-cosx))
      Entiendo que la expresión: (1+cosx)/(1-cosx) está incluida dentro de la raíz cuadrada
      Vamos a transformarlo en uha expresión más sencilla para derivar, aplicando logaritmo en el segundo término
      f(x)=ln√((1+cosx)/(1-cosx))= ln[(1+cosx)/(1-cosx)]^1/2= 1/2.{ln[(1+cosx)/(1-cosx)]}
      Ahora empezamos a derivar la expresión:
      f(x)= 1/2.{ln[(1+cosx)/(1-cosx)]}
      f´(x)= 0.{ln[(1+cosx)/(1-cosx)]}+1/2.{(-senx)(1-cosx)-[-(-senx)(1+cosx)]/[(1-cosx)^2]/1+cosx/1-cosx=
      =-senx+senx.cosx-senx-senx.cosx/1-cos^2x= -2 senx/sen^2x= -2/senx
      3- x^3-2x^2 y+3xy^2=38
      Nos piden hallar dy/dx, para mayor facilidad haremos el siguiente cambio de variable:
      dy/dx= y´
      3x^2-4xy+2x^2.y´+3y^2+6xy.y´= 0
      y´(2x^2+6xy)= -3x^2+4xy-3y^2
      y´= 4xy-3x^2-3y^2/2x^2+6xy
      4- dada f(x)= 4x^2-x^3+3x^2 ; hallar f^”” (x)
      f(x)= 4x^2-x^3+3x^2= 7x^2-x^3
      f´(x)= 14x-3x^2
      f´´(x)= 14-6x
      f´´´(x)= -6
      f´´´´(x)= 0

      • Hola Manuel, no se como te va con la fisica pero quisiera que me ayudaras con un problema el cual describo a continuacion.

        Tres carros de masas 4.50 kg, 9.50 kg y 3.50 kg, se mueven sobre una pista horizontal sin fricción con magnitudes de velocidad de 4.00 m/s, 5.00 m/s y -6.00 m/s. Acopladores de velcro hacen que los carros queden unidos después de chocar. (a)Encuentre la velocidad final del tren de tres carros, asumiendo que los tres bloques se chocan entre sí de manera simultánea b) ¿Qué pasaría si, su respuesta requiere que todos los carros choquen y se unan en el mismo momento? ¿Qué sucedería si chocan en diferente orden? Presente dos posibles casos de choques diferentes, es decir, dos situaciones en las que el orden del choque entre los tres bloques sea diferente.

        Espero que puedas ayudarme!!!
        Gracias

  5. Buenas tardes Manuel ayúdame con este ejercicio.
    Calcular la derivada implícita hallar (dx/dy)
    x^3 y^3-y=x

    te lo agradezco

  6. Buenos días Manuel ayúdame por favor con estos ejercicios.

    Calcular el intervalo solución de la inecuacion
    2x+3 >=que x+5
    4x+3(3x+2)/2
    (6x-2)/5>(3x-2)/3

    el intervalo [0,+infinito) es solución de que desigualdad

    el intervalo (-infinito,0) es solución de que desigualdad

    con la explicación, te lo agradezco

    • Omar:
      No me queda claro el enunciado, es decir, si es un sistema de inecuaciones o son inecuaciones independientes.
      Por lo que me indicas al final del texto parece deducirse que son tres inecuaciones independientes:
      1.- 2x+3 >=que x+5
      Para anular el término +3, restamos en ambos lados -3
      2x+3-3>=que x+5-3
      2x>=que x+2
      Para anular el término +x, restamos en ambos lados -x
      2x-x>=que x-x+2
      x>=que 2
      Al ser >=, el intervalo es :[2, +∞⁡)
      —————–2————————–+∞
      —————–[————————–)
      2.- 4x+3(3x+2)/2 (Falta el símbolo de la desigualdad)
      3.- (6x-2)/5>(3x-2)/3
      En este caso aunque hay denominadores, no está la incógnita en ellos por lo que se puede actuar con el caso 1:
      3(6x-2)>5(3x-2)
      18x-6>15x-10
      18x-15x>-10+6
      3x>-4
      En este caso no se invierte el signo de la desigualdad por el que el coeficiente de la x es positivo:
      x>3/4
      x>0,75
      el intervalo es :(3/4, +∞⁡)
      —————–3/4————————–+∞
      —————–(—————————–)

  7. Ayúdame con este ejercicio: Si en la sucesión aritmética: 124; 1ab;…… el vigésimo término es 23n, entonces el valor de a+b+n es:
    a)15
    b)14
    c)13
    d)12
    e)11

  8. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas

    R1) (2,0, -3) + λ(1,3,-2)

    R2) (1, -2,4) +λ(-3, -9, 6)

    • Yeimmy:
      Dos rectas paralelas nos definen un plano.
      P1
      —–.——-R1———-

      —–.——-R2———-
      P2

      Verifico que son paralelas, ya que el vector director (1,3,-2) (x-3)= (-3,-9,6)
      Ahora necesito un punto del plano (P1) y un vector normal, éste lo obtengo del vector director de una de las rectas y el vector P1P2, y de esta manera obtengo el vector normal
      P1P2= (1,-2,4)-(2,0, -3)= (-1,-2,7)
      vector director de una de ellas: d1= (1,3,-2)
      Para obtener el vector normal, resuelvo el siguiente determinante:
      i———j———-k
      m=(-1)—–(-2)——–7
      1———3———(-2)
      m= -17i-5j-k = (-17,-5,-1)
      Ecuación de la recta:
      P1Pxm=0
      (x-2,y-0,z+3).(-17,-5,-1)= 0
      -17(x-2)-5(y-0)-1(z+3)=0
      -17x+34-5y-z-3=0
      -17x-5y-z+31=0

  9. Manuel buenas noches
    por favor me colaboras con este ejercicio

    Hallar la derivada de orden superior

    x(t) = 40 + 6t -4t^2 determinar x” (t)

    gracias

  10. Buenos días Manuel cordial saludo me puedes ayudar con este problema gracias:
    De una empresa que produce elementos arquitectónicos, se tiene la siguiente información: En el producto 1 se gastan 3400 gramos de
    plástico, 1200 gramos de metal y 800 gramos de madera. En el producto 2 se consumen 1100 gramos de plástico, 900 gramos de metal y
    1200 gramos de madera. Para el producto 3 se consumen 800 gramos de plástico, 750 gramos de metal y 600 gramos de madera. Si en una
    semana a la empresa entraron 960 kilos de plástico, 573 kilos de metal y 540 kilos de madera ¿Cuántos elementos del producto 1, cuántos del producto 2 y cuántos elementos del producto 3 saldrán de la empresa? [recuerde que un kilo son mil gramos]

    • Diego:
      Así entiendo el problema:
      Es un sistema de ecuaciones lineales que se resuelve aplicando a la regla de Cramer:
      Sea x la cantidad de elementos del producto 1
      Sea y la cantidad de elementos del producto 2
      Sea z la cantidad de elementos del producto 3
      3,4x+1,1y+0,8z= 960
      1,2x+0,9y+0,75z= 573
      0,8x+1,2y+0,6z= 540
      Calculamos el determinante del sistema, el formado por los coeficientes de las incógnitas:
      3,4—1,1—0,8
      1,2—0,9—0.75
      0,8—1,2—0,6
      Resolviendo mediante la regla de Cramer, se obtiene que d= -0,78
      Ahora calculamos el determinante de cada incógnita, que es el que resulta de sustituir , en el del sistema, la columna de los coeficientes de dicha incógnita por los términos independientes o constantes con los signos que les corresponden cuando están solos en los segundos miembros de las ecuaciones:
      Determinante de x:
      960—1,1—0,8
      573—0,9—0,75
      540—1,2—0,6
      El resultado es -117
      Luego x= -117/-0,78= 150 elementos del producto 1.
      Determinante de y:
      3,4—960—0,8
      1,2—573—0,75
      0,8—540—0,6
      El resultado es -171,6
      Luego y= -171,6/-0,78= 220 elementos del producto 2.
      Determinante de z:
      3,4—1,1—960
      1,2—0,9—573
      0,8—1,2—540
      El resultado es -202,8
      Luego y= -202,8/-0,78= 260 elementos del producto 3

  11. Hola Manuel Peña, me ayudaste en el ejercicio f (x) = In(x) ; 𝑓′′ (x) mil gracias, pero otro compañero lo tomó y lo realizó ya que no lo subí…ahora me toca realizar este f (x) = log(x) ; 𝑓′′(𝑥)…que pena molestarte. gracias

  12. Buenas noches me podrían ayudar con la solución de este ejercicio.
    b) Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas

    R1) (2,0, -3) + λ(1,3,-2)
    R2) (1, -2,4) +λ(-3, -9, 6)

    • KikeVm:
      Dos rectas paralelas nos definen un plano.
      P1
      —–.——-R1———-

      —–.——-R2———-
      P2

      Verifico que son paralelas, ya que el vector director (1,3,-2) (x-3)= (-3,-9,6)
      Ahora necesito un punto del plano (P1) y un vector normal, éste lo obtengo del vector director de una de las rectas y el vector P1P2, y de esta manera obtengo el vector normal
      P1P2= (1,-2,4)-(2,0, -3)= (-1,-2,7)
      vector director de una de ellas: d1= (1,3,-2)
      Para obtener el vector normal, resuelvo el siguiente determinante:
      i———j———-k
      m=(-1)—–(-2)——–7
      1———3———(-2)
      m= -17i-5j-k = (-17,-5,-1)
      Ecuación de la recta:
      P1Pxm=0
      (x-2,y-0,z+3).(-17,-5,-1)= 0
      -17(x-2)-5(y-0)-1(z+3)=0
      -17x+34-5y-z-3=0
      -17x-5y-z+31=0

  13. Buenas noches Manuel, ayúdame con estos ejercicios con la explicación paso a paso.

    Aplicando las reglas de la derivación, calcular las siguientes derivadas
    f(x)= x^4/e^x
    f(x)= x^2*2^x

    Calcula las siguientes Derivadas implícitas. Hallar ( dx / dy )
    x^3y^3-y=x

    Calcula las siguientes derivadas de orden superior
    dada f(x)=2^x Hallar f´´´(x)

    • Gerrard:
      1.- f(x)=x^4/e^x
      En primer lugar es la derivada de un cociente:
      Para mayor claridad hacemos: f(x)=y
      y=u/v
      y´= vu´-uv´/v^2
      En este caso:
      u=x^4
      Es la derivada de una potencia: u´= n.u^n-1.u´
      u´= 4x^3
      En este caso
      v=e^x
      Es la derivada de la función e^x: v´=e^x
      En este caso:
      v´= e^x
      Luego
      f´(x)= (4x^3.e^x)-(e^x-x^4)/(e^x)^2
      Sacamos factor común en el numerador: e^x
      f´(x)= e^x(4x^3-x^4)/(e^x)^2= 4x^3-x^4/e^x
      2.- f(x)= x^2*2^x
      Es la derivada de un producto:
      y= u.v
      y´= u.v´+v.u´
      En este caso:
      u= x^2 (es la derivada de una potencia, igual que ene el caso anterior)
      u´= 2x
      v= 2^x
      Esta es la derivada de la función: y= a^x
      y´= a^x.Lna
      En este caso:
      v´= 2^x.Ln2
      Luego:
      f´(x)= x^2.2^x.Ln2+2x.2^x
      Sacamos factor común x.2^x
      f´(x)= x.2^x(x.Ln2+2)
      2.- Calcula las siguientes Derivadas implícitas. Hallar ( dx / dy )
      x^3y^3-y=x
      Hacemos el cambio dy/dx=y´ para mayor sencillez
      x^3y^3-y-x= 0
      Lo 1º que nos encontramos es la derivada de un producto: x^3.y^3 y ya sabemos cuál es la fórmula: u.v=u´.v+u.v´
      Luego:
      3x^2.y^3+x^3.3y^2.y´
      Después lo que nos aparece son las derivadas de dos funciones:
      Luego sería:
      3x^2.y^3+x^3.3y^2.y´-y´-1= 0
      Sacamos factor común y´:
      3x^2.y^3+y´(x^3.3y^2-1)= 1
      y´(x^3.3y^2-1)= 1-3x^2.y^3
      y´= 1-3x^2.y^3/x^3.3y^2-1
      Deshacemos el cambio:
      dy/dx=1-3x^2.y^3/x^3.3y^2-1
      3.- Calcula las siguientes derivadas de orden superior
      dada f(x)=2^x Hallar f´´´(x)
      Es la derivada de la función:
      y=a^x
      y´= a^x.Lna
      En nuestro caso:
      f(x)=2^x
      f´(x)= 2^x.Ln2
      f´´(x) es la derivada de un producto
      f´´(x)= (2^x.Ln2).Ln2 +0= 2^x.[(Ln^2)2] (cero porque la derivada de una constante es cero)
      f´´´(x)= 2^x.Ln2.[(Ln^2)2]+0= 2^x.[(Ln^3)2]

  14. M podrias colaborar con este problema. Determinar las ecuaciones paramétricas del plano que contiene al punto p(-3,1,4) y a la recta de ecuacion, x-1/3=y+1/2=z-4

  15. Ayúdame con un ejercicio de cálculo: f (x) = In(x) ; 𝑓′′ (x)…por fia no se olviden de mi ayúdenme es el único que me falta por hacer y no lo he entendido…..gracias

    • Liseth:
      f(x) = Ln(x)
      Esta es la derivada de la función y= Lnx
      Su derivada es:
      y´= 1/x
      Luego, en nuestro caso:
      f(x) = Ln(x)
      f´(x) = 1/x
      Ahora, la 2ª derivada es la derivada de un cociente: y= u/v, cuya derivada es: y´= u´.v-v´.u/u^2
      En nuestro caso, es aun más sencillo ya que el numerado es una constante y la derivada de una constante es cero:
      f´´(x) = 0.x-1.1/x^2
      f´´´(x)= -1/x^2

  16. Manuel me puede ayudar con estos ejercicios

    1. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas

    R1) (2,0, -3) + λ(1,3,-2)
    R2) (1, -2,4) +λ(-3, -9, 6)

    2. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los dos planos
    π_1=2x-y+3z=2 π_2=x-3y+4z=9

    3.Determinar las ecuaciones paramétricas del plano que contiene al punto P(-3,1,4) y a la recta de ecuación,

    (x-1)/3 = (y+1)/2 = z-4

    4. Para el siguiente plano π = 2x -4y +z = 6 proponga planos que cumplan las siguientes condiciones:
    Que sea un plano paralelo
    Que sea un plano ortogonal
    Que sea un plano coincidente (el mismo plano)

    • Andrés:
      1.- Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas paralelas
      R1) (2,0, -3) + λ(1,3,-2)
      R2) (1, -2,4) +λ(-3, -9, 6)
      Dos rectas paralelas nos definen un plano.
      P1
      —–.——-R1———-

      —–.——-R2———-
      P2

      Verifico que son paralelas, ya que el vector director (1,3,-2) (x-3)= (-3,-9,6)
      Ahora necesito un punto del plano (P1) y un vector normal, éste lo obtengo del vector director de una de las rectas y el vector P1P2, y de esta manera obtengo el vector normal
      P1P2= (1,-2,4)-(2,0, -3)= (-1,-2,7)
      vector director de una de ellas: d1= (1,3,-2)
      Para obtener el vector normal, resuelvo el siguiente determinante:
      i———j———-k
      m=(-1)—–(-2)——–7
      1———3———(-2)
      m= -17i-5j-k = (-17,-5,-1)
      Ecuación de la recta:
      P1Pxm=0
      (x-2,y-0,z+3).(-17,-5,-1)= 0
      -17(x-2)-5(y-0)-1(z+3)=0
      -17x+34-5y-z-3=0
      -17x-5y-z+31=0

  17. Hola Manuel

    Por fa me colaboras con estos ejercicios

    1. Encuentre la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección de los dos planos
    𝜋1 = 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 2 𝜋2 = 𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 9
    2. Determinar las ecuaciones paramétricas del plano que contiene al punto P(-3,1,4) y a la recta de ecuación,
    𝑥 − 1/3=𝑦 + 1/2= 𝑧 − 4

    Gracias

  18. Hola Manuel podrías ayudarme con estos ejercicios. Te agradezco mucho tu ayuda.

    Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.

    a) f(x)=x.e^x

    b) f(x)=x^2.ln⁡(x)

    • Álex:
      a) f(x)=x.e^x
      Es la derivada de un producto:
      f(x)= u.v
      f´(x)= u´.v+v´.u
      En nuestro caso
      a) f(x)=x.e^x
      u= x
      v= e^x
      f´(x)= 1.e^x+e^x.x= e^x+e^x.x= e^x(1+x)
      b) f(x)=x^2.ln⁡(x)
      Es igual que la anterior:(derivada de un producto)
      f´(x)= 2x.Lx+(1/x).x^2= 2x.Lx+x= x(2Lx+1)= x(Lx^2+1)

  19. Buen dia manuel,

    Me puedes ayudar con estos problemas:

    Hallar el área que, en el primer cuadrante, está limitada por el eje X y por la siguiente función: y=6x+x^2-x^3

    Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

    2. Encuentre el área de la región comprendida entre la parábola y^2=x-3 y la recta y=x-5

    Sugerencia: Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

    3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtiene al rotar la gráfica de y=2raiz de x entre x = 3 y x = 8 alrededor del eje X.

  20. Hola, Porfa me colabora con estos ejercicios

    Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.
    f(x)=x^4/e^x

    f(t)=t-1/t^2+2t+1

    Gracias

    • Claudia:
      1.- f(x)=x^4/e^x
      f´(x)= (4x^3.e^x)-(e^x-x^4)/(e^x)^2
      Sacamos factor común en el numerador: e^x
      f´(x)= e^x(4x^3-x^4)/(e^x)^2= 4x^3-x^4/e^x
      2.- f(t)=t-1/t^2+2t+1
      f´(t)=1.(t^2+2t+1)-(2t-2)(t-1)/(t^2+2t+1)^2
      Sabemos que:
      t^2+2t+1= (t+1)^2
      f´(t)=1.(t^2+2t+1)-(2t+2)(t-1)/(t^2+2t+1)^2= (t+1)^2-[2(t+1)(t-1)]/[(t+1)^2]^2=(t+1)^2-[2(t+1)(t-1)]/(t+1)^4
      Sacamos (t+1) factor común en el numerador:
      (t+1)[(t+1)-2(t-1)/(t+1)^4= (t+1)-2(t-1)/(t+1)^3= t+1-2t+2/(t+1)^3= 3-t/(t+1)^3

  21. Hola Por fa Me podrían ayudar con este Ejercicio de Derivadas
    Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.
    Calcula las siguientes Derivadas Implícitas.
    𝑥^2 + 𝑦^2 = 16
    Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
    Dada
    f (x)= ln(x) ;
    Hallar
    𝑓 ′ ′(𝑥)

    Gracias

    • Claudia:
      Calcula las siguientes Derivadas Implícitas.
      𝑥^2 + 𝑦^2 = 16
      Nos piden calcular dy/dx= y´ (este cambio lo hacemos para una mayor facilidad, y cada vez que aparezca y le añadimos y´)
      2x+2y.y´= 0
      Despejamos y´
      2y.y´= -2x
      y.y´= -x
      y´=-x/y
      Ahora deshacemos el cambio:
      dy/dx= -x/y
      Dada
      f (x)= ln(x) ; Hallar 𝑓 ′ ′(𝑥):
      f´´(x)= [f´(x)]´
      Es decir 1º hallaremos la 1ª derivada y a continuación derivaremos esta 1ª derivada.
      Sabemos que la derivada del f(x)=Lnx = 1/x
      Luego:
      f´(x)= 1/x
      La 2ª derivada es la derivada de un cociente f(x)= u/v , y que sabemos es: f´(x)= v.u´-u.v´/v^2
      Luego:
      f´´(x)= 0.1-1.1/x^2= -1/x^2

  22. les pido el favor que ayuden con este ejercicio, En el siguiente sistema: 𝑘𝑥 + 8𝑦 = 62 3𝑥 + 4𝑘𝑦 = 54 ¿Cuáles son los valores de k para que el sistema tenga solución única

    • Liseth:
      Así entiendo el problema:
      Regla de Cramer:
      1.- Todo sistema lineal de n ecuaciones , en este caso 2, no homogéneas, con n incógnitas, en este caso 2, cuyo determinante no es nulo, tiene una solución única.
      2.- El valor de cada incógnita es el cociente de dividir su determinante por el determinante del sistema.
      Calculamos el determinante del sistema:
      k——8
      3—–4k
      4k^2-24
      Si el resultado lo igualamos a cero:
      4k^2-24= 0
      k^2= 24/4= 6
      k1= √6
      k2=-√6
      Para estas dos soluciones el determinante del sistema es 0, como los determinantes de x e y son diferente de 0, solo para estos dos valores de k1 y k2 el sistema es incompatible, es decir para cualquier otro valor de k, diferente de k1= √6 k2=-√6, el sistema será compatible y tendrá una solución única

    • Liseth:
      El problema que me planteas:
      7𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 20
      8𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 = 14
      14𝑥1 − 4𝑥2 + 8𝑥3 = 60
      Realizando los procesos adecuados, verificar si el sistema tiene solución única, tiene infinitas soluciones o no tiene solución. Proponga un método
      rápido analítico para que sin tener que hacer todos los pasos detecte la validez de su respuesta
      Me aparece como spam, por eso te lo respondo aquí, y así entiendo el problema:
      Mediante la aplicación de la regla de Cramer, llegamos a la siguiente conclusión:
      El determinante del sistema, es decir, el determinante (d) formado por los coeficientes de las incógnitas, escritos en su su mismo orden es, en este caso, nulo
      Los determinantes de cada una de las incógnitas dx; dy y dz son distintos de cero, de manera que:
      x= dx/d= -100/0
      y= dy/d= 1340/0
      z= dz/d= 1720/0
      Lo que significa que el sistema es imposible o incompatible porque ningún número x, y ,z multiplicado por cero puede dar un número finito

  23. por favor ayúdenme a resolver este ejercicio. Encuentre las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que cumple con las condiciones dadas:
    a) Que contenga a los puntos (6, −5,8) 𝑦 (−2,4, −4)

    • Liseth:
      Sea P (6, −5,8) y Q (−2,4, −4)
      las ecuaciones paramétricas son de la forma:
      x= x1+at
      y= y1+bt
      z= z1+ct
      Las ecuaciones simétricas son de la forma:
      x-x1/a=y-y1/b=z-z1/c
      Definimos el vector V= PQ= (-2-6)i+[4-(-5)]j+[(-4)-8]k= -8i+9j-12k
      a= -8
      b= 9
      c= -12
      Las ecuaciones paramétricas para P son:
      x= 6-8t
      y= -5+9t
      z= 8-12t
      Las ecuaciones simétricas para P son:
      x-6/-8=y+5/9=z-8/-12

  24. por favor alguien que me ayude con este ejercicio, Un granjero tiene tres fincas que producen cebada, trigo y colza. En la finca Villa María produjo 3.4 toneladas de Cebada. 1.9 toneladas
    de trigo y 0.8 toneladas de colza. Por la venta de lo producido en esta finca ganó 2631000 unidades monetarias. En la finca El Encanto
    produjo 2.8 toneladas de Cebada, 1.2 toneladas de trigo y 1 tonelada de colza, lo que implicó una venta de sus productos de 2162000
    unidades monetarias. En Los Rosales produjo 6.3 toneladas de Cebada, 2 toneladas de trigo y 1.5 toneladas de colza, lo que le dejó una
    ganancia de 4139000 unidades monetarias por esta finca. ¿A cuánto vendió la tonelada de cada producto?

    • Liseth:
      Liseth:
      Así entiendo el problema:
      Es un sistema de ecuaciones lineales que se resuelve aplicando a la regla de Cramer:
      Sea x el número de unidades monetarias de venta de tonelada de cebada
      Sea y el número de unidades monetarias de venta de tonelada de trigo
      Sea z el número de unidades monetarias de venta de tonelada de colza
      3,4x+1,9y+0.8z= 2631000
      2,8x+1,2y+z= 2162000
      6,3x+2y+1,5z=4139000
      Calculamos el determinante del sistema, el formado por los coeficientes de las incógnitas:
      3,4—1,9—0,8
      2,8—1,2—1
      6,3—2—1,5
      Resolviendo mediante la regla de Cramer, se obtiene que d= 1,742
      Ahora calculamos el determinante de cada incógnita, que es el que resulta de sustituir , en el del sistema, la columna de los coeficientes de dicha incógnita por los términos independientes o constantes con los signos que les corresponden cuando están solos en los segundos miembros de las ecuaciones:
      Determinante de x:
      2631000—1,9—0,8
      2162000—1,2—1
      4139000—2—1,5
      El resultado es 661960
      Luego x= 661960/1,742= 380.000 unidades monetarias
      Determinante de y:
      3,4—2631000—0,8
      2,8—2162000—1
      6,3—4139000—1,5
      Resolviéndose de la misma manera:
      Luego y= 490.000 unidades monetarias
      Determinante de z:
      3,4—1,9—2631000
      2,8—1,2—2162000
      6,3—2—4139000
      Luego z= 510.000 unidades monetarias

  25. Buena noches……..Manuel por favor me puede ayudar con estos ejercicios, gracias por su colaboración

    Ejercicio1: limx→-2⁡(x^2-3x+1)
    Ejercicio 2: limt→3)t^2-9/t^2-5t+6
    Ejercicio 3: (lim⁡ θ→0)⁡ senθ / 2θ

    • Yury:
      Ejercicio 1: lim x→-2⁡(x^2-3x+1)
      Damos a x su valor: 2
      lim x→-2⁡(x^2-3x+1)= (2^2-3.2+1)= 4-6+1= -1
      Ejercicio 2: limt→3)t^2-9/t^2-5t+6
      sustituyendo y por su valor queda una indeterminación de la forma: 0/0
      lim t→3)t^2-9/t^2-5t+6
      (t^2-9)= (t-3)(t+3) [es una igualdad notable de tipo (a^2-b^2)=(a-b)(a+b)]
      t^2-5t+6 = (t-3)(t-2)
      Por tanto podemos poner:
      lim t→3)t^2-9/t^2-5t+6= lim t→3)(t-3)(t+3)/(t-3)(t-2)
      A continuación simplificamos t-3 en el numerador y en el denominador
      lim t→3)(t+3)/(t-2)
      Ahora sustituimos t por su valor: 3
      lim t→3)(t+3)/(t-2)= 3+3/3-2= 6/1= 6
      Ejercicio 3: (lim⁡ θ→0)⁡ senθ / 2θ
      Sustituyendo 0 por su valor queda una indeterminación del tipo: 0/0
      (lim⁡ θ→0)⁡ senθ/2θ= (lim⁡ θ→0sen0.0/20.0=(lim⁡ θ→0 sen0/0.0/20= 1.1/2= 1/2

  26. Buenas noches Manuel, me puedes colaborar con estos ejercicios

    1- lim┬(h→3)⁡〖(√2h+3-h )/(h-3)〗

    2- lim┬(X→∞)⁡〖(4x^5 -6x^4+3x^2)/(3X^2+5x^2+6x)〗

    3- lim┬(θ→0)⁡〖Sen⁡〖θ⁄2〗/θ〗

    • Andrea:
      1- lim┬(h→3)⁡〖(√2h+3-h )/(h-3)〗
      Sustituyendo h por su valor queda una indeterminación del tipo 0/0
      Ahora la fracción la multiplicamos por el conjugado del numerador(√2h+3-h): (√2h+3+h):
      lim┬(h→3)⁡〖(√2h+3-h )(√2h+3+h)/(h-3)(√2h+3+h)
      El numerador es una igualdad notable del tipo: (a-b)(a+b)= (a^2-b^2)
      lim┬(h→3)⁡ 2h+3-h^2/(h-3)(√2h+3+h)=lim┬(h→3)⁡ (-1)(h^2-2h-3)/(h-3))(√2h+3+h)
      h^2-2h-3 = (h-3)(h+1)
      lim┬(h→3)⁡ (-1)[(h-3)(h+1))]/(h-3)(√2h+3+h)
      simplificamos (h-3) en el numerador y denominador
      lim┬(h→3)⁡ (-1)[(h+1))]/√2h+3+h)
      Damos a h su valor:
      (-1)(3+1)(√2.3+3+3)= (-1).4/3+3= -4/6= -2/3
      Ejercicio 2: lim┬(X→∞)⁡〖(4x^5 -6x^4+3x^2)/(3X^2+5x^2+6x)〗
      ¿Es correcto el enunciado del ejercicio 2? en el denominador aparece 3X^2+5x^2+6x= ¿8x^2+6x?
      Ejercicio 3: (lim⁡ θ→0)⁡ senθ / 2θ
      Sustituyendo 0 por su valor queda una indeterminación del tipo: 0/0
      (lim⁡ θ→0)⁡ senθ/2θ= (lim⁡ θ→0sen0.0/20.0=(lim⁡ θ→0 sen0/0.0/20= 1.1/2= 1/2

      • lim┬(X→∞)⁡〖(4x^5 -6x^4+3x^2)/(3X^2+5x^2+6x)〗

        es este el ejercicio.

      • Andrea:
        ¿Estás segura del enunciado?:
        lim┬(X→∞)⁡〖(4x^5 -6x^4+3x^2)/(3X^2+5x^2+6x)〗: 3X^2+5x^2= 8^2

      • Hola Manuel, si estoy segura así es el enunciado del problema.
        ¿Cuál es la solución?

      • Andrea:
        Así entiendo el problema:
        lim┬(X→∞)⁡〖(4x^5 -6x^4+3x^2)/(3X^2+5x^2+6x)〗:
        Sustituyendo x por su valor , nos da una indeterminación del tipo ∞/∞
        lim┬(X→∞)⁡〖(4x^5 -6x^4+3x^2)/(3X^2+5x^2+6x)〗=lim┬(X→∞)⁡〖(4x^5 -6x^4+3x^2)/(8X^2+6x)〗:
        Sacamos factor común x en la fracción:
        lim┬(X→∞)⁡〖x(4x^4 -6x^3+3x)/x(8x+6)〗:
        Simplificamos la x
        lim┬(X→∞)⁡〖(4x^4 -6x^3+3x)/(8x+6)〗:
        Dividimos por la mayor potencia de x:x^4
        lim┬(X→∞)⁡〖(4x^4/x^4 -6x^3/x^4+3x/x^4/)/(8x/x^4+6/x^4)〗:
        Simplificamos
        〖(4-6/x+3/x^3/)/(8/x^3+6/x^4)〗:
        Sustituimos x por su valor
        〖(4-6/∞+3/∞)/(8/∞+6/∞+)〗:
        〖(4-0+0)/(0+0)〗= 4/0= ∞

  27. gracias manuel, por tu ayuda.
    me puedes explicar este otro limite sin utilizar la regla de L´Hospital, (lim⁡ θ→0)⁡ θ/senθ

  28. Buenas noches, por favor ayuda con este ejercicio, álgebra lineal

    En el siguiente sistema:
    kx+8y=62
    3x+4ky=54

    ¿Cuáles son los valores de k para que el sistema tenga solución única?

    • Mónica:
      Así entiendo el problema:
      Regla de Cramer:
      1.- Todo sistema lineal de n ecuaciones , en este caso 2, no homogéneas, con n incógnitas, en este caso 2, cuyo determinante no es nulo, tiene una solución única.
      2.- El valor de cada incógnita es el cociente de dividir su determinante por el determinante del sistema.
      Calculamos el determinante del sistema:
      k——8
      3—–4k
      4k^2-24
      Si el resultado lo igualamos a cero:
      4k^2-24= 0
      k^2= 24/4= 6
      k1= √6
      k2=-√6
      Para estas dos soluciones el determinante del sistema es 0, como los determinantes de x e y son diferente de 0, solo para estos dos valores de k1 y k2 el sistema es incompatible, es decir para cualquier otro valor de k el sistema será compatible y tendrá una solución única

      • Se podría resolver por sarrus?

      • Gracias Manuel, =) excelente…..

      • Mónica:
        Gracias por tu comentario

      • Hola manuel, agradezco tu ayuda, mil bendiciones, otro favor me puedes ayudar con este:

        Considere el sistema
        (7x_1-2x_2+4x_3=20
        8x_1+4x_2-5x_3= 14
        14x_1-4x_2+8x_3=60)

        Realizando los procesos adecuados, verificar si el sistema tiene solución única, tiene infinitas soluciones o no tiene solución. Proponga un método rápido analítico para que sin tener que hacer todos los pasos detecte la validez de su respuesta.

        de antemano gracias por tu ayuda.

      • Mónica:
        Calculamos el determinante del sistema (coeficientes de las incógnitas) mediante la aplicación de regla de Cramer: Ds= 0
        Calculamos los determinantes de las incógnitas mediante la aplicación de regla de Cramer: Dx; Dy; Dz
        Concluimos que:
        x= Dx/Ds
        y= Dy/Ds
        z= Dz/Ds
        Como Ds es igual a cero; concluimos que no hay ningún x, y, z que multiplicado por cero dé: Dx; Dy; Dz
        Luego el sistema es imposible o incompatible
        Método rápido analítico:
        7—-(-2)—–4
        8——4—-(-5)
        14—(-4)—–8
        1ª Fila x-2+ 2ª Fila:
        7—-(-2)—–4
        8——4—-(-5)
        0——0——0

  29. ayuada
    a. De una empresa que produce elementos arquitectónicos, se tiene la siguiente información: En el producto 1 se gastan 3400 gramos de plástico, 1200 gramos de metal y 800 gramos de madera. En el producto 2 se consumen 1100 gramos de plástico, 900 gramos de metal y 1200 gramos de madera. Para el producto 3 se consumen 800 gramos de plástico, 750 gramos de metal y 600 gramos de madera. Si en, Una semana a la empresa entraron 960 kilos de plástico, 573 kilos de metal y 540 kilos de madera ¿Cuántos elementos del producto 1, cuántos del producto 2 y cuántos elementos del producto 3 saldrán de la empresa? [recuerde que un kilo son mil gramos] algebra lineal

    • Jhon:
      Así entiendo el problema:
      Es un sistema de ecuaciones lineales que se resuelve aplicando a la regla de Cramer:
      Sea x la cantidad de elementos del producto 1
      Sea y la cantidad de elementos del producto 2
      Sea z la cantidad de elementos del producto 3
      3,4x+1,1y+0,8z= 960
      1,2x+0,9y+0,75z= 573
      0,8x+1,2y+0,6z= 540
      Calculamos el determinante del sistema, el formado por los coeficientes de las incógnitas:
      3,4—1,1—0,8
      1,2—0,9—0.75
      0,8—1,2—0,6
      Resolviendo mediante la regla de Cramer, se obtiene que d= -0,78
      Ahora calculamos el determinante de cada incógnita, que es el que resulta de sustituir , en el del sistema, la columna de los coeficientes de dicha incógnita por los términos independientes o constantes con los signos que les corresponden cuando están solos en los segundos miembros de las ecuaciones:
      Determinante de x:
      960—1,1—0,8
      573—0,9—0,75
      540—1,2—0,6
      El resultado es -117
      Luego x= -117/-0,78= 150 elementos del producto 1.
      Determinante de y:
      3,4—960—0,8
      1,2—573—0,75
      0,8—540—0,6
      El resultado es -171,6
      Luego y= -171,6/-0,78= 220 elementos del producto 2.
      Determinante de z:
      3,4—1,1—960
      1,2—0,9—573
      0,8—1,2—540
      El resultado es -202,8
      Luego y= -202,8/-0,78= 260 elementos del producto 3.

  30. Hola Manuel, me ayudas con este ejercicio por favor

    lim┬(X→2)⁡〖(3-√4X+1)/(X^2-2X)〗

    • Andrea:
      Si sustituimos x por su valor (2) es una indeterminación del tipo 0/0
      lim┬(X→2)⁡〖(3-√4X+1)/(X^2-2X)〗
      Multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado de (3-√4X+1), su conjugado es: (3+√4X+1), por tanto:
      lim┬(X→2)⁡〖(3-√4X+1)(3+√4X+1)/(X^2-2X)(3+√4X+1)〗
      En el numerador queda una igualdad notable, de manera que suma (3+√4X+1) por diferencia (3-√4X+1) es igual a diferencia de cuadrados: 3^2-(√4X+1)^2= 9-(4x+1), así:
      lim┬(X→2)⁡〖9-(4x+1)/(X^2-2X)(3+√4X+1)〗= lim┬(X→2)⁡〖9-4x-1/(X^2-2X)(3+√4X+1)〗=lim┬(X→2)⁡〖8-4x/(X^2-2X)(3+√4X+1)〗= lim┬(X→2)⁡〖-4(-2+x)/(X^2-2X)(3+√4X+1)〗
      lim┬(X→2)⁡〖-4(x-2)/x(x-2)(3+√4X+1)〗= lim┬(X→2)⁡〖-4/x(3+√4X+1)〗
      Ahora sustituimos x por su valor: 2
      〖-4/2(3+√4.2+1)〗= 〖-4/2(3+√8+1)〗= 〖-4/2(3+√9)〗=〖-4/2(3+3)〗= 〖-4/2.6〗= 〖-4/12〗= -1/3

  31. Por favor alguen que me ayude con este ejercicio, Gracias Un granjero tiene tres fincas que producen cebada, trigo y colza. En la finca Villa María produjo 3.4 toneladas de Cebada. 1.9 toneladas de trigo y 0.8 toneladas de colza. Por la venta de lo producido en esta finca ganó 2631000 unidades monetarias. En la finca El Encanto produjo 2.8 toneladas de Cebada, 1.2 toneladas de trigo y 1 tonelada de colza, lo que implicó una venta de sus productos de 2162000 unidades monetarias. En Los Rosales produjo 6.3 toneladas de Cebada, 2 toneladas de trigo y 1.5 toneladas de colza, lo que le dejó una ganancia de 4139000 unidades monetarias por esta finca. ¿A cuánto vendió la tonelada de cada producto?

    • Liseth:
      Así entiendo el problema:
      Es un sistema de ecuaciones lineales que se resuelve aplicando a la regla de Cramer:
      Sea x el número de unidades monetarias de venta de tonelada de cebada
      Sea y el número de unidades monetarias de venta de tonelada de trigo
      Sea z el número de unidades monetarias de venta de tonelada de colza
      3,4x+1,9y+0.8z= 2631000
      2,8x+1,2y+z= 2162000
      6,3x+2y+1,5z=4139000
      Calculamos el determinante del sistema, el formado por los coeficientes de las incógnitas:
      3,4—1,9—0,8
      2,8—1,2—1
      6,3—2—1,5
      Resolviendo mediante la regla de Cramer, se obtiene que d= 1,742
      Ahora calculamos el determinante de cada incógnita, que es el que resulta de sustituir , en el del sistema, la columna de los coeficientes de dicha incógnita por los términos independientes o constantes con los signos que les corresponden cuando están solos en los segundos miembros de las ecuaciones:
      Determinante de x:
      2631000—1,9—0,8
      2162000—1,2—1
      4139000—2—1,5
      El resultado es 661960
      Luego x= 661960/1,742= 380.000 unidades monetarias
      Determinante de y:
      3,4—2631000—0,8
      2,8—2162000—1
      6,3—4139000—1,5
      Resolviéndose de la misma manera:
      Luego y= 490.000 unidades monetarias
      Determinante de z:
      3,4—1,9—2631000
      2,8—1,2—2162000
      6,3—2—4139000
      Luego z= 510.000 unidades monetarias

  32. ayuda con estos ejercicios por favor

    (limx→1)x3−2×2+x/x−1
    (limx→−1)(x+1)3/x3+1
    (limx→∞)√x2−4/x−2
    (limθ→0)θ/senθ

    • Eduardo:
      1.- (limx→1)x3−2×2+x/x−1
      Sustituyendo x por su valor da una indeterminación del tipo: 0/0
      (limx→1)x3−2×2+x/x−1= (limx→1)x(x^2−2x+1)/x−1= (limx→1)x(x-1)^2/x−1= (limx→1)x(x-1)= 1(1-1)1.0= 0
      2.-(limx→−1)(x+1)3/x3+1
      Sustituyendo x por su valor da una indeterminación del tipo: 0/0
      (limx→−1)(x+1)^3/x^3+1= (limx→−1)(x+1)(x+1)(x+1)/x^3+1
      Hallando las soluciones de x^3+1 por Ruffini, tenemos que: x^3+1= (x+1)(x^2-x+1)
      Luego:
      (limx→−1)(x+1)(x+1)(x+1)/x^3+1= (limx→−1)(x+1)(x+1)(x+1)/(x+1)(x^2-x+1)= (limx→−1)(x+1)(x+1)/(x^2-x+1)= 0/(-1)^2-(-1)+1= 0/3= 0
      3.- (limx→∞)√x2−4/x−2
      Sustituyendo x por su valor da una indeterminación del tipo: ∞/∞
      (limx→∞)√x2−4/x−2=(limx→∞)√(x−2)(x+2)/x−2 (x^2-4 es una igualdad notable)
      (limx→∞)√(x−2)(x+2)/√x−2√x−2= (limx→∞)√(x+2)/√x−2= (limx→∞)√(x/x+2/x)/√x/x−2/x= √(1+2/∞)/√1−2/∞= √(1+0)/√1−0= 1
      4.- (limθ→0)θ/senθ
      Sustituyendo θ por su valor da una indeterminación del tipo: 0/0
      (limθ→0)θ/senθ= (limθ→0)θ/θ= 1

  33. Buena tarde manuel, me puedes ayudar con estos limites

    Ejercicio 1: (lim x→1)⁡ x^3-2x^2+x / x-1

    Ejercicio 2: (lim x→-1)⁡ (x+1^3) / x^3+1

    Ejercicio 3: (limx→∞) √x^2-4 / x-2

    Ejercicio 4: (lim⁡ θ→0)⁡ θ / senθ

    • Gerrard:
      1.- (limx→1)x3−2×2+x/x−1
      Sustituyendo x por su valor da una indeterminación del tipo: 0/0
      (limx→1)x3−2×2+x/x−1= (limx→1)x(x^2−2x+1)/x−1= (limx→1)x(x-1)^2/x−1= (limx→1)x(x-1)= 1(1-1)1.0= 0
      2.-(limx→−1)(x+1)3/x3+1
      Sustituyendo x por su valor da una indeterminación del tipo: 0/0
      (limx→−1)(x+1)^3/x^3+1= (limx→−1)(x+1)(x+1)(x+1)/x^3+1
      Hallando las soluciones de x^3+1 por Ruffini, tenemos que: x^3+1= (x+1)(x^2-x+1)
      Luego:
      (limx→−1)(x+1)(x+1)(x+1)/x^3+1= (limx→−1)(x+1)(x+1)(x+1)/(x+1)(x^2-x+1)= (limx→−1)(x+1)(x+1)/(x^2-x+1)= 0/(-1)^2-(-1)+1= 0/3= 0
      3.- (limx→∞)√x2−4/x−2
      Sustituyendo x por su valor da una indeterminación del tipo: ∞/∞
      (limx→∞)√x2−4/x−2=(limx→∞)√(x−2)(x+2)/x−2 (x^2-4 es una igualdad notable)
      (limx→∞)√(x−2)(x+2)/√x−2√x−2= (limx→∞)√(x+2)/√x−2= (limx→∞)√(x/x+2/x)/√x/x−2/x= √(1+2/∞)/√1−2/∞= √(1+0)/√1−0= 1
      4.- (limθ→0)θ/senθ
      Sustituyendo θ por su valor da una indeterminación del tipo: 0/0
      (limθ→0)θ/senθ= (limθ→0)θ/θ= 1

      • Buenas tardes Manuel, por favor me puedes ayudar con estos ejercicios. gracias:
        lim┬(x→2)⁡[(7sen(x-2)sec⁡(x-2))/(tan⁡(x-2))]

        lim┬(x→∞)⁡〖(2x+3)/(3x+1)〗

        lim┬(x→1)⁡〖(x^3-1)/(x^2-1)〗

        Cordialmente Davinson Aguirre

      • Davinson:
        1.- Lim┬(x→2)⁡[(7sen(x-2)sec⁡(x-2))/(tan⁡(x-2))]
        Sustituyendo x por su valor, es una indeterminación de la forma 0/0
        Sabemos que: secx= 1/cosx, luego: sec(x-2)= 1/cos(x-2)
        Sustituimos en el límite:
        Lim┬(x→2)⁡[(7sen(x-2)sec⁡(x-2))/(tan⁡(x-2))]=Lim┬(x→2)⁡[(7sen(x-2)/cos⁡(x-2))/(tan⁡(x-2))]
        Sabemos que: senx/cosx= tagx
        Luego: sen(x-2)/cos(x-2)= tg(x-2)
        Sustituimos en el límite:
        Lim┬(x→2)⁡[(7sen(x-2)/cos⁡(x-2))/(tan⁡(x-2))]= Lim┬(x→2)⁡[(7tg(x-2)/(tan⁡(x-2))]= 7
        2.- lim┬(x→∞)⁡〖(2x+3)/(3x+1)〗
        Sustituyendo x por su valor, es una indeterminación de la forma ∞/∞
        Dividimos numerador y denominador por x:
        lim┬(x→∞)⁡〖(2x+3)/(3x+1)〗= lim┬(x→∞)⁡〖(2x/x+3/x)/(3x/x+1/x)〗= lim┬(x→∞)⁡〖(2+3/x)/(3+1/x)〗
        Sustituimos x por su valor
        (2+3/∞)/(3+1/∞)= 2+0/3+0= 2/3
        3.- lim┬(x→1)⁡〖(x^3-1)/(x^2-1)〗
        Sustituyendo x por su valor, es una indeterminación de la forma 0/0
        lim┬(x→1)⁡〖(x^3-1)/(x^2-1)〗=lim┬(x→1)⁡〖(x^3-1)/(x-1)(x+1)〗 (x^2-1) es una igualdad notable: suma por diferencia es iguala la diferencia de cuadrados, aunque en este caso habría que decir que la diferencia de cuadrados x^2-1= a la suma por diferencia (x+1)(x-1)
        Dividimos aplicando la regla de Ruffini x^3-1/x-1= (x^2+x+1)(x-1)
        Sustituimos en el límite:
        lim┬(x→1)⁡〖(x^3-1)/(x-1)(x+1)〗= lim┬(x→1)⁡〖(x^2+x+1)(x-1)/(x-1)(x+1)〗= lim┬(x→1)⁡〖(x^2+x+1)/(x+1)〗= 1+1+1/1+1= 3/2

      • manuel gracias, te agradezco si me explicas este limite mejor paso a paso te agradezco (limx→∞)√x2−4/x−2

      • Eduardo:
        (limx→∞)√x2−4/x−2
        Sustituyendo x por su valor da una indeterminación del tipo: ∞/∞
        (x^2-4) es una igualdad notable porque suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados, en este caso hay que leerlo al revés, es decir la diferencia de cuadrados: (x^2-4) es igual a la suma (x+2) por la diferencia (x-2), de manera que si multiplicas (x-2)(x+2)= (x^2-4)
        Esta igualdad notable te permite expresar el numerador de otra forma más simple, de manera que te queda:
        (limx→∞)√x2−4/x−2=(limx→∞)√(x−2)(x+2)/x−2
        El numerador es una raíz cuadrada con dos términos (radicando) dentro de la raíz: (x-2)(x+2)
        El denominador es (x-2), pero (x-2)= √(x−2)(x-2), es decir: raíz cuadrada con dos términos (radicando) dentro de la raíz, en este caso (x-2). Otro ejemplo: 3= (√3)x(√3)=(√3.3=√9= 3
        El límite te queda:
        (limx→∞)√(x−2)(x+2)/(√x−2)(√x−2)= (limx→∞)√(x−2)√(x+2)/(√x−2)(√x−2)
        Por tanto en el numerador y ene el denominador tienes una expresión igual y que puede simplificarse: √(x−2)/√(x−2), quedándote los dos que no se pueden simplificar porque son diferentes: √(x+2)/(√x−2)
        Entonces, el límite se simplifica y queda:
        (limx→∞)√(x+2)/√x−2=
        Ahora dividimos numerador y denominador por x
        (limx→∞)√(x/x+2/x)/√x/x−2/x=
        Finalmente damos a x su valor: ∞
        √(1+2/∞)/√1−2/∞= √(1+0)/√1−0= √1= 1
        Espero haberte aclarado el problema

  34. Buen día, necesito ayuda para resolver este problema.

    Usar el Método de Punto Fijo para aproximar la raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 + 4𝑥 − 𝑒^𝑥, comenzando con Xo=0,con 5 iteraciones.

    Muchas gracias.

  35. Buenas tardes Manuel:
    Me podrías colaborar con el siguiente ejercicio:
    Determinar la cota inferior y/o superior de la siguiente sucesión:
    1/2n
    Muchas gracias.

    • Angie:
      Así entiendo el problema:
      Para ello, damos valores a n: (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=1/2n; y en el eje X los valores de n)
      n= 1——–a1= 1/2.1= 1/2= 0,5
      n= 2——–a2= 1/2.2= 1/4= 0,25
      n= 3——–a3= 1/2.3= 1/6= 0,16…
      n= 4—–-a4= 1/2.4= 1/8= 0,125
      Su cota superior es 0,5: CS= 0,5 porque ningún valor de la sucesión va a ser mayor que 0
      Su cota inferior es 0 CI=0 porque la función tiende a 0

  36. Problema 7. Se reparte un bono de Navidad a los 10 mejores vendedores de una empresa. Se sabe que, a mayor venta mayor bono, y que la diferencia entre 2 bonos consecutivos es siempre constante y es de 500 Además el vendedor 1 recibe el menor bono y el vendedor 10 recibe el mayor bono. Si el vendedor 3 recibe un bono de 250.

    a) ¿Cuánto recibe el mejor vendedor?
    b) ¿Cuánto recibe el peor vendedor?
    c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar
    d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar

  37. Ejemplos de sucesiones monótonas

  38. Hola Manuel,

    Me podrías ayudar con éstos. Saludos y gracias de antemano!!

    a) De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    3n/n-1
    n+1/n-1

    b)De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    -4,9,-16,25,-36,49,…

    -5, 7/2, (-9)/3, 11/4, (-13)/5,…

    Determinar si la progresión es geométrica o aritmética, su razón o diferencia común y si es
    creciente o decreciente

    c) 𝑈𝑛 = 5
    d) 𝑈𝑛 = −6 (elevado)𝑛−1

    Gracias de antemano, Saludos

    • Gabriel:
      Así entiendo los problemas:
      a.1. De la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o superior 3n/n-1
      Para ello, damos valores a n: (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=3n/n-1; y en el eje X los valores de n)
      n= 1—-3.1/1-1= 3/0= infinito
      n= 2—-3.2/2-1= 6/1= 6
      n= 3—-3.3/3-1= 9/2= 4,5
      Su cota superior no tiene
      Su cota inferior es 3 CI=3
      a.2. De la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o superior Un= (n+1)/(n-1)
      Para ello, damos valores a n: (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=(n+1)/(n-1); y en el eje X los valores de n)
      n= 1—-1+1/1-1= 2/0= infinito
      n= 2—-2+1/2-1= 3/1= 3
      n= 3—-3+1/3-1= 4/2= 2
      n0 4–4+1/4-1= 5/3= 1,6…
      Su cota superior no tiene
      Su cota inferior es 1 CI=1
      b.1. la siguiente sucesiones, Determinar si es monótona y si converge o diverge, justificar la respuesta.
      -4,9,-16,25,-36,49,…
      Es una sucesión alternada porque alterna los signos de sus términos (por ejemplo movimientos oscilatorios)
      Su representación sería como dientes de sierra cada vez con mayor ordenada tanto positiva como negativa según se hace mayor la abscisa
      -5, 7/2, (-9)/3, 11/4, (-13)/5,…
      Es una sucesión alternada porque alterna los signos de sus términos (por ejemplo movimientos oscilatorios)
      Su representación sería como dientes de sierra cada vez con mayor ordenada tanto positiva como negativa según se hace mayor la abscisa
      c) 𝑈𝑛 = 5
      Es una sucesión constante
      d) 𝑈𝑛 = −6 (elevado)𝑛−1
      Es una progresión geométrica de razón -6

  39. El jardín de María tiene forma rectangular y es el triple de largo que de ancho, si fuera tres metros más corto y tres metros más largo sería un cuadrado. El perímetro del jardín es:
    10
    36
    12
    24

    • Luna:
      Entiendo que el enunciado quiere decir:
      El jardín de María tiene forma rectangular y es el triple de largo que de ancho, si fuera tres metros más corto y tres metros más ancho sería un cuadrado.
      El rectángulo es:
      ————-3x———–
      / /
      / /
      x x
      / /
      /———–3x———–/
      Si fuera tres metros más corto: 3x-3
      Y tres metros más ancho: x+3
      Como es un cuadrado sus lados son iguales, luego:
      3x-3= x+3
      3x-x= 3+3
      2x=6
      x=6/2= 3
      Luego los lados del cuadrado miden: x+3= 3+3= 6
      El perímetro es la suma de sus lados, como es un cuadrado son iguales: 4.6= 24 metros

  40. Hola Manuel Peña por favor me podrías ayudar con este problema: Simplificar la expresión. 2^x+4^x+1 . 3^4x . 36 (2^2x + 4^x) ^-3 3.8^x 16 81^x

    • Walyamos:
      No entiendo la expresión:
      1er término: dos elevado a x
      2º término: cuatro elevado a x
      3er término: uno por tres elevado a cuatro x por 36…
      ¿Puedes insertar en el comentario la dirección que me remita al enunciado exacto, o insertar el enunciado como una imagen?

  41. ¿Cuántas monedas de cada denominación hay en una cantidad de $60, si se conoce que existen monedas de 5 centavos y 1 dólar?

    • Jhon:
      Sea x las monedas de 1 dólar
      Las monedas de 1 centavo serán: 60-x
      Luego:
      100x+5(60-x)= 6000
      100x+300-5x= 6000
      100x-5x= 6000-300
      95x= 5700
      x= 5700/95
      x= 60 monedas de 1 dólar
      No hay monedas de 5 centavos

  42. Necesito ayuda con este problema. Un agricultor recibió 91 375.00 por su cosecha de café. Si cada quintal se vendió en 43.00, ¿de cuántos quintales fue la cosecha del agricultor?

  43. En una PG el a5=12 y el a1=3…halla la razón

    • Estrella:
      Sabemos que: an= a1.r^n-1
      En este caso en particular
      a5= a1.r^5-1
      Sustituimos sus valores:
      12= 3.r^4
      r^4= 12/3= 4
      r^4=4
      También se puede expresar como:
      (r^2)^2= 4=2^2
      Simplificando:
      r^2=2
      De donde despejando r, tenemos:
      r= raíz cuadrada de 2

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