Problemas de Matemáticas Resueltos

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TRIGONOMETRÍA

Problema 46:

La sombra de un árbol mide 50 m y el ángulo que forman los rayos del sol con el suelo es de 60º. ¿Cuál es la altura del árbol?

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 46

Problema 45:

Una escalera de 12 metros de largo está apoyada en una pared con un ángulo de 60º respecto al suelo. Calcular  hasta  altura de la pared hasta donde apoya la escalera, y la separación de ésta a la pared.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 45

Problema 44:

Calcular la altura del pico de una montaña, sabiendo que, en ese momento del día, el Sol incide con sus rayos sobre el suelo con un ángulo de 75º y provoca una sombra sobre el suelo de 53 metros.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 44

Problema 43:

Con los datos que se acotan en la figura, calcular la longitud  de AB

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 43

Problema 42:

En un triángulo isósceles los dos lados iguales miden 10 cm y su área vale 48 cm2. Calcula el valor de sus ángulos

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 42

Problema 41:

En un terreno horizontal se divisa una torre desde un punto A bajo un ángulo de 30º. Si nos aproximamos 20 m se llega a un punto B, desde el que observamos la torre bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 41

Problema 40:

Demostrar que se verifica la siguiente igualdad:

Img_trig_40

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 40

Problema 39:

Transformar la expresión

Img_trig_39

En otra calculable por logaritmos

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 39

Problema 38:

Resolver

Img_trig_38

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 38

Problema 37:

Simplificar la siguiente expresión:

Img_trig_37

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 37

 

Problema 36:

Expresar

Img_trig_36-1

En función de

Img_trig_36-2

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 36

Problema 35:

Resolver la ecuación siguiente, para valores de x comprendidos entre 0º y 180º

Img_trig_35

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 35

Problema 34:

Demostrar que se verifica la siguiente igualdad:

Img_trig_34

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 34

Problema 33:

Obtener todas las soluciones de la siguiente ecuación, y deducir las válidas

Img_trig_33

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 33

Problema 32:

Deducir  tgx de la ecuación:

Img_trig_32

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 32

Problema 31:

Resolver:

Img_trig_31

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 31

Problema 30:

Resolver:

Img_trig_30

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 30

Problema 29:

Simplificar la expresión

Img_trig_29

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 29

Problema 28:

Resolver

Img_trig_28

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 28

Problema 27:

Sabiendo que

Img_trig_27

Hallar tg 2a

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 27

Problema 26:

Resolver:

Img_trig_26

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 26

Problema 25:

Resolver:

Img_trig_25

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 25

Problema 24:

Hallar el valor de x, menor que un cuadrante, que satisface a la ecuación:

Img_trig_24

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 24

 

Problema 23:

Resolver  la siguiente ecuación, siendo x menor que un cuadrante:

Img_trig_23

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 23

Problema 22:

Resolver  la ecuación:

Img_trig_22

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 22

Problema 21:

Resolver  la ecuación:

Img_trig_21

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 21

Problema 20:

Resolver  la ecuación:

Img_trig_20

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 20

Problema 19:

Simplificar  la siguiente expresión:

Img_trig_19

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 19

Problema 18:

Hallar el verdadero valor de la expresión siguiente, para x=90º

Img_trig_18

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 18

Problema 17:

Simplificar la expresión

Img_trig_17

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 17

Problema 16:

Transformar la expresión

Img_trig_16

en otra calculable por logaritmos.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 16

Problema 15:

Transformar la siguiente expresión en otra que no figure más que tg a

Img_trig_15

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 15

Problema 14:

Demostrar que si

Img_trig_14-1

Se verifica la siguiente igualdad:

Img_trig_14-2

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 14

Problema 13:

Hallar el valor de la siguiente expresión

Img_trig_13

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 13

Problema 12:

Transforma la expresión que se cita a continuación en otra calculable por logaritmos:

Img_trig_12

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 12

Problema 11:

Sabiendo que cosa= 0,62. Hallar el valor  de cosa/2, siendo

Img_trig_11

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 11

Problema 10:

Simplifica:

Img_trig_10

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 10

Problema 9:

Hallar, en función de m, los valores de las demás líneas trigonométricas del arco a. Siendo tga = m.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 9

Problema 8:

Demostrar que se verifica la igualdad siguiente

Img_trig_8

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 8

Problema 7:

Si se verifica que

Img_trig_7

y sen a=2/3, ¿cuál es el valor de sec2a?

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 7

 

Problema 6:

Sabiendo que

Img_trig_6

Calcular el valor de cotg 2a

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 6

Problema 5:

Sabiendo que sen 30º= 1/2, hallar el valor, aproximado en milésimas, del seno de 75º

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 5

Problema 4:

Cotg x= 2,84. Calcular el valor, aproximado en milésimas, de la cosecante del mismo arco.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 4

Problema 3:

Hallar los valores de las líneas trigonométricas del arco de 240º, sin recurrir a las tablas.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 3

Problema 2:

Dado sen x=3/5, determinar los valores de las demás líneas trigonométricas del arco x.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 2

 

Problema 1:

Sabiendo que el coseno de un arco comprendido entre 270º y 360º tiene por valor 0,4004, calcular los valores aproximados en milésimas, de las demás líneas trigonométricas.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 1

 

 

21 pensamientos en “TRIGONOMETRÍA

  1. El pie de una escalera de 12 m está apoyada contra una pared, quedando a 5m de ésta, suponiendo que el suelo es horizontal, ¿qué ángulo forma la escalera y el suelo?

    • Brisa:
      La escalera AB tiene una longitud de 12 m: AB= 12 m
      Se apoya contra la pared, separándose el pie de la escalera de la pared 5 m: CA= 5 m
      Por tanto se forma un triángulo rectángulo ABC, en el que la hipotenusa es la longitud de la escalera (AB=12m); y el cateto contiguo (AC= 5m)
      Luego:
      cos x= 5/12
      x= arccos 5/12= 65,37º aproximadamente

  2. Me parece una gran ayuda

  3. Buenas, me podría ayudar con con este ejercicio es urgente:
    A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 55°.¿Cuál es la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10,89 m?

    • Juan Camilo:
      Se forma un triángulo rectángulo:
      A es el vértice del ángulo de55º
      B es el vértice de la visual que une la copa del árbol y el sol
      C es el vértice donde el árbol está plantado en la tierra.
      De manera que la sombras proyectada por el árbol es el cateto contiguo (eje x); la altura del árbol (y) es el cateto opuesto (eje y) y la línea AB es la hipotenusa.
      Por tanto:
      tg 55= y/x
      tg 55= y/10,89
      y=10,89.tag55
      y= 15,55 m aproximadamente es la altura del árbol

  4. Ana vive enfrente de su amiga Paula. Si Ana se coloca a la entrada de su portal, visualiza la ventana de Paula con una inclinación de 60º, pero desde su ventana, que está a 10m del suelo, lo hace con una inclinación de 30º. ¿A qué altura está la ventana de Paula?

    • Miriam:entrad
      El croquis es el siguiente:
      Se forman dos triángulos rectángulos:
      Triángulo desde la entrada de la puerta ABC, en el que:
      AC es la hipotenusa.
      AB (x) es el cateto contiguo
      BC (h) es el cateto opuesto y la altura de la ventana.
      El ángulo BAC es de 60º
      Triángulo desde la ventana DEC, en el que:
      DC es la hipotenusa.
      DE (x) es el cateto contiguo
      CE (h-10) es el cateto opuesto.
      Por tanto,
      tg60/tg30=h/x/h-10/x
      De esta ecuación se obtiene que h= 15 metros

  5. Muy buenas las respuestas necesito ayuda con este problema En el rectangulo ABCD la longitud del lado BC es la mitad de la longitud de la diagonal AC . sea M un punto de CD tal que AM =MC . La medidaen gradosdel angulo CAM es

    A) 12,5 grados B) 15 grados C) 27,5 grados D)24,5 grados E)30 grados

  6. Ayuda por favor. El asta de una bandera mide 8m y está colocada sobre una columna, desde cierto punto del suelo se ve la punta del asta con un ángulo de elevación de 30º y la base del asta se ve con 60º A) Calcular la distancia del punto de observación hasta la asta B) Calcular la distancia del punto de observación hasta la base de la columna C)Altura total del asta.

    • Diego:
      El triángulo rectángulo ABC es el formado por el punto (A) desde el que se lanza la visual a la punta del asta con un ángulo de elevación 30º, la punta del asta (B) y la base de la columna (C).
      La visual AB es la hipotenusa de ese triángulo.
      La distancia vertical BC formada por la altura de la bandera (8m) y la altura de la columna, que llamaremos y, es el cateto opuesto y se corresponde con el sen de 30º.
      La distancia horizontal CA, que llamaremos x, formada por la separación entre la base de la columna y el punto (A) desde el que se lanza la visual se corresponde con el cateto contiguo de ese triángulo rectángulo, y que se corresponde con el coseno de 30º
      En el triángulo ABC:
      tg 30= 8+y/x (ecuación 1)
      El triángulo rectángulo ADC es el formado por el punto (A) desde el que se lanza la visual a la base del asta con un ángulo de elevación 60º, la base del asta (B) y la base de la columna (C).
      La visual AD es la hipotenusa de ese triángulo.
      La distancia vertical DC formada por la altura de la columna, que llamaremos “y”, y es la misma que en el triángulo ABC, es el cateto opuesto y se corresponde con el sen de 60º.
      La distancia horizontal DA, que llamaremos “x”, y es la misma que en el triángulo ABC, formada por la separación entre la base de la columna y el punto (A) desde el que se lanza la visual se corresponde con el cateto contiguo de ese triángulo rectángulo, y que se corresponde con el coseno de 60º
      En el triángulo ADC:
      tg 60= y/x (ecuación 2)
      De ambas ecuaciones se obtiene la solución: y = -12, la altura de la columna, solución que no es posible, por lo que puede ser que el enunciado no sea el correcto.
      ¿Puedes confirmarme que el enunciado es correcto?

      • el enunciado es correcto

      • Diego:
        Entiendo que el ángulo de elevación con el que veo la punta del asta de la bandera debe ser 60º en lugar de 30, porque está más alto y no hay desplazamiento del punto desde el que se lanza la visual.
        El ángulo de elevación desde el que veo la base del asta o la parte superior de la columna es 30º.
        Siendo así:
        tg 60º=8+y/x
        tg 30º=y/x
        De manera que y= 4 metros.
        La altura de la columna es de 4 metros
        la distancia desde la que lanzo la visual es:
        tg 30º= y/x
        x= y/tag30= 4.V3

  7. El ángulo de elevación de una cometa sujeta con una cuerda de longitud L1 = 80 m es α = 30º. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo de elevación es B = 60º. ¿Cuál es la altura de las cometas en ese instante? ¿Y la longitud L2 de la cuerda que sujeta la segunda cometa? sin calculadora dejando indicado el resultado con las raíces.

    ayudaaaaaaaaa!!!!!!!!!!!!!!!!! por fa

    • Lalalis: (te recomiendo que para mayor claridad del enunciado te hagas un croquis de éste)
      1ª cometa:
      Forma un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa son los 80 metros de longitud la cometa, y la altura (h), en el momento del choque, es el cateto opuesto al ángulo de 30º; por tanto, aplicando la definición de seno, tenemos:
      sen 30º= h/80;
      h= 80.sen 30º= 80.1/2= 40 metros es la altura de ambas cometas en ese instante.
      2ª cometa:
      La longitud de la cometa L2 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo ángulo es 60º y el cateto opuesto es la altura, ahora 40 m, en el momento del choque de ambas cometas. Aplicando nuevamente la definición del seno:
      sen 60= 40/L2
      L2=40/sen 60= 40/√3/2= 2.40/√3= 80/√3= 80.√3/3

  8. Por favor, ayuda, es para rendir el ingreso a la universidad este lunes: Sabiendo que sen π/6= 1/2, encontrar el valor exacto de cos π/6. Con estos dos datos calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α = 5/6 π, α= -7/6π, α= -13/6 π. Espero su respuesta, muchas gracias.

    • Mar:
      Así entiendo el problema:
      π/6= 180/6= 30º
      Sabemos que:
      sen 30º= 1/2
      Sabemos que: sen^2x+cos^2 x= 1
      Despejamos cosx
      cos^2x= 1-sen^2x= 1-(1/2)^2
      Extrayendo la raíz cuadrada y racionalizando queda:
      cosx=√3/2
      1.- Calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α = 5/6 π, α= -7/6π, α= -13/6 π
      α = 5/6 π= 5.180/6= 150º
      Aplicamos las razones de ángulos suplementarios, de manera que: (180-x)
      sen 150º= sen 30º= 1/2
      cos 150º= -cos 30º= -√3/2
      tg 150º= -tg 30º= -sen30º/cos30º= -√3/3
      2.- Calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α= -7/6π
      α= -7/6π -7.180/6= -210º
      sen(-210º)= -sen 210º= -sen(180º+30º)= -(-sen30º)= -(-1/2)= 1/2
      cos(-210º)= cos 210º = -cos (180+30)= -cos 30º= -√3/2
      tg(-210º)= 1/2/-√3/2= -√3/3
      3.- Calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α= -13/6 π:
      α= -13/6 π= -13.180º/6= -13.30= -390º
      sen(-390º)= sen[360º(-1)+(-30º)]= sen(-30º)= -sen 30º= -1/2
      cos(-390º)= cos[360º(-1)+(-30º)]= cos(-30º)= cos 30º= √3/2
      tg(-390º)= sen(-390º)/cos(-390º)= -1/2/√3/2=-√3/3

  9. Una cometa está atada al suelo con un hilo de 200 mts de longitud. Cuando la cuerda está totalmente tensa, la vertical de la cometa al suelo está a 160 mts del punto donde se ató, ¿a qué altura esta volando la cometa? no puedo resolver esto, me ayudan por favor? Gracias.

    • Marcos:
      Es la resolución de un triángulo rectángulo, mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, en el que la hipotenusa son los 200 m, y un cateto es 160 m. La altura, que es lo que pide el enunciado, es el otro cateto
      Sabemos que:
      h^2= c1^2+c2^2
      200^2=160^2+c2^2
      c^2= 200^2-160^2
      c2^2= 40000-25600
      c2^2= 14400
      c2= raíz cuadrada de 14400
      c2= 120 m

  10. MUY BUENOS LOS RESULTADOS, NECESITO RESOLVER ESTE PROBLEMA.SI UN HOMBRE MIRA HACIA DELANTE OBSERVA A UB ARBOL QUE ESTA A 8 M DE DISTANCIA. SU PARTE MAS ALTA TIENEUN ANGULO DE ELEVACIÒN DE 35 GRADOS . SI MIRA HACIA ATRAS, OBSERVA UN POSTE A 2 M DE DISTANCIA CUYO ANGULO DE ELEVACIÒN ES DE 65 GRADOS. DETERMINE LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE LAS PARTES MAS ALTAS DE AMBOS OBJETOS

    • Néstor:
      Entiendo que lo que te pide el problema es la altura tanto del árbol como del poste, y no se tiene en cuenta la altura de la persona
      Se forman dos triángulos rectángulos, en uno el cateto adyacente a 35º es 8 m, y en el otro el cateto adyacente a 65 es 2
      Por tanto,
      1er triángulo: árbol:
      tag 35= y1/8
      y1 =8.tag 35= 8.0,700= 5,6m aproximadamente es la altura del árbol
      2º triángulo: Poste:
      tag 65= y2/2
      y2= 2.tag 65= 2.2,144= 4,289 aproximadamente es la altura del poste

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