Problemas de Matemáticas Resueltos

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Problema 54:

Encuentra una sucesión de cuatro números, el primero de los cuales es 6 y el cuarto es 16, donde los tres primeros forman una progresión aritmética y los tres últimos una progresión geométrica.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 54

Problema 53:

El primer término de una progresión aritmética es 2, y el primero, tercero y séptimo forman una progresión geométrica. Halla la suma de los siete primeros términos de la progresión aritmética.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 53

Problema 52:

Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si aumentamos a en una unidad o aumentamos c en dos unidades, los tres valores respectivos, están en progresión geométrica. Determina los tres números.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 52

Problema 51:

En una progresión aritmética la suma de sus n primeros términos es

imgprart_51

para todo valor de n. Hallar el primer término y la diferencia.

solución-progresiones-aritméticas-51

Problema 50:

Hallar el valor de los ángulos interiores de un pentágono convexo, sabiendo que están en progresión aritmética y que la diferencia entre al mayor y el menor es 140º.

solución-progresiones-aritméticas-50

Problema 49:

La suma de los veinticinco primeros términos de una progresión aritmética  vale 800, y el producto de sus extremos es -272. Calcular el término primero, el último y el que ocupa el lugar veinte. Supóngase que la progresión es decreciente.

solución-progresiones-aritméticas-49

Problema 48:

Hallar una progresión aritmética de nueve términos, sabiendo que los tres primeros suman 36 y los tres últimos 162.

solución-progresiones-aritméticas-48

Problema 47:

El área de un triángulo rectángulo es 54 m2. Calcular las longitudes de sus lados, sabiendo que están en progresión aritmética.

solución-progresiones-aritméticas-47

Problema 46:

Calcular la suma de todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 100 y 10.000.

solución-progresiones-aritméticas-46

Problema 45:

¿Cuántos números impares consecutivos a partir del 1 es preciso tomar para que su suma sea igual 7744.

solución-progresiones-aritméticas-45

Problema 44:

La suma de tres números en progresión aritmética  vale 15; y si al segundo de estos números se les resta una unidad, resulta una progresión geométrica. Hallar dichos números.

solución-progresiones-aritméticas-44

Problema 43:

Hallar la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de los cuadrados de los términos segundo y séptimo es 477, y que la diferencia entre los términos octavos y segundo es 18.

solución-progresiones-aritméticas-43

Problema 42:

En la progresión aritmética: 3…..23……59, el número de términos que hay entre 3 y 23 es la mitad de los comprendidos entre 23 y 59. Hallar la razón, el número de términos y la suma de ellos.

solución-progresiones-aritméticas-42

Problema 41:

Se han interpolado “m” medios diferenciales entre 3 y 57 y “m-2” entre 5 y 19. Si la razón de la primera es el triple de la segunda, el cociente del penúltimo de la primera entre el penúltimo término de la segunda es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 41

Problema 40:

En una progresión aritmética el término de lugar “r” es “t” y el término de lugar “t” es “r”. Indica la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 40

Problema 39:

La suma de los cinco términos racionales de una progresión aritmética creciente es 40 y el producto de ellos es 12320. El quinto término es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 39

Problema 38:

En una progresión aritmética el primer término y el último término son 47 y 207, respectivamente. Halla el término decimosegundo si la suma de sus términos es 2667.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 38

Problema 37:

El primer término de una progresión aritmética es 5, el tercer término es 9 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 37

Problema 36:

Una progresión aritmética tiene un número impar de términos. El término central vale 22 y el producto de los extremos es 259. Entonces, ¿la diferencia del mayor menos el menor es?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 36

Problema 35:

La suma del tercer y octavo término de una progresión aritmética es 41 y la relación del quinto al séptimo es 19/25. Hallar el segundo término.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 35

Problema 34:

La suma de los términos de una progresión aritmética es 425 y su término central es 17. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 34

Problema 33:

Las cinco cifras de un número están colocadas en progresión aritmética. Sabiendo que la suma de los valores absolutos de todas sus cifras es 20 y que la primera es el doble de la tercera. Hallar dicho número.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 33

Problema 32:

Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 32

Problema 31:

La suma de los 8 primeros términos de una progresión aritmética es 64 y la suma de los 18 primeros términos es 324. Hallar la progresión

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 31

Problema 30:

Dada la sucesión

ImgPrArt_30

en la que n es un número natural, encontrar el enésimo término y la suma de sus términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 30

Problema 29:

ImgPrArt_29

Hallar un término de la anterior progresión cuya raíz cuadrada excede en la razón al término anterior

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 29

 

Problema 28:

El primer término de una progresión aritmética es 0,02; la razón 0,01, y el término central es igual al cuadrado de la suma de todos los términos. Calcular el número de éstos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 28

Problema 27:

ImgPrArt_27

Hallar dos términos consecutivos de esa progresión, de manera que sus raíces cuadradas se diferencien en una unidad.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 27

Problema 26:

Dos personas, saliendo y entrando al mismo tiempo, han recorrido la misma distancia. Calcular el número de kilómetros recorridos y los días que han tardado, sabiendo que una de ellas ha andado el primer día 6 kilómetros, 7 el segundo, y así sucesivamente, aumentando un kilómetro en cada día; y la otra ha recorrido 9 kilómetros el primer día, aumentando en cada uno de los días siguientes 1/4 de kilómetro.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 26

Problema 25:

En una progresión aritmética, el último término es     ImgPrArt_25-1   ;la razón   ImgPrArt_25-2, y la suma de todos los términos, ImgPrArt_25-3

Hallar el número de términos y el primero de ellos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 25

Problema 24:

La suma de los seis términos centrales de una progresión aritmética creciente de 16 términos es 141, y el producto de sus extremos, 46. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 24

Problema 23:

ImgPrArt_23

¿Qué términos correspondientes de esas dos progresiones tienen el mismo valor?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 23

Problema 22:

En una progresión aritmética, el primer término es 12; el número de términos, 9, y su suma, 252. Y en otra progresión, el primer término es 2, y la razón, 6. Dos términos del mismo lugar de esas progresiones son iguales. ¿Cuál es valor de ellos?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 22

Problema 21:

Los coeficientes de una ecuación de 2º grado y el término independiente forman una progresión aritmética. La suma de las raíces representa la tercera parte de la suma de los términos de la progresión, y el producto de las raíces excede en 7 unidades al coeficiente del 2º término. ¿ cuál es la ecuación?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 21

Problema 20:

El producto de tres números positivos, en progresión aritmética, es 2688, y el más pequeño de ellos , 12. Determinar los otros dos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 20

Problema 19:

La suma de los cinco primeros términos de una progresión aritmética es 45, y la suma de sus cuadrados 495. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 19

Problema 18:

La diferencia entre los términos extremos de una progresión aritmética creciente es 42; la diferencia es igual al número de términos, y la suma de éstos, 168. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 18

Problema 17:

La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3, y el último término, 1. Escríbase la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 17

Problema 16:

En una progresión aritmética de 6 términos, el primero es 2, y la suma de todos ellos es igual  a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 16

Problema 15:

Hallar la suma de todos los términos de la progresión.

ImgPrArt_15

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 15

Problema 14:

Calcular el número de términos de una progresión aritmética cuyo primer término es a-2; la diferencia, 2-a; y la suma, 10-5a

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 14

Problema 13:

El primer término de una progresión aritmética es 1; el segundo 2, y la suma de todos los términos, 210. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 13

Problema 12:

Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 6m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿qué camino habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 12

Problema 11:

Un vagón se desprende de un tren que sube una pendiente, recorre durante el primer segundo 0,30 m; durante el segundo 3×0,30; durante el tercero 5×0,30; durante el cuarto 7×0,30. ¿cuánto recorre en un minuto que dura el descenso?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 11

Problema 10:

Un cuerpo que cae recorre 4,9 m. durante el primer segundo de caída; y en cada segundo el espacio recorrido excede en 9,8 m al recorrido en el segundo anterior. Se pregunta:

1º lo que el cuerpo recorre durante el décimo segundo de su caída

2º el espacio recorrido durante los diez segundos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 10

Problema 9:

Búsquense los tres ángulos de un triangulo rectángulo , sabiendo que estos ángulos están en progresión aritmética?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 9

Problema 8:

¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena mas que a las horas?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 8

Problema 7:

Búsquese:

1º la suma de los 40 primeros múltiplos de 3

2º la suma de los 20 primeros múltiplos de 3 que siguen al 60

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 7

Problema 6:

ImgPrArt_6

Esta progresión es de 8 términos. Hallar la suma de ellos

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 6

Problema 5:

El primer término de una progresión aritmética es 17; el último 12, y la razón, -1/2. Hallar el número de términos y la suma de ellos.

SOLUCION PROGRESIONES ARITMETICAS 5

Problema 4:

Siendo, en una progresión aritmética, 16, 10 y 70, respectivamente, el último término, el número de términos y su suma, hallar el primer término y la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 4

Problema 3:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de la progresión

ImgPrArt_3

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 3

Problema 2:

La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12, y la razón, 16. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 2

Problema 1:

Hallar el octavo término de la progresión:

ImgPrArt_1

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1

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817 pensamientos en “PROGRESIONES ARITMÉTICAS

  1. Xf ayuda
    El guardián de una hacienda ha plantado a partir del pozo, cada 5 metros y en la dirección norte un total de 27 árboles, y puede sacar agua del pozo cada vez para el riesgo de un solo árbol. ¿Cuánto tiene que andar para regar los 27 árboles sabiendo que del primer árbol al pozo de agua hay 8 metros de distancia?

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    • Damariz:
      P—–8m——–A—5m—A—5m—A—5m—…A—5m—A(27)
      a1= 8
      a2= a1+d=8+5= 13 m
      Sabemos que:
      an=a1+(n-1)·d
      a27=8+(27-1)·5= 138 m
      Hallamos la distancia total recorrida:
      Sn= (a1+an)/2·n
      S27= 8+138/2·27= 1971 m
      Pero el recorrido será de ida y vuelta, luego la distancia recorrida será:
      Dt= 1971·2= 3492 m

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  2. Me pueden ayudar este problema: la cantidad de mariposas que se exportan en un año determinado está dado por la expresión An=5000+300, en la que n es el número del año en que se exporta y el primer año en que se exportaron las mariposas fue el 2008, ¿cuál es la razón de la progresión aritmética cuyo término con la cantidad de mariposas exportadas por año?

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  3. Me pueden ayudar con el ejercicio que dice así: En una progresión aritmética el último término es 540, el número de términos es 90 y la razón es 6. Calcular el primer término de la progresión. Ayuda, por favor.

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  4. Hola me pueden ayudar con este problema:
    Encuentra una sucesión de cuatro números, el primero de los cuales es 6 y el cuarto es 16, donde los tres primeros forman una progresión aritmética y los tres últimos una progresión geométrica.

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  5. Buenas noches, Manuel me puede ayudar con estos ejercicios.
    Principio de Sustitución: lim 𝑥2 + 3𝑥 − 5
    𝑥→1 𝑥→1

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    • cafecamilo:
      lim 𝑥2 + 3𝑥 − 5
      𝑥→1
      Sustituyendo x por su valor: x=1, tenemos
      lim 𝑥2 + 3𝑥 − 5= (1)^2+3·1-5= 1+3-5=4-5= -1
      𝑥→1

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      • Buenas noches Manuel, me puede colaborar con este ejercicio de Límites al infinito. Gracias
        Lim √ 𝑥2 ― 1
        𝑥 → ͚ √ 2𝑥 + 1

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      • Cafecamilo:
        Entiendo que el enunciado es un cociente en el que:
        el numerador es:√ 𝑥2 ― 1; y el radicando es 𝑥2 ― 1
        el denominador es:√ 2x + 1; y el radicando es 2x + 1
        Si no fuese éste el enunciado, indícamelo
        Lim √ 𝑥2 ― 1/
        𝑥 → ͚ √ 2𝑥 + 1
        Al sustituir x por su valor, queda una indeterminación de la forma: ∞/∞
        Lim √ 𝑥2 ― 1/
        𝑥 → ͚ √ 2𝑥 + 1
        Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x, en este caso 𝑥2^
        Lim √ 𝑥2/𝑥2 ― 1/𝑥2
        𝑥 → ͚ √ 2𝑥/𝑥2 + 1𝑥2
        Por tanto:
        (1-1/∞)/(2/∞+1/∞)= (1-0)/0+0= 1/0= ∞

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    • Hola Manuel, no se si me puede dar su correo para enviarle bien el ejercicio, es que aca no se deja poner bien, Gracias

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  6. Buenas noches. Me pueden colaborar con esto: El valor por que se multiplica cada término de una progresión geométrica para conseguir el siguiente, ¿se conoce como?

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  7. Buenas tardes me puedes colaborar con este ejercicio
    En una progresión geométrica el primer término es 7. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11?

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  8. BUENOS DÍAS SER QUE ME PUEDEN COLABORAR CON ESTOS EJERCICIOS. POR FAVOR
    1). Planteé el término general de una progresión aritmética cuyo primer término es 21 y la diferencia común es 3/2. Adicionalmente encuentre la suma de los 6 primeros términos y el valor del término 24.

    2). Se reparte un bono de Navidad a los 10 mejores vendedores de una empresa. Se sabe que, a mayor venta mayor
    bono, y que la diferencia entre 2 bonos consecutivos es siempre constante y es de 12.250 Además el vendedor 1 recibe el menor bono y el vendedor 10 recibe el mayor bono. Si el vendedor 4 recibe un bono de 650.000.
    a) ¿Cuánto recibe el mejor vendedor?
    b) ¿Cuánto recibe el peor vendedor?
    c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar
    d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar

    GRACIAS POR SU COLABORACIÓN

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    • LORE:
      1). Planteé el término general de una progresión aritmética cuyo primer término es 21 y la diferencia común es 3/2.
      a1= 21; d= 3/2
      Sabemos que:
      an=a1+(n-1)·d
      an= 21+(n-1)·3/2
      an=(39+3n)/2
      Suma de los 6 primeros términos:
      a6=21+5·3/2
      a6=57/2
      Sn= (a1+an)/2
      S6= [(21+57/2)]·6/2
      S6= 141/2
      El valor del término 24.
      a24=a1+(n-1)·d
      a24= 21+23·3/2= 111/2
      2). Se reparte un bono de Navidad a los 10 mejores vendedores de una empresa. Se sabe que, a mayor venta mayor bono, y que la diferencia entre 2 bonos consecutivos es siempre constante y es de 12.250. Además el vendedor 1 recibe el menor bono y el vendedor 10 recibe el mayor bono. Si el vendedor 4 recibe un bono de 650.000.
      a) ¿Cuánto recibe el mejor vendedor?
      a4=a1+(n-1)·d
      650.000=a1+3·12.250
      a1= 650.000-110250= 613.250
      El mejor vendedor es a10,
      a10= a1+9d
      a1= 613.250+9·12.250
      a10= 723.500
      b) ¿Cuánto recibe el peor vendedor?
      a1= 613.250
      c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar
      Aritmética por cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada diferencia.
      d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar
      Creciente porque la razón es positiva

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  9. Buenos días, ¿me podrían ayudar con este ejercicio? Mi reloj por cada hora transcurrida se adelanta 3 minutos: es evidente que el número de minutos adelantados acumulados forman una progresión aritmética. Hallar el término general.

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  10. De las siguientes sucesiones, determinar si son monótonas y si convergen o divergen
    3/4,4/9,7/16,10/15,13/36

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  11. Buen día, me podrían ayudar con este ejercicio:
    La suma de los términos que ocupan el lugar impar, en una progresión geométrica de seis términos, es 1365, y la suma de los que ocupan el lugar par, 5460. Hallar el primer término y la razón.

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  12. Buenas tardes me pueden por favor ayudar con este problema.
    Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 3/2, y la suma de sus tres primeros términos es 12. Adicionalmente, plantee el término general.

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    • Jennifer:
      Sabemos que:
      d= 3/2
      a1+a2+a3= 12
      Expresando los 3 términos en función de a1:
      a1+(a1+d)+(a1+2d)=12
      a1+a1+d+a1+2d=12
      3a1+3d=12
      a1+d=4
      a1+3/2=4
      a1=4-3/2
      a1=5/2
      an=a1+(n-1)·d
      an=5/2+(n-1)·3/2
      an=5/2+3n/2-3/2
      an=5/2-3/2+3n/2
      an=1+3n/2

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      • Muchísimas gracias por responderme tan prontamente, ¿eso sería todo? La verdad no tengo ni idea de esto y por más que veo y veo ejercicios empiezo pero después me pierdo y me enredo.

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      • Jennifer:
        De nada. Me alegra haberte ayudado. Déjame en comentarios los problemas que necesites, y si puedo te ayudaré.

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  13. Hola me puedes ayudar por favor con los siguientes problemas
    Un administrador de empresas debe hacer una inversión de 100 millones de pesos para la empresa que gerencia, ha
    decidido iniciar un ahorro para la empresa, el capital inicial del ahorro es de 10 millones para empezar y 1,3 millones cada mes siguiente.
    a) ¿En cuánto tiempo podrá tener el dinero para su inversión?
    b) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar.
    c) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar.

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    • Israel:
      Así lo entiendo:
      I= 100 millones es la suma total: Sn
      El capital inicial es 10 millones= a1
      Razón es 1,3 millones
      Sn= an·r-a1/r-1
      an= a1·r^n-1
      Por tanto,
      Sn= (a1·r^n-1)·r-a1/r-1
      Sn= a1·r^n-a1/r-1
      Sn=a1(r^n-1)/r-1
      100=10(1,3^n-1)/1,3-1
      100=10(1,3^n-1)/0,3
      30= 10(1,3^n-1)
      3= 1,3^n-1
      1,3^n=3+1=4
      1,3^n=4
      Tomando logaritmos:
      n·log1,3= log4
      n=log4/log1,3
      n= 0,602060/0,113943
      n= 5,28 meses aproximadamente.
      b) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar.
      Es una progresión geométrica porque cada término es igual al anterior por una razón constante
      c) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar.
      Es creciente porque la razón es mayor que 1

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      • Buenas noches cordial saludo, estimado Manuel

        Requerimos de su apoyo:
        Encontrar el termino (a-sub n) de las siguientes series e indica los 2 siguientes números:
        a) 8, 13, 23, 38, 58
        b) 2/4, 3/12, 5/30, 7/53

        Muchas gracias, quedamos atentos.

        RAMIRO REVELEZ
        3155122003

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      • Ramiro:
        Encontrar el término (a-sub n) de las siguientes series e indica los 2 siguientes números:
        a) 8, 13, 23, 38, 58
        Es una sucesión cuadrática, cuyo término general responde a la forma: tn= an^2+bn+c
        Así:
        to—-t1—–t2—–t3—–t4——t5
        8—–13—–23—–38—–58
        —mo—-m1—–m2—–m3
        —+5—+10—-+15—-+20
        ——5——5—–5—-
        r= m2-m1= 15-10= 5
        m0= m1-r= 10-5= 5
        t0= t1-m0= 13-5= 8
        Hallamos a, b y c:
        a=r/2=5/2
        b= m0-a= 5-5/2=5/2
        c=t0= 8
        Luego el término general será:
        tn= 5·(n^2)/2+5n/2+8
        tn= (5n^2+5n+16)/2
        Aplicando la fórmula del tn hallado:
        a5= 83
        a6= 113

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  14. Manuel me podría ayudar con este ejercicio:

    Andrés ingresa a una dieta para subir de peso, esta dieta, le exige iniciar tomando 400mg de multivitamínico el primer día e ir tomando 45 mg más cada día durante los 50 días que el doctor le ha programado la dieta. 5 mg de multivitamínico cuesta 20 Pesos. Responda las siguientes preguntas.
    a) ¿Cuánto multivitamínico consumirá Sergio en el total de su dieta?
    b) ¿Cuánto dinero gastará comprando este multivitamínico?
    c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar
    d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar

    Problema 2. Una pequeña ciudad tiene 20.000 habitantes. Uno de ellos se entera de una noticia. Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos. Cada uno de estos, la transmite en una hora a otros tres de sus vecinos que desconocen la noticia. Éstos repiten la comunicación en las mismas condiciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en enterarse todos los habitantes de la ciudad?

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    • Camilo:
      Problema 1:
      a1= 400 mg
      n=50 días
      d=45 mg
      Hallamos an:
      an= a1+(n-1)·d
      a50= 400+(50-1)·45= 2605
      a) ¿Cuánto multivitamínico consumirá Sergio en el total de su dieta?
      Sn=a1+an/2·n
      S50= 400+2605/2·50= 75.125 mg
      b) ¿Cuánto dinero gastará comprando este multivitamínico?
      Si 5mg cuestan 20 pesos
      75.125 mg costarán x pesos
      x=20·75125/5= 300.500 pesos
      c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar
      Es aritmética porque cada elemento se obtiene del anterior sumándole una cantidad constante llamada diferencia, en este caso: 45 mg
      d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar
      La progresión es creciente porque la diferencia es positiva: 45 mg
      Problema 2:
      a1= 1
      r=3
      an=20.000
      Sabemos que:
      an= a1·r^(n-1)
      20.000= 1.3^(n-1)
      3^(n-1)= 20.000
      Tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación:
      (n-1)·log 3= log(2·10^4)= log2+4·log 10
      n-1=(log2+4·log 10)/log 3
      n-1= (0,301030+4)/0,477121
      n-1= 9,014
      n= 9,014+1= 10,014 horas

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  15. Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 175 Kg y su peso ideal debería ser de 80Kg. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de 3 2 Kg mensualmente. ¿En cuánto tiempo Pedro alcanzaría su peso ideal? ¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar

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  16. Hola chicos, quién me ayuda con esto: si la suma de los 35 términos de una serie aritmética cuya razón es 11, es 1575, entonces el primer término es: ALTERNATIVAS: 34 – 14 – 24 – 45 — 16.

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    • ING:
      Sabemos que:
      Sn= [(a1+an)·n/2]
      1575= [(a1+an)·35]/2
      1575/35=(a1+an)/2
      45= (a1+an)/2
      a1+an=90 (ecuación 1)
      Por otra parte, sabemos que:
      an= a1+(n-1)
      an=a1+(35-1)·11
      an=a1+34·11
      an=a1+374 (ecuación 2)
      Sustituimos el valor de an de la ecuación 2 en la 1:
      a1+an=90
      a1+(a1+374)=90
      2a1+374=90
      2a1=90-374
      2a1= -284
      a1= -284/2
      a1= -142

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  17. Hola quisiera saber si me puedes apoyar con este ejercicio.

    Determinar cuatro números en progresión geométrica tal que los dos primeros sumen 95 y los dos últimos 36.

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    • Yésica:
      La dificultad de este problema radica en los números tan difíciles con los que hay que operar pero el planteamiento no es complejo
      Los dos primeros suman 95:
      a1+a2= 95
      Los dos últimos 36
      a3+a4= 36
      ponemos todos los términos en función de a1:
      a1+a1·r= 95 (ecuación 1)
      a1·r^2+a1·r^3= 36
      Operando tenemos:
      1/r^2=95/36
      r=(6·√95)/95
      Sustituyendo el valor de r en la ecuación 1, tenemos:
      a1= 9025/(95+6·√95)
      Sabemos que a2= a1·r= {9025/(95+6·√95)}·(6·√95)/95, luego operando,
      a2= [570(√95-6)]/59
      Sabemos que a3=a2·r= {[570(√95-6)]/59}.(6·√95)/95,luego operando,
      a3= (3420-216√95)/59
      Sabemos que a4= a3·r= {(3420-216√95)/59}·(6·√95)/95, luego operando,
      a4= [216√95-1296]/59

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  18. Hola me pueden ayudar en este ejercicio: el ahorro de 3 años de una empresa estaba en una progresión aritmética, si en los 3 años ahorro 240 millones y el primer año ahorro la mitad de lo que ahorra en el segundo, ¿cuánto ahorró cada año?

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    • Carolina:
      Sean a1, a2 y a3 los tres años de ahorro de la empresa en P.A.
      Sabemos que :
      a1=a1
      a2=a1+d
      a3=a2+d=a1+2d
      Además:
      S3=240
      Sabemos que:
      Sn= (a1+an).n/2
      240= a1+a3/2.3
      480/3=a1+a3
      Poniéndolo en función de a1:
      160=a1+a1+2d
      160= 2a1+2d
      80= a1+d (ecuación 1)
      Por otra parte, sabemos que:
      El primer año ahorro la mitad de lo que ahorra en el segundo:
      a1=a2/2
      Poniéndolo en función de a1:
      a1= a1+d/2
      2a1= a1+d
      a1=d
      Sustituimos su valor en la ecuación 1:
      80= 2a1
      a1= 40
      a2= a1+d= 40+40= 80
      a3= 40+2.40= 4+80= 120

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  19. Me pueden ayudar con este problema, Lucía pone en práctica un plan de ahorro durante todo el año 2016. En enero, ahorra S/. 250 y cada mes aumenta el monto de forma constante. Si en diciembre tendrá ahorrado s/. 580. ¿Cuánto dinero incrementa en cada ahorro del mes? gracias.

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  20. Hola compañero me puedes ayudar en este ejercicio por favor: En una progresión aritmética de diez términos, todos los términos tienen dos dígitos, si se sabe que el primero y el último tienen los mismos dígitos pero en orden invertido, que la suma de todos los términos es 330 y que el sexto término es el triple del 1er término. Hallar la razón, el primer y el último término.
    Muchas gracias

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    • Wiker:
      La suma de todos los términos es 330:
      S10= [(a1+a10)·n]/2
      330= [(a1+a10)/2]·10
      a1+a10= 66 (ecuación 1)
      Sabemos que:
      a10= a1+9d
      Sustituyendo en la ecuación 1:
      a1+(a1+9d)= 66
      2a1+9d= 66 (ecuación 2)
      El sexto término es el triple del 1er término:
      a6= 3a1
      a6= a1+5d
      3a1= a1+5d
      2a1= 5d
      a1= 5d/2 (ecuación 3)
      Sustituimos el valor de a1 de la ecuación 3 en la 2:
      2a1+9d= 66 (ecuación 2)
      2(5d/2)+9d= 66
      Resolviendo esta ecuación,
      d= 33/7
      Sustituyendo su valor en la ecuación 3
      a1= 5d/2 (ecuación 3)
      a1= 165/14
      Luego a10 será:
      a10= a1+9d= 165/14+9(33/7)= 759/14

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  21. Hola me pueden ayudar: hallar el primer término de una progresión aritmética cuyos cuarto y quinto términos son 5 y -3, respectivamente

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  22. Me puedes ayudar ., POR FAVOR
    …con este ejercicio: el mayor de los 3 números que forma una P.A. creciente es el triple del numero menor, además el producto de los tres números es 3072. Determina dichos números

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    • Mayra:
      Sean a1, a2 y a3 los tres números que forman la progresión aritmética, de manera que:
      a1= a1
      a2= a1+d
      a3= a1+2d= 3a1
      Luego:
      a1+2d= 3a1
      3a1-a1= 2d
      2a1= 2d
      a1= d
      Sabemos que:
      a1.(a1+d)(a1+2d)=3072
      Como a1= d, podemos poner:
      d(2d)(3d)= 3072
      6d^3= 3072
      d^3= 3072/6=512
      d^3= 512= 2^9
      d= 8
      Por tanto,
      a1= 8
      a2= a1+d= 8+8= 16
      a3= a1+2d= 8+2·8= 8+16= 24

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  23. Ayúdame con este problema por favor:
    Una progresión aritmética tiene 15 términos y su término central vale 5. ¿Cuánto vale la suma de los 15 términos?

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    • Fernando:
      Expresando todos los términos en función del término central: a8= 5
      a1= 5-7d
      a2= 5-6d
      a3= 5-5d
      a4= 5-4d
      a5= 5-3d
      a6= 5-2d
      a7= 5-d
      a9= 5+d
      a10= 5+2d
      a11= 5+3d
      a12= 5+4d
      a13= 5+5d
      a14= 5+6d
      a15= 5+7d
      Sumando los 15 términos queda:
      15×5= 75 es la suma total

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  24. Hola, también me podrías colaborar con ésta

    Calcular las siguientes derivadas de orden superior.

    F(x)=x ³+ 3x² +3x+1; f””(x)

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  25. Me puedes colaborar por favor
    Aplicando los conceptos de la derivación calcular las siguientes derivadas.
    F(x)= X² •in(x)

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  26. Derivadas Implícitas: Calcular dy
    —-
    dx

    Sen (x) +2 cos(2y)=2

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  27. Me podrían ayudar con este ejercicio por favor:
    Hallar “m” si la siguiente progresión aritmética tiene 137 términos: m1;m4;….;mm9

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    • Dana:
      Cada término lo podemos expresar como:
      a1= m1= 10m+1
      a2= m4= 10m+4
      a137= mm9= 100m+10m+9
      Calculamos la diferencia de la P.A.
      d= a2-a1= 10m+4-(10m-1)= 10m+4-10m-1= 3
      d=3
      Sabemos que: an= a1+(n-1).d
      En este caso:
      a137=a1+(n-1).d
      100m+10m+9= (10m+1)+(137-1)·3
      100m+10m+9= 10m+1+(136·3)
      100m+10m+9= 10m+1+408
      100m= 409-9
      100m= 400
      m=400/100= 4
      m= 4

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  28. Hola,por favor me puedes ayudar con este ejercicio:
    Dada la P.A.: ÷ a, b, c, d
    Calcular: E=b al cuadrado+ c al cuadrado+ (a – b ) al cuadrado – ( b – c ) al cuadrado – ( c – d ) al cuadrado
    Si: bc=50

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    • Jennifer:
      bc=50;
      Por otra parte:
      E= b^2+c^2+(a-b)^2-(b-c)^2-(c-d)^2
      La diferencia es:
      d1= b-a
      d2= c-b
      d3= d-c
      Luego,
      b-a=c-b; (-1)(b-a)=(-1)(c-b); -b+a= -c+b; a-b=b-c
      b-a=d-c; (-1)(b-a)=(-1)(d-c); -b+a=-d+c; a-b=c-d
      c-b=d-c; (-1)(c-b)= (-1)(d-c); -c+b=-d+c; b-c=c-d
      Poniendo E todos los términos en función de b y c:
      E= b^2+c^2+(a-b)^2-(b-c)^2-(c-d)^2
      E= b^2+c^2+(b-c)^2-(b-c)^2-(b-c)^2
      E= b^2+c^2-(b-c)^2
      E= b^2+c^2-(b^2+c^2-2bc)
      E= b^2+c^2-b^2-c^2+2bc
      E= 2bc
      E= 2.50
      E= 100

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  29. Por favor me puedes ayudar con estos ejercicios:

    1. Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:

    ∫ x^3(x^4+3)^2 dx

    2.Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad usada.

    ∫ x^2sen(x) dx

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    • Vanesa:
      1. Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:
      ∫ x^3(x^4+3)^2 dx = ∫ x^3(x^8+6x^4+9)dx= ∫ (x^11+6x^7+9x^3)dx= ∫x^11dx ∫+6x^7dx+∫9x^3dx= (x^12/12)+(6x^8/8)+(9x^4/4)= (x^12+9x^8+27x^4)/12+ C
      O también:
      Hacemos el siguiente cambio:
      (x^4+3)= u
      du= 4x^3dx
      dx=du/4x^3
      Sustituyendo:
      ∫x^3(x^4+3)^2 dx= ∫x^3.u^2.du/4x^3=∫u^2.du/4=1/4∫u^2.du= 1/4.u^3/3= 1/12.u^3= 1/12((x^4+3)^3

      2.Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad usada.
      ∫x^2sen(x)dx:
      Integración por partes:
      ∫x^2sen(x)dx:
      Hacemos::
      u= x^2; dv= senxdx
      Así:
      du= 2xdx; v= -cos x
      Por tanto:
      ∫x^2sen(x)dx= -x^2cosx+2∫xcosxdx
      Nuevamente por partes:
      u=x; dv= cosxdx;
      Así:
      du= dx; v= cosx
      Luego:
      ∫x^2sen(x)dx= -x^2cosx+2∫xcosxdx= ∫x^2sen(x)dx= -x^2cosx+2(xsenx-∫senxdx)=-x^2cosx+2xsenx+2cosx +C

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  30. Hola, me ayudas con este ejercicio por favor, que lo intento mucho y llego a cosas absurdas y no logro.
    Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si aumentamos a en una unidad o aumentamos c en dos unidades, los tres valores respectivos, están en progresión geométrica. Determina los tres números.

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    • MArti:
      Los números a,b y c (distintos de cero) están en progresión aritmética. Supongamos que: a<b<c. Significa que:
      a=a
      b=a+d
      c=b+d=a+2d
      Si aumentamos a en 1 unidad los tres están en progresión geométrica:
      a+1<b<c
      Sabemos que en una progresión geométrica la razón es el cociente entre un término y el anterior:
      r=a2/a1
      r=a3/a2
      Así:
      b/(a+1)=c/b
      Sustituimos los valores de b y c en función de a:
      a+d/a+1=a+2d/(a+d)
      (a+d)^2= (a+1)(a+2d) (ecuación 1)
      Si aumentamos c en dos unidades, los tres valores respectivos, están en progresión geométrica:
      a<b<c+2
      Igual que antes sabemos que en una progresión geométrica la razón es el cociente entre un término y el anterior:
      r=a2/a1
      r=a3/a2
      b/a=(c+2)/b
      Sustituimos los valores de b y c en función de a:
      a+d/a=[(a+2d)+2]/a+d
      (a+d)^2= a[(a+2d)+2]
      (a+d)^2= a[a+2d+2] (ecuación 2)
      Igualando en (a+d)^2 la 1 y la 2:
      (a+1)(a+2d)=a(a+2d+2)
      Resolviendo esta ecuación queda:
      a= 2d
      Ahora por tanteo, se dan valores a d, y el que cumple los requisitos es:
      d= 4
      Luego los números buscados son:
      a= 2d= 2.4= 8
      b= a+d= 8+4= 12
      c= a+2d= 8+2.8= 8+8= 16
      Están en progresión aritmética, cuya razón es 4
      Están en progresión geométrica cuando se le suma 1 a 8= 9; y 2 a 16= 18
      a+1=8+1= 9
      r=b/a=c/b
      12/9=16/12
      12×12=9×16= 144
      c+2=16+2= 18
      r=b/a=c/b
      12/8=18/12
      12×12=8×18= 144

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  31. Buenas me podrías ayudar con el siguiente: Calcular el tercer término negativo en la siguiente progresión aritmética: 520,514,508,502. Gracias de antemano

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  32. Hola, interesante los problemas resueltos
    Por favor Ayudarme con el siguiente problema
    En una PA tiene 50n términos. Si el primer término es 1 y el otro es 638. ¿Cuál es la razón?

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  33. Hola me podrían ayudar en este ejercicio: determinar la cota inferior y/o superior de 1/4n es creciente o decreciente, es convergente o divergente. Justifica tu respuesta

    Gracias de antemano

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    • Estrella:
      Se pueden representar colocando en el eje de abscisas los valores de n; y en el eje de ordenadas los valores de f(n)
      Damos valores a n:
      para n= 1; a1= 1/4.1= 1/4
      para n= 2; a2= 1/4.2= 1/8
      para n= 3; a3= 1/4.3= 1/12
      Luego,
      La cota superior es 1/4 porque es el máximo valor que puede alcanzar f(n)
      La cota inferior es cero porque el límite de 1/4n cuando n tiende a infinito es cero
      Es decreciente porque a1>a2>a3…y convergente tiende a cero

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  34. La suma de los 7 primeros términos de una progresión geométrica creciente es 2186, y la razón del séptimo término sobre el segundo término es 243. Hallar el término de lugar 4.

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    • Ylem:
      r=a7/a2
      Poniéndolo en función de a1:
      r= a1.r^6/a1.r
      243=r^5
      Hallamos la raíz quinta de 243
      r= 3
      Sabemos que:
      a7=a1.r^6
      Sn= an.r-a1/r-1
      Sustituimos el valor de a7 en la fórmula de la suma:
      S7= (a1.r).r-a1/r-1
      S7= a1.r^7-a1/r-1= a1(r^7-1)/r-1
      2186= a1.(3^7-1)/3-1
      2186= a1.(3^7-1)/2
      4372= a1(3^7-1)
      a1= 4372/2187-1
      a1= 4372/2186= 2
      Por tanto:
      a4= a1.r^n-3
      a4= 2.3^3
      a4= 2.27
      a4= 54

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  35. Hola me podrías colaborar con este otro punto por favor
    De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    n+5
    _____
    n−2

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    • Yesenia:
      Entiendo que hay que hallar la cota superior e inferior de n+5/n-2 para n>2
      Damos valores a n;
      n=3 a1=3+5/3-2=8/1=8
      n=4 a2=4+5/4-2=9/2
      n=5 a3=5+5/5-2=10/3
      Por tanto la cota superior es 8 y la cota inferior es 1 porque el límite de n+5/n-2 cuando n tiende a infinito es 1

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  36. Hola me puedes ayudar
    De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    1/4n

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    • Deysi:
      1/4n damos valores a n:
      n= 1; 1/4.1=1/4
      n= 2: 1/4.2=1/8
      n= 3; 1/4.3=1/12

      De donde se deduce que:
      La cota superior es 1/4 porque es el mayor valor que se puede obtener de la sucesión
      La cota inferior es cero porque el límite de 1/4n cuando n tiende a infinito es cero

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    • Buenos días me podrías por favor colaborar:
      En una colonia de abejas, en el primer día de investigación, alumnos de Ingeniería Agrícola contabilizaron 3 abejas, el segundo día habían 9, el tercero habían 27.
      a) ¿Cuántas abejas nacieron hasta el 5 día?

      b) ¿Cuántas abejas habían después de una semana? (en este caso la semana tiene 7 días)

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  37. Hola me podrían ayudar con este ejercicio?
    De las siguientes sucesiones, determina si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    2,4,8,16,32,64

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  38. Cordial saludo Manuel,

    Serias tan amable de colaborarme con la solución de este ejercicio de sucesiones.

    De las siguientes sucesiones determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    -4,9,-16,25,-36,49…..

    De antemano gracias!

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  39. ALGUIEN PODRIA AYUDARME PORFAVOR

    De las siguientes sucesiones, determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.
    3,8,15,24,35,48,…..

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  40. Hola, muy buenas tardes, alguien me podría ayudar con la cota inferior y superior de esta sucesión 3n/2n^2, les agradecería mucho…

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  41. Sto .. Alguien Sabe ?
    1. El quinto término de un P.A es 24 y duodécimo término es 59. Hallar el término del lugar 1000.
    2. Si a ; 3a ; 10a forman Una P.A, ¿cuál es el valor de la razón de dicha progresión?

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    • Eduardo:
      1. El quinto término de un P.A es 24 y duodécimo término es 59. Hallar el término del lugar 1000.
      Expresamos a5 y a12 en función de a1:
      a5=a1+4d
      a12=a1+11d
      Así:
      a1+4d= 24 (ecuación 1)
      a1+11d= 59 (ecuación 2)
      Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene:
      a1= 4
      d= 5
      a1000= a1+(n-1)xd
      a1000= a1+999xd
      a1000= 4+999×5= 4+4995
      a1000= 4.999
      2. Si a ; 3a ; 10a forman Una P.A, ¿cuál es el valor de la razón de dicha progresión?
      d= a2-a1= 3a-a= 2a
      d= a3-a2= 10a-3a= 7a
      Igualando d:
      2a=7a
      2=7. Es imposible. ¿Es correcto el enunciado?

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  42. Cordial saludo Manuel
    Me podrías colaborar con la solución de este problema, te lo agradezco mucho.

    De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 12 y la suma de los 3 primeros términos es 23. Halla la suma de los 10 primeros términos.

    Quedo atento muchas gracias por tu apoyo.

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    • Luis:
      1.- El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 12 y la suma de los 3 primeros términos es 23. Halla la suma de los 10 primeros términos.
      1º hallamos la diferencia de la P.A.
      an= a1+(n-1).d
      a3= a1+(3-1).d
      12= 3+2d
      2d= 12-3= 9
      d=9/2
      2º hallamos a10:
      a10= a1+(10-1).d
      a10= 3+9.9/2
      a10= 87/2
      3º hallamos la suma pedida:
      Sn= a1+an/2.n
      S10= (3+87/2)/2.10
      S10= 465/2= 232,5

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  43. Ángela ha vuelto encantada de sus vacaciones, y ha compartido con 20 amigos las fotos en una red social. Cada uno de ellos, a su vez, las ha compartido con otros 20, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas pueden ver las fotos de las vacaciones de Ángela, si se han compartido hasta el 6º grado de amistad?

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    • María:
      El número de elementos de la P.G. es 6
      La razón es 20
      a1= 20
      Hallamos a6:
      a6=a1.r^5
      a6=20.20^5= 20^6= 64.000.000
      Hallamos la suma de los 6 términos de la P.G.
      S6=a6.r-a1/r-1
      S6= [(20^6).20-20]/20-1
      S6= 67.368.420 personas verían sus fotos

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  44. Hola me podrías ayudar en este ejercicio por favor
    El primer término de una P.A. es 9 y su décimo termino es 79. Hallar su razón si dicha P.A. tiene 9 términos
    Gracias

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  45. Cordial saludo Manuel, podrías colaborarme con solución de este ejercicio.

    El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 12 y la suma de los 3 primeros términos es 23. Halla la suma de los 10 primeros términos.

    Te lo agradezco, eres muy amable

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  46. Hola esta también me podrían ayudar:
    Una progresión aritmética termina en 13, si la suma de sus términos es 76 y la diferencia es 1. Calcular el primer término y el número de términos de que consta.

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    • Joseel:
      an= a1+(n-1).d
      13= a1+(n-1).1
      13= a1+n-1
      a1+n=14
      n=14-a1 (ecuación 1)
      Sn=a1+an/2.n
      76=a1+13/2.n
      152=(a1+13).n (ecuación 2)
      Operando con las ecuaciones 1 y 2 queda la siguiente ecuación de 2º grado en a1:
      a1^2-a1-30= 0
      Resolviendo la ecuación:
      Para a1= 6; n= 8
      para a1= -5; n= 19

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