Problemas de Matemáticas Resueltos

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TRIGONOMETRÍA

Problema 59:

Se da b=891,15 m, y se sabe que sen B= tg C. Calcular c.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 59

Problema 58:

a/b=5/3,  c= 40 m. Con estos datos, resolver el triángulo.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 58

Problema 57:

Resolver un triángulo rectángulo con los siguientes datos:

a= 2854,37 m, B/C=1/7

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 57

Problema 56:

Conociendo a= 578,252 m, y C-B=12º17´20´´, resolver el triángulo.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 56

Problema 55:

Resolver un triángulo rectángulo, dados b= 0,248 m., y a= sen C

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 55

Problema 54:

Resolver un triángulo rectángulo, dado  un cateto, b= 320 m., y el ángulo opuesto B= 52º30´.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 54

Problema 53:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 6061,47m., y un cateto b= 4668,937 m. Calcular los demás elementos.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 53

Problema 52:

a=1915 m y B=45´43´´. Hallar el área del triángulo.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 52

Problema 51:

a=3827,55 m y B=1,2 radianes; calcular b y c

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 51

Problema 50:

a=2961,35 m y B=90g 5142; calcular los demás elementos del triángulo rectángulo.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 50

Problema 49:

Conociendo a=150 m y B=36º52´11´´,6; calcular los demás elementos del triángulo rectángulo

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 49

Problema 48:

Una torre se inclina 5º hacia el lado contrario al sol, proyecta una sombra de 50m cuando el ángulo de elevación del astro es de 58º ¿Cuál es la altura de la torre?

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 48

Problema 47:

Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm sobre el nivel del ojo del observador situado a 200 cm de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10º. ¿Cuál es la altura del cuadro?

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 47

Problema 46:

La sombra de un árbol mide 50 m y el ángulo que forman los rayos del sol con el suelo es de 60º. ¿Cuál es la altura del árbol?

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 46

Problema 45:

Una escalera de 12 metros de largo está apoyada en una pared con un ángulo de 60º respecto al suelo. Calcular  hasta  altura de la pared hasta donde apoya la escalera, y la separación de ésta a la pared.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 45

Problema 44:

Calcular la altura del pico de una montaña, sabiendo que, en ese momento del día, el Sol incide con sus rayos sobre el suelo con un ángulo de 75º y provoca una sombra sobre el suelo de 53 metros.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 44

Problema 43:

Con los datos que se acotan en la figura, calcular la longitud  de AB

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 43

Problema 42:

En un triángulo isósceles los dos lados iguales miden 10 cm y su área vale 48 cm2. Calcula el valor de sus ángulos

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 42

Problema 41:

En un terreno horizontal se divisa una torre desde un punto A bajo un ángulo de 30º. Si nos aproximamos 20 m se llega a un punto B, desde el que observamos la torre bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura de la torre.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 41

Problema 40:

Demostrar que se verifica la siguiente igualdad:

Img_trig_40

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 40

Problema 39:

Transformar la expresión

Img_trig_39

En otra calculable por logaritmos

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 39

Problema 38:

Resolver

Img_trig_38

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 38

Problema 37:

Simplificar la siguiente expresión:

Img_trig_37

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 37

 

Problema 36:

Expresar

Img_trig_36-1

En función de

Img_trig_36-2

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 36

Problema 35:

Resolver la ecuación siguiente, para valores de x comprendidos entre 0º y 180º

Img_trig_35

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 35

Problema 34:

Demostrar que se verifica la siguiente igualdad:

Img_trig_34

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 34

Problema 33:

Obtener todas las soluciones de la siguiente ecuación, y deducir las válidas

Img_trig_33

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 33

Problema 32:

Deducir  tgx de la ecuación:

Img_trig_32

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 32

Problema 31:

Resolver:

Img_trig_31

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 31

Problema 30:

Resolver:

Img_trig_30

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 30

Problema 29:

Simplificar la expresión

Img_trig_29

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 29

Problema 28:

Resolver

Img_trig_28

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 28

Problema 27:

Sabiendo que

Img_trig_27

Hallar tg 2a

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 27

Problema 26:

Resolver:

Img_trig_26

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 26

Problema 25:

Resolver:

Img_trig_25

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 25

Problema 24:

Hallar el valor de x, menor que un cuadrante, que satisface a la ecuación:

Img_trig_24

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 24

 

Problema 23:

Resolver  la siguiente ecuación, siendo x menor que un cuadrante:

Img_trig_23

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 23

Problema 22:

Resolver  la ecuación:

Img_trig_22

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 22

Problema 21:

Resolver  la ecuación:

Img_trig_21

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 21

Problema 20:

Resolver  la ecuación:

Img_trig_20

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 20

Problema 19:

Simplificar  la siguiente expresión:

Img_trig_19

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 19

Problema 18:

Hallar el verdadero valor de la expresión siguiente, para x=90º

Img_trig_18

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 18

Problema 17:

Simplificar la expresión

Img_trig_17

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 17

Problema 16:

Transformar la expresión

Img_trig_16

en otra calculable por logaritmos.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 16

Problema 15:

Transformar la siguiente expresión en otra que no figure más que tg a

Img_trig_15

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 15

Problema 14:

Demostrar que si

Img_trig_14-1

Se verifica la siguiente igualdad:

Img_trig_14-2

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 14

Problema 13:

Hallar el valor de la siguiente expresión

Img_trig_13

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 13

Problema 12:

Transforma la expresión que se cita a continuación en otra calculable por logaritmos:

Img_trig_12

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 12

Problema 11:

Sabiendo que cosa= 0,62. Hallar el valor  de cosa/2, siendo

Img_trig_11

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 11

Problema 10:

Simplifica:

Img_trig_10

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 10

Problema 9:

Hallar, en función de m, los valores de las demás líneas trigonométricas del arco a. Siendo tga = m.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 9

Problema 8:

Demostrar que se verifica la igualdad siguiente

Img_trig_8

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 8

Problema 7:

Si se verifica que

Img_trig_7

y sen a=2/3, ¿cuál es el valor de sec2a?

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 7

 

Problema 6:

Sabiendo que

Img_trig_6

Calcular el valor de cotg 2a

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 6

Problema 5:

Sabiendo que sen 30º= 1/2, hallar el valor, aproximado en milésimas, del seno de 75º

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 5

Problema 4:

Cotg x= 2,84. Calcular el valor, aproximado en milésimas, de la cosecante del mismo arco.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 4

Problema 3:

Hallar los valores de las líneas trigonométricas del arco de 240º, sin recurrir a las tablas.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 3

Problema 2:

Dado sen x=3/5, determinar los valores de las demás líneas trigonométricas del arco x.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 2

 

Problema 1:

Sabiendo que el coseno de un arco comprendido entre 270º y 360º tiene por valor 0,4004, calcular los valores aproximados en milésimas, de las demás líneas trigonométricas.

SOLUCIÓN TRIGONOMETRÍA 1

 

 

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59 pensamientos en “TRIGONOMETRÍA

  1. Bajo qué ángulo se ve un árbol de 12 m de alto a 43 m de distancia. ¿Qué ángulo forma la visual al sol sobre el horizonte de un lugar en el momento en que la longitud de la sombra proyectada por un edificio es el doble de su altura?

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    • Maricelita:
      Bajo qué ángulo se ve un árbol de 12 m de alto a 43 m de distancia.
      Sea ABC el triángulo rectángulo en el que:
      AB: cateto contiguo: distancia de 43 m
      BC: cateto opuesto: altura del árbol: 12 m
      Por tanto el ángulo (a) pedido será:
      tga= 12/43
      a= arctg12/43= 15,592º
      Qué ángulo forma la visual al sol sobre el horizonte de un lugar en el momento en que la longitud de la sombra proyectada por un edificio es el doble de su altura?
      Sea ABC el triángulo rectángulo en el que:
      AB: cateto contiguo: sombra proyectada: 2h (siendo h la altura del edificio)
      BC: cateto opuesto: altura del edificio: h m
      Por tanto el ángulo (b) pedido será:
      tgb= h/2h
      a= arctg1/2= 26,56º

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  2. Ayuda
    1) Se apoya un poste de 5m sobre una pared formando cierto ángulo de inclinación. Si alcanza una altura de 2,5 m, ¿cuánto mide ese ángulo?
    2) Una escalera doble alcanza una altura de 2 m cuando se abre formando un ángulo de 25°. ¿Cuál es su longitud?

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    • Mari:
      1) Se apoya un poste de 5m sobre una pared formando cierto ángulo de inclinación. Si alcanza una altura de 2,5 m. ¿Cuánto mide ese ángulo?
      Al apoyarse la escalera (AB) sobre la pared (BC), se forma el triángulo rectángulo ABC, en el que el ángulo recto es BCA.
      El ángulo que pide el problema es ABC= b, en el que la longitud de la escalera (AB) es la hipotenusa, y la altura a la que se apoya en la pared es el cateto contiguo, luego:
      cos b= 2,5/5
      b= arc cos 2,5/5= 60º
      2) Una escalera doble alcanza una altura de 2 m cuando se abre formando un ángulo de 25°. ¿Cuál es su longitud?
      Este caso es igual que el anterior pero nos piden calcular la longitud de la escalera, que se corresponde con la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC. La altura de la escalera sobre la pared es el cateto contiguo, luego
      cos b= 2/l
      l=2/cosb
      l= 2/cos 25º
      l= 2/0,906= 2,207 metros es la longitud de la escalera

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  3. hola necesito ayuda…

    1.Un hombre de 1.80m produce una sombra de 2.5m, un árbol que está en su jardín proyecta una sombra de 6,8m. HALLAR LA ALTURA DEL ÁRBOL

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    • Juan David:
      Sea ABC el triángulo rectángulo formado por la altura del hombre y su sombra, de manera que:
      AB es la proyección de la sombra sobre el suelo: 2,5 m
      BC es la altura del hombre: 1,80 m
      CA es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC
      Sea ADE el triángulo rectángulo formado por la altura del árbol y su sombra, de manera que:
      AD es la proyección de la sombra sobre el suelo: 6,8 m
      DE es la altura del árbol: x m
      EA es la hipotenusa del triángulo rectángulo ADE.
      Por semejanza de triángulos:
      DE/BC=AD/AB
      x/1,8= 6,8/2,5
      x= 6,80·1,80/2,5= 4,896 m

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  4. Ayudaaa ..Un poste se quiebra formando la parte superior con la inferior un angulo de 26°. Si la parte superior toca el suelo a una distancia de 3 metros con la parte inferior. Calcular la altura total del poste.

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    • Nahirrrchus:
      Sea el triángulo ABC el formado por:
      Lado AB= 3m (distancia entre parte superior e inferior del poste, cateto opuesto al ángulo de 26º))
      Lado BC= x, parte inferior del poste, cateto contiguo al ángulo de 26º)
      Lado CA es la parte superior del poste hipotenusa.
      El lado AB y BC son perpendiculares.
      sen 26º= 3/r
      r=3/sen 26= 3/0,438= 9,132 m
      tg 26º= 3/x
      x=3/tg 26º= 3/0,487= 6,160 m
      La altura del poste será: 9,132+6,160= 15,292 m aproximadamente

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  5. Muchachas/os, hay un error de cálculo en el 58, cuando hacen el teorema de Pitágoras pusieron, el cateto c lo pusieron bien al principio con lo de 40^2 que es igual 1600 y de repente sale un 14400 😐 , si es así de todas formas es muy buena la página , y desde ya muchas gracias.

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    • Tomás:
      La ecuación es:
      [25(b^2)]/9= b^2+1600
      Ahora se quita denominador:( por eso aparece 14400= 1600·9)
      25b^2= 9b^2+1600·9
      25b^2-9b^2= 14400
      16b^2= 14400
      b^2= 14400/16= 900
      b^2= 900
      b= 30
      Espero habértelo aclarado
      Muchas gracias por tu comentario

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  6. Ayúdenme por favor lo antes posible
    1) Un mástil proyecta una sombra de 4 metros cuando está a 60° grados sobre el horizontal, ¿cuál es la altura del mástil?

    2) Un terreno tiene forma de triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es de 30° grados y el lado adyacente mide 12 cm. ¿Cuál es el área del terreno?

    3) Los lados menores de una escuadra mide 12 cm. ¿Cuáles son los ángulos de la escuadra?

    4) Un poste tiene una longitud de 8 cm y está sostenido por 3 cables de igual longitud, si el ángulo que forman cada cable con el suelo tiene 30°, ¿cuál es la distancia entre la base del poste y los cables?

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    • Gregory:
      1) Un mástil proyecta una sombra de 4 metros cuando está a 60° grados sobre el horizontal, ¿cuál es la altura del mástil?
      El triángulo inicial ABC es el formado por:
      Lado AB= 4 m
      Lado BC= altura del mástil
      Lado CA= visual desde el punto C al punto A
      El ángulo de 60º es el comprendido entre los lados: AB y BC
      Desde el punto C trazamos una recta vertical (h) que sea perpendicular al lado AB, hasta el punto D, de manera que se forman dos triángulos rectángulos dentro del triángulo ABC,con la altura común h= CD y son:
      DBC:
      El lado DB = x, es el cateto contiguo al ángulo de 60º
      El lado CD (h) es el cateto opuesto al ángulo de 60º
      El lado BC es la hipotenusa= l (longitud del mástil)
      Como DBC es un triángulo rectángulo:
      El ángulo formado por DB y BC es el de 60º
      El ángulo formado por CD y DB es un ángulo recto= 90º
      El ángulo formado por BC y CD es un ángulo de 30º
      En este triángulo tenemos que:
      tg 60º= h/x
      h=x·tg 60º
      Triángulo rectángulo ADC:
      El lado AD= 4-x
      El lado DC= h
      Lado CA= visual desde el punto C al punto A (la hipotenusa)
      El ángulo formado por AD y DC es un ángulo recto= 90º
      El ángulo formado por DC y CA vale 60º porque es el complementario del ángulo formado por por BC y CD (es= 30º)
      El ángulo formado por AD y AC = 30º
      Por tanto:
      tg 30º= h/(4-x)
      h=(4-x)·tg 30º
      Igualando ambas ecuaciones en h:
      x·tg 60º= (4-x)·tg 30º
      De donde se obtiene que x= 1 m
      En el triángulo DBC,
      cos 60º= x/l
      1/2=1/l
      l= 2 m es la longitud del mástil
      2) Un terreno tiene forma de triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es de 30° grados y el lado adyacente mide 12 cm. ¿Cuál es el área del terreno?
      El triángulo rectángulo es ABC donde:
      AB es el lado adyacente
      BC es el lado opuesto (y)
      CA la hipotenusa
      El ángulo de 30º es el formado por los lados AB y AC
      Luego:
      tg 30º= y/12
      y=12·tg 30º
      y=12·0,577=6,924 m
      Área del triángulo será:
      A=b·h/2
      A=12·6,924/2=41,544 m^2
      3) Los lados menores de una escuadra miden 12 cm. ¿Cuáles son los ángulos de la escuadra?
      La escuadra es un triángulo rectángulo isósceles en el que sus dos lados iguales son los catetos del triángulo rectángulo y sus ángulos miden 45º respectivamente.
      4) Un poste tiene una longitud de 8 cm y está sostenido por 3 cables de igual longitud, si el ángulo que forman cada cable con el suelo tiene 30°, ¿cuál es la distancia entre la base del poste y los cables?
      Se forma con cada cable un triángulo rectángulo, tomando 1 de ellos:
      ABC
      AB es el cateto contiguo (x)
      BC es el cateto opuesto
      CA la hipotenusa
      30º es el ángulo formado por AB y AC
      tg30º= 8/x
      x=8/tg30º= 8/0,577= 13.864 cm

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  7. 1.- Un automóvil asciende una cuesta que tiene una inclinación de 22°. Si viaja a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuántos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?
    2- Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de la misma quedará una arboleda de 25 metros de altura. ¿A qué distancia mínima de la arboleda debe terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16°?
    3- Cuando se apoya una escalera de 3 metros de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una altura de 2,50 metros. Si se la inclina sobre la otra pared llega a 2 metros de altura .Averiguar el ancho del pasillo.
    4-Desde un acantilado de 50 metros se ve un barco bajo un angulo de 70° con la vertical. ¿A qué distancia de la costa se encuentra el barco?
    5- Se sabe que el aro de baloncesto está a 3,3 metros del piso. Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1,98 metros del piso. Si el jugador se encuentra en la línea de tiro libre a 5 metros del centro del aro de la canasta. ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro?
    6-Hasta la cima de un risco de 60 metros de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de elevación desde un bote de pesca es de 15°. ¿Cuán lejos de la base del risco se encuentra el bote?
    7- Una colina mide 420 metros de altura se encuentra que el ángulo de elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45°. Determinar la distancia desde A hasta la cima de la colina
    8- Una escalera tiene una longitud de 5 metros. Si la apoyamos sobre una pared, formando un ángulo de inclinación con la pared de 60°. ¿Qué altura alcanzará dicha escalera sobre la pared?

    ¿Me podrán ayudar tengo que entregar 20 ejercicios? Gracias

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    • Elba:
      1.- Un automóvil asciende una cuesta que tiene una inclinación de 22°. Si viaja a una velocidad de 60 km/h. ¿CuÁntos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?
      Si en 1 hora recorre 60 km
      en 1/4 hora recorrerá x km
      x= 60/4=15 km= 15.000 metros
      Se forma un triángulo rectángulo en el que la altura sobre el nivel del mar es el cateto opuesto (y); los 15 km son la hipotenusa, por tanto:
      sen22º= y/15.000
      y=15.000·sen22º= 5.610 m aproximadamente
      2- Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de la misma quedará una arboleda de 25 metros de altura. ¿A qué distancia mÍnima de la arboleda debe terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16°?
      Se forma un triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto (co) son los 25 metros de altura de los árboles, y el cateto contiguo (cc= x) la distancia a calcular, de modo que:
      tg 16º=25/x
      x= 25/tg 16º= 25/0,286= 87,41 m aproximadamente.
      3- Cuando se apoya una escalera de 3 metros de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una altura de 2,50 metros. Si se la inclina sobre la otra pared llega a 2 metros de altura. Averiguar el ancho del pasillo.
      En ambos casos es aplicación del teorema de Pitágoras en el que la anchura del pasillo se corresponde con el cateto contiguo (cc1 y cc2)
      cc1^2= 3^2-2,5^2= 9-6,25= 2,75
      cc1= 1,658 m aproximadamente
      cc2^2= 3^2-2^2= 9-4= 5
      cc2= 2,236 m aproximadamente
      La anchura del pasillo será: cc1+cc2= 1,658+2,236= 3,894 m aproximadamente
      4-Desde un acantilado de 50 metros se ve un barco bajo un ángulo de 70° con la vertical. ¿A qué distancia de la costa se encuentra el barco?
      Se forma un triángulo rectángulo (tomando como referencia el ángulo de 70º) en el la distancia del barco a la costa es es cateto opuesto (co=y), y los 50 metros de altura del acantilado es es el cateto contiguo(co), por tanto:
      tg 70º= y/50
      y=50·tg 70º= 50·2,747= 137,35 m aproximadamente
      5- Se sabe que el aro de baloncesto está a 3,3 metros del piso. Los ojos de un jugador de baloncesto están a 1,98 metros del piso. Si el jugador se encuentra en la línea de tiro libre a 5 metros del centro del aro de la canasta. ¿Cuál es el ángulo de elevación de los ojos del jugador al centro del aro?
      La diferencia entre la altura de la canasta y la altura de los ojos nos da el cateto opuesto (co) del triángulo rectángulo formado por esta altura, la distancia horizontal (cateto contiguo) y la visual desde los ojos del jugador de baloncesto al centro de la canasta (hipotenusa), por tanto:
      co=3,3-1,98= 1,32 m
      tg a= 1,32/5
      a=arc tg 1,32/5= 14,78º aproximadamente.
      6-Hasta la cima de un risco de 60 metros de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de elevación desde un bote de pesca es de 15°. ¿Cuán lejos de la base del risco se encuentra el bote?
      La altura de la cima (60 m) es el cateto opuesto del triángulo rectángulo formado por esta altura, el cateto contiguo, es la distancia que nos piden (x), y la visual desde el barco de pesca a la cima cuyo ángulo es 15º, por tanto:
      tg 15º= 60/x
      x=60/tg 15º
      x= 60/0,267
      x= 224,72 m aproximadamente
      7- Una colina mide 420 metros de altura se encuentra que el ángulo de elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45°. Determinar la distancia desde A hasta la cima de la colina.
      420 m es el cateto opuesto, la distancia que no piden es el cateto contiguo, x, y el ángulo es 45º, luego:
      tg 45º= 420/x
      x=420/tg 45º= 420/1= 420 m
      8- Una escalera tiene una longitud de 5 metros. Si la apoyamos sobre una pared, formando un ángulo de inclinación con la pared de 60°. ¿Qué altura alcanzará dicha escalera sobre la pared?
      En este caso nos piden el cateto opuesto que coincide con la altura a la que se apoya la escalera, luego:
      sen 60º= y/5
      y=5·sen 60º
      y= 5.0,866
      y= 4,33 m aproximadamente

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  8. Necesito ayuda con estos problemas : 1- el hilo que sujeta un barrilete mide 250 metros y forma un ángulo de 32° con la vertical. Hallar la altura a que se halla si se supone que el hilo esta en línea recta.

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    • Elba:
      Se forma un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la distancia de 250 m; el cateto opuesto (co = y) es la altura a la que se halla el barrilete, y el cateto contiguo (cc) es la distancia horizontal entre el punto en que se encuentra el hilo y la vertical de la altura.
      Sabemos el ángulo de elevación:
      sen 32º= y/250
      y=250· sen 32º= 250·0,53= 132,5 m

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  9. 1) Un velero que se encuentra en emergencias solicita auxilio desde el punto C, su señal es recibida por dos embarcaciones A y B que distan entre sí 30 millas. Si el ángulo A es de 45º y el ángulo C de 48º:
    a) ¿A qué distancia de la embarcación A se encuentra el velero?
    b) ¿A qué distancia de la embarcación B, se encuentra el velero?

    2) Se sube la cuesta de una montaña que tiene una inclinación constante de 23º. Si se recorre 500 metros por la cuesta. ¿A qué altura de la montaña se llegó?

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    • Cynthia:
      Se forma un triángulo entre las dos embarcaciones y el velero, de modo que:
      El triángulo ABC se forma por el vértice A, hacia su derecha el vértice B, separado 30 millas, y el punto C es el vértice superior del triángulo.
      Los lados son:
      Lado a formado por el segmento que une los vértices B y C
      Lado b formado por el segmento que une los vértices C y A
      Lado c formado por el segmento que une los vértices A y B (30 millas porque es la separación entre las embarcaciones)
      Los ángulos:
      A: formado por los segmentos AB y AC y se cortan en el vértice A= 45º
      B: formado por los segmentos BA y BC y se cortan en el vértice B= 180-(45+48)= 87º
      C: formado por los segmentos CB y CA y se cortan en el vértice C= 48º
      Aplicando el teorema del seno:
      a/sen A= b/sen B= c/sen C
      a/sen 45=b/sen 87=30/sen 48
      a) ¿A qué distancia de la embarcación A se encuentra el velero?
      b/sen 87=30/sen 48
      b=30·sen 87/sen 45= 40,29 millas
      b) ¿A qué distancia de la embarcación B, se encuentra el velero?
      a/sen 45= 30/sen 48
      a= 30·sen 45/sen 48= 28,54 millas
      2) Se sube la cuesta de una montaña que tiene una inclinación constante de 23º. Si se recorre 500 metros por la cuesta. ¿A qué altura de la montaña se llegó?
      sen 23= y/500
      y=500.sen 23= 195 metros

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  10. la marquesina de un restaurante tiene una inclinación hacia el frente, formando un angulo con respecto de la pared de (2x)° y el apoyo de la marquesina tiene un angulo de 126°. Halla la medida en grados del angulo B (m<B) y la m<A

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  11. Desde un punto en el suelo se observa la azotea de un edifico con ángulo de elevación de 37° y la parte superior de un tanque de agua que esta sobre la azotea con un ángulo de 53°. Hallar la longitud del tanque si el punto de observación se encuentra a 24 m de la base del edificio.

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    • Martín:
      Sea z la altura del depósito que queremos calcular
      Se forman dos triángulos rectángulos:
      Triángulo ABC:
      AB es la distancia desde el punto de observación en el suelo a la base del edificio: 24 m
      BC (y) es la altura del edificio desde el suelo hasta la azotea. AB y BC son perpendiculares y, por tanto, forman un ángulo recto; y son el cateto contiguo y opuesto, respectivamente del ángulo de 37º. BC es la distancia que necesitamos hallar
      AC es la visual desde el suelo hasta hasta la azotea, la hipotenusa del triángulo rectángulo,
      Por tanto;
      tg 37= y/24
      y= 24.tg 37= 24×0,753= 18,072 m
      La altura del edificio es: BC= 18,072 m
      Triángulo ABD:
      AB es la distancia desde el punto de observación en el suelo a la base del edificio: 24 m
      BD (x) es la altura del depósito que está en la azotea hasta el suelo. AB y BD son perpendiculares y, por tanto, forman un ángulo recto; y son el cateto contiguo y opuesto, respectivamente del ángulo de 53º. BD es la distancia que necesitamos hallar
      AC es la visual desde el suelo hasta hasta la parte más alta del depósito, la hipotenusa del triángulo rectángulo,
      Por tanto;
      tg 53= x/24
      x= 24.tg 53= 24×1,327= 31,848 m
      La altura desde la parte más alta del depósito al suelo es: BD: 31,848 m
      Por tanto la altura de depósito será:
      z= BD-BC= x-y= 31,848-18,072= 13,776 m aproximadamente

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  12. ayudaaa

    Marita esta volando un papalote el cual esta a una altura 30 m, mayor que la distancia que existe entre la mano (M) de marita y la distancia Horizontal d, tal como se muestra en la figura , el cordel que va de la mano al papalote mide 150 m ¿A que altura esta el papalote?

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  13. una torre se inclina 5º hacia el lado contrario al sol, proyecta una sombra de 50m cuando el angulo de elevación del astro es de 58º ¿cual es la altura de la torre?

    necesito ayuda

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  14. Ayuda
    Antonio mide 1.70 m y observa que su sombra es de 50 cm a cierta hora del día, ¿con qué inclinación llegan los rayos solares a esa hora?
    Gracias

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  15. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm sobre el nivel del ojo del observador situado a 200 cm de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10º. ¿Cuál es la altura del cuadro?

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  16. Se quiere medir el ancho de un río. Para ello se observa un árbol que está en la otra orilla a la parte más alta y se obtiene un ángulo de elevación de 55°. Alejándose 5m del río en la misma dirección del árbol se vuelve a medir el angulo de elevación y se obtiene 42°. Calcula la anchura del río y la altura del árbol.

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    • Alberto:
      Se forman dos triángulos rectángulos
      1er triángulo ABC
      En el que el lado AB (x), cateto contiguo respecto del ángulo de elevación de 55º y que se corresponde con el ancho del río
      Lado BC (y), cateto opuesto respecto del ángulo de elevación de 55º, y que se corresponde con la altura del árbol.
      Lado CA se corresponde con la hipotenusa de ese triángulo.
      Por tanto:
      tg 55=y/x
      2º triángulo DBC
      En el que el lado DB (x+5), cateto contiguo respecto del ángulo de elevación de 42º y que se corresponde con el ancho del río más 5 metros que se separa en la misma dirección del árbol
      Lado BC (y), cateto opuesto respecto del ángulo de elevación de 42º, y que se corresponde con la altura del árbol.
      Lado CD se corresponde con la hipotenusa de ese triángulo.
      Por tanto:
      tg 42=y/x+5
      De estas dos ecuaciones se obtiene:
      Ancho del río: x= 8,522 m aproximadamente
      Altura del árbol: y= 12,169 m aproximadamente

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  17. Buenas Tardes:
    Les hago la observación que hace falta anexar el tema. Se coloca una escalera de 7m contra un edificio de modo que el extremo interior está a 1.5 m de la base del edificio. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso y cuál es la altura alcanzada de la escalera respecto al edificio?

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    • Manuel:
      Al apoyar la escalera sobre la pared del edificio, se forma un triángulo rectángulo: ABC
      en el que:
      AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo y vale 7 m
      BC es la altura de la escalera respecto del edificio, y corresponde al cateto opuesto
      CA es la distancia horizontal del pie de la escalera a la pared del edificio (1,5 m), y se corresponde con el cateto contiguo
      El ángulo ABC (x) es el que nos piden hallar.
      Aplicando la definición de coseno:
      cos x= CA/AB
      cos x= 1,5/7= 0,2142
      x= arc cos 0,2142
      x= 77,62º aproximadamente
      Para calcular la altura, aplicamos la definición de sen x
      sen x= h/7
      h=7.sen 77,62º
      h= 6,837 aproximadamente

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  18. Un depósito de agua se encuentra a 10 metros de una casa. Desde una ventana de la casa se observa que el ángulo de elevación hasta la parte superior del depósito es de 35º, y el ángulo de depresión hasta la parte inferior de la base que sostiene el depósito es de 20º. ¿A qué altura se encuentra la parte superior de depósito de agua?

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    • Braulio:
      Así entiendo el problema.
      Se forman dos triángulos rectángulos
      1º triángulo rectángulo: ABC
      AB es la visual al punto más elevado del bidón (hipotenusa del triángulo)
      BC es la altura del bidón hasta el corte con la horizontal en la ventana. Es el cateto opuesto en el triángulo
      CA es la distancia del depósito a la ventana, es el cateto contiguo (10 m)
      Aplicando la definición de tangente:
      tg 35= BC/CA
      BC= CA.tg 35= 10.0,7= 7 m
      2º triángulo rectángulo: ADC
      AD es la visual al punto más bajo del bidón (hipotenusa del triángulo)
      CD es la altura del bidón hasta el suelo, Es el cateto opuesto en el triángulo
      CA es la distancia del depósito a la ventana, es el cateto contiguo (10 m)
      Aplicando la definición de tangente:
      tg 20= CD/CA
      CD= CA.tg 20= 10.0,363= 3,63 m
      La parte más alta del bidón se encuentra a: 7+3,63= 10,63 m del suelo

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  19. El pie de una escalera de 12 m está apoyada contra una pared, quedando a 5m de ésta, suponiendo que el suelo es horizontal, ¿qué ángulo forma la escalera y el suelo?

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    • Brisa:
      La escalera AB tiene una longitud de 12 m: AB= 12 m
      Se apoya contra la pared, separándose el pie de la escalera de la pared 5 m: CA= 5 m
      Por tanto se forma un triángulo rectángulo ABC, en el que la hipotenusa es la longitud de la escalera (AB=12m); y el cateto contiguo (AC= 5m)
      Luego:
      cos x= 5/12
      x= arccos 5/12= 65,37º aproximadamente

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  20. Me parece una gran ayuda

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  21. Buenas, me podría ayudar con con este ejercicio es urgente:
    A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 55°.¿Cuál es la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10,89 m?

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    • Juan Camilo:
      Se forma un triángulo rectángulo:
      A es el vértice del ángulo de55º
      B es el vértice de la visual que une la copa del árbol y el sol
      C es el vértice donde el árbol está plantado en la tierra.
      De manera que la sombras proyectada por el árbol es el cateto contiguo (eje x); la altura del árbol (y) es el cateto opuesto (eje y) y la línea AB es la hipotenusa.
      Por tanto:
      tg 55= y/x
      tg 55= y/10,89
      y=10,89.tag55
      y= 15,55 m aproximadamente es la altura del árbol

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  22. Ana vive enfrente de su amiga Paula. Si Ana se coloca a la entrada de su portal, visualiza la ventana de Paula con una inclinación de 60º, pero desde su ventana, que está a 10m del suelo, lo hace con una inclinación de 30º. ¿A qué altura está la ventana de Paula?

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    • Miriam:entrad
      El croquis es el siguiente:
      Se forman dos triángulos rectángulos:
      Triángulo desde la entrada de la puerta ABC, en el que:
      AC es la hipotenusa.
      AB (x) es el cateto contiguo
      BC (h) es el cateto opuesto y la altura de la ventana.
      El ángulo BAC es de 60º
      Triángulo desde la ventana DEC, en el que:
      DC es la hipotenusa.
      DE (x) es el cateto contiguo
      CE (h-10) es el cateto opuesto.
      Por tanto,
      tg60/tg30=h/x/h-10/x
      De esta ecuación se obtiene que h= 15 metros

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  23. Muy buenas las respuestas necesito ayuda con este problema En el rectangulo ABCD la longitud del lado BC es la mitad de la longitud de la diagonal AC . sea M un punto de CD tal que AM =MC . La medidaen gradosdel angulo CAM es

    A) 12,5 grados B) 15 grados C) 27,5 grados D)24,5 grados E)30 grados

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  24. Ayuda por favor. El asta de una bandera mide 8m y está colocada sobre una columna, desde cierto punto del suelo se ve la punta del asta con un ángulo de elevación de 30º y la base del asta se ve con 60º A) Calcular la distancia del punto de observación hasta la asta B) Calcular la distancia del punto de observación hasta la base de la columna C)Altura total del asta.

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    • Diego:
      El triángulo rectángulo ABC es el formado por el punto (A) desde el que se lanza la visual a la punta del asta con un ángulo de elevación 30º, la punta del asta (B) y la base de la columna (C).
      La visual AB es la hipotenusa de ese triángulo.
      La distancia vertical BC formada por la altura de la bandera (8m) y la altura de la columna, que llamaremos y, es el cateto opuesto y se corresponde con el sen de 30º.
      La distancia horizontal CA, que llamaremos x, formada por la separación entre la base de la columna y el punto (A) desde el que se lanza la visual se corresponde con el cateto contiguo de ese triángulo rectángulo, y que se corresponde con el coseno de 30º
      En el triángulo ABC:
      tg 30= 8+y/x (ecuación 1)
      El triángulo rectángulo ADC es el formado por el punto (A) desde el que se lanza la visual a la base del asta con un ángulo de elevación 60º, la base del asta (B) y la base de la columna (C).
      La visual AD es la hipotenusa de ese triángulo.
      La distancia vertical DC formada por la altura de la columna, que llamaremos “y”, y es la misma que en el triángulo ABC, es el cateto opuesto y se corresponde con el sen de 60º.
      La distancia horizontal DA, que llamaremos “x”, y es la misma que en el triángulo ABC, formada por la separación entre la base de la columna y el punto (A) desde el que se lanza la visual se corresponde con el cateto contiguo de ese triángulo rectángulo, y que se corresponde con el coseno de 60º
      En el triángulo ADC:
      tg 60= y/x (ecuación 2)
      De ambas ecuaciones se obtiene la solución: y = -12, la altura de la columna, solución que no es posible, por lo que puede ser que el enunciado no sea el correcto.
      ¿Puedes confirmarme que el enunciado es correcto?

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      • el enunciado es correcto

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      • Diego:
        Entiendo que el ángulo de elevación con el que veo la punta del asta de la bandera debe ser 60º en lugar de 30, porque está más alto y no hay desplazamiento del punto desde el que se lanza la visual.
        El ángulo de elevación desde el que veo la base del asta o la parte superior de la columna es 30º.
        Siendo así:
        tg 60º=8+y/x
        tg 30º=y/x
        De manera que y= 4 metros.
        La altura de la columna es de 4 metros
        la distancia desde la que lanzo la visual es:
        tg 30º= y/x
        x= y/tag30= 4.V3

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  25. El ángulo de elevación de una cometa sujeta con una cuerda de longitud L1 = 80 m es α = 30º. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo de elevación es B = 60º. ¿Cuál es la altura de las cometas en ese instante? ¿Y la longitud L2 de la cuerda que sujeta la segunda cometa? sin calculadora dejando indicado el resultado con las raíces.

    ayudaaaaaaaaa!!!!!!!!!!!!!!!!! por fa

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    • Lalalis: (te recomiendo que para mayor claridad del enunciado te hagas un croquis de éste)
      1ª cometa:
      Forma un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa son los 80 metros de longitud la cometa, y la altura (h), en el momento del choque, es el cateto opuesto al ángulo de 30º; por tanto, aplicando la definición de seno, tenemos:
      sen 30º= h/80;
      h= 80.sen 30º= 80.1/2= 40 metros es la altura de ambas cometas en ese instante.
      2ª cometa:
      La longitud de la cometa L2 es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo ángulo es 60º y el cateto opuesto es la altura, ahora 40 m, en el momento del choque de ambas cometas. Aplicando nuevamente la definición del seno:
      sen 60= 40/L2
      L2=40/sen 60= 40/√3/2= 2.40/√3= 80/√3= 80.√3/3

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  26. Por favor, ayuda, es para rendir el ingreso a la universidad este lunes: Sabiendo que sen π/6= 1/2, encontrar el valor exacto de cos π/6. Con estos dos datos calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α = 5/6 π, α= -7/6π, α= -13/6 π. Espero su respuesta, muchas gracias.

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    • Mar:
      Así entiendo el problema:
      π/6= 180/6= 30º
      Sabemos que:
      sen 30º= 1/2
      Sabemos que: sen^2x+cos^2 x= 1
      Despejamos cosx
      cos^2x= 1-sen^2x= 1-(1/2)^2
      Extrayendo la raíz cuadrada y racionalizando queda:
      cosx=√3/2
      1.- Calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α = 5/6 π, α= -7/6π, α= -13/6 π
      α = 5/6 π= 5.180/6= 150º
      Aplicamos las razones de ángulos suplementarios, de manera que: (180-x)
      sen 150º= sen 30º= 1/2
      cos 150º= -cos 30º= -√3/2
      tg 150º= -tg 30º= -sen30º/cos30º= -√3/3
      2.- Calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α= -7/6π
      α= -7/6π -7.180/6= -210º
      sen(-210º)= -sen 210º= -sen(180º+30º)= -(-sen30º)= -(-1/2)= 1/2
      cos(-210º)= cos 210º = -cos (180+30)= -cos 30º= -√3/2
      tg(-210º)= 1/2/-√3/2= -√3/3
      3.- Calcular en forma exacta los valores del seno, coseno y tangente de α= -13/6 π:
      α= -13/6 π= -13.180º/6= -13.30= -390º
      sen(-390º)= sen[360º(-1)+(-30º)]= sen(-30º)= -sen 30º= -1/2
      cos(-390º)= cos[360º(-1)+(-30º)]= cos(-30º)= cos 30º= √3/2
      tg(-390º)= sen(-390º)/cos(-390º)= -1/2/√3/2=-√3/3

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  27. Una cometa está atada al suelo con un hilo de 200 mts de longitud. Cuando la cuerda está totalmente tensa, la vertical de la cometa al suelo está a 160 mts del punto donde se ató, ¿a qué altura esta volando la cometa? no puedo resolver esto, me ayudan por favor? Gracias.

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    • Marcos:
      Es la resolución de un triángulo rectángulo, mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, en el que la hipotenusa son los 200 m, y un cateto es 160 m. La altura, que es lo que pide el enunciado, es el otro cateto
      Sabemos que:
      h^2= c1^2+c2^2
      200^2=160^2+c2^2
      c^2= 200^2-160^2
      c2^2= 40000-25600
      c2^2= 14400
      c2= raíz cuadrada de 14400
      c2= 120 m

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  28. MUY BUENOS LOS RESULTADOS, NECESITO RESOLVER ESTE PROBLEMA.SI UN HOMBRE MIRA HACIA DELANTE OBSERVA A UB ARBOL QUE ESTA A 8 M DE DISTANCIA. SU PARTE MAS ALTA TIENEUN ANGULO DE ELEVACIÒN DE 35 GRADOS . SI MIRA HACIA ATRAS, OBSERVA UN POSTE A 2 M DE DISTANCIA CUYO ANGULO DE ELEVACIÒN ES DE 65 GRADOS. DETERMINE LA DISTANCIA QUE HAY ENTRE LAS PARTES MAS ALTAS DE AMBOS OBJETOS

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    • Néstor:
      Entiendo que lo que te pide el problema es la altura tanto del árbol como del poste, y no se tiene en cuenta la altura de la persona
      Se forman dos triángulos rectángulos, en uno el cateto adyacente a 35º es 8 m, y en el otro el cateto adyacente a 65 es 2
      Por tanto,
      1er triángulo: árbol:
      tag 35= y1/8
      y1 =8.tag 35= 8.0,700= 5,6m aproximadamente es la altura del árbol
      2º triángulo: Poste:
      tag 65= y2/2
      y2= 2.tag 65= 2.2,144= 4,289 aproximadamente es la altura del poste

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