Problemas de Matemáticas Resueltos

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Problema 51:

En una progresión aritmética la suma de sus n primeros términos es

imgprart_51

para todo valor de n. Hallar el primer término y la diferencia.

solución-progresiones-aritméticas-51

Problema 50:

Hallar el valor de los ángulos interiores de un pentágono convexo, sabiendo que están en progresión aritmética y que la diferencia entre al mayor y el menor es 140º.

solución-progresiones-aritméticas-50

Problema 49:

La suma de los veinticinco primeros términos de una progresión aritmética  vale 800, y el producto de sus extremos es -272. Calcular el término primero, el último y el que ocupa el lugar veinte. Supóngase que la progresión es decreciente.

solución-progresiones-aritméticas-49

Problema 48:

Hallar una progresión aritmética de nueve términos, sabiendo que los tres primeros suman 36 y los tres últimos 162.

solución-progresiones-aritméticas-48

Problema 47:

El área de un triángulo rectángulo es 54 m2. Calcular las longitudes de sus lados, sabiendo que están en progresión aritmética.

solución-progresiones-aritméticas-47

Problema 46:

Calcular la suma de todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 100 y 10.000.

solución-progresiones-aritméticas-46

Problema 45:

¿Cuántos números impares consecutivos a partir del 1 es preciso tomar para que su suma sea igual 7744.

solución-progresiones-aritméticas-45

Problema 44:

La suma de tres números en progresión aritmética  vale 15; y si al segundo de estos números se les resta una unidad, resulta una progresión geométrica. Hallar dichos números.

solución-progresiones-aritméticas-44

Problema 43:

Hallar la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de los cuadrados de los términos segundo y séptimo es 477, y que la diferencia entre los términos octavos y segundo es 18.

solución-progresiones-aritméticas-43

Problema 42:

En la progresión aritmética: 3…..23……59, el número de términos que hay entre 3 y 23 es la mitad de los comprendidos entre 23 y 59. Hallar la razón, el número de términos y la suma de ellos.

solución-progresiones-aritméticas-42

Problema 41:

Se han interpolado “m” medios diferenciales entre 3 y 57 y “m-2” entre 5 y 19. Si la razón de la primera es el triple de la segunda, el cociente del penúltimo de la primera entre el penúltimo término de la segunda es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 41

Problema 40:

En una progresión aritmética el término de lugar “r” es “t” y el término de lugar “t” es “r”. Indica la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 40

Problema 39:

La suma de los cinco términos racionales de una progresión aritmética creciente es 40 y el producto de ellos es 12320. El quinto término es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 39

Problema 38:

En una progresión aritmética el primer término y el último término son 47 y 207, respectivamente. Halla el término decimosegundo si la suma de sus términos es 2667.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 38

Problema 37:

El primer término de una progresión aritmética es 5, el tercer término es 9 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 37

Problema 36:

Una progresión aritmética tiene un número impar de términos. El término central vale 22 y el producto de los extremos es 259. Entonces, ¿la diferencia del mayor menos el menor es?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 36

Problema 35:

La suma del tercer y octavo término de una progresión aritmética es 41 y la relación del quinto al séptimo es 19/25. Hallar el segundo término.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 35

Problema 34:

La suma de los términos de una progresión aritmética es 425 y su término central es 17. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 34

Problema 33:

Las cinco cifras de un número están colocadas en progresión aritmética. Sabiendo que la suma de los valores absolutos de todas sus cifras es 20 y que la primera es el doble de la tercera. Hallar dicho número.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 33

Problema 32:

Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 32

Problema 31:

La suma de los 8 primeros términos de una progresión aritmética es 64 y la suma de los 18 primeros términos es 324. Hallar la progresión

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 31

Problema 30:

Dada la sucesión

ImgPrArt_30

en la que n es un número natural, encontrar el enésimo término y la suma de sus términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 30

Problema 29:

ImgPrArt_29

Hallar un término de la anterior progresión cuya raíz cuadrada excede en la razón al término anterior

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 29

 

Problema 28:

El primer término de una progresión aritmética es 0,02; la razón 0,01, y el término central es igual al cuadrado de la suma de todos los términos. Calcular el número de éstos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 28

Problema 27:

ImgPrArt_27

Hallar dos términos consecutivos de esa progresión, de manera que sus raíces cuadradas se diferencien en una unidad.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 27

Problema 26:

Dos personas, saliendo y entrando al mismo tiempo, han recorrido la misma distancia. Calcular el número de kilómetros recorridos y los días que han tardado, sabiendo que una de ellas ha andado el primer día 6 kilómetros, 7 el segundo, y así sucesivamente, aumentando un kilómetro en cada día; y la otra ha recorrido 9 kilómetros el primer día, aumentando en cada uno de los días siguientes 1/4 de kilómetro.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 26

Problema 25:

En una progresión aritmética, el último término es     ImgPrArt_25-1   ;la razón   ImgPrArt_25-2, y la suma de todos los términos, ImgPrArt_25-3

Hallar el número de términos y el primero de ellos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 25

Problema 24:

La suma de los seis términos centrales de una progresión aritmética creciente de 16 términos es 141, y el producto de sus extremos, 46. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 24

Problema 23:

ImgPrArt_23

¿Qué términos correspondientes de esas dos progresiones tienen el mismo valor?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 23

Problema 22:

En una progresión aritmética, el primer término es 12; el número de términos, 9, y su suma, 252. Y en otra progresión, el primer término es 2, y la razón, 6. Dos términos del mismo lugar de esas progresiones son iguales. ¿Cuál es valor de ellos?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 22

Problema 21:

Los coeficientes de una ecuación de 2º grado y el término independiente forman una progresión aritmética. La suma de las raíces representa la tercera parte de la suma de los términos de la progresión, y el producto de las raíces excede en 7 unidades al coeficiente del 2º término. ¿ cuál es la ecuación?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 21

Problema 20:

El producto de tres números positivos, en progresión aritmética, es 2688, y el más pequeño de ellos , 12. Determinar los otros dos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 20

Problema 19:

La suma de los cinco primeros términos de una progresión aritmética es 45, y la suma de sus cuadrados 495. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 19

Problema 18:

La diferencia entre los términos extremos de una progresión aritmética creciente es 42; la diferencia es igual al número de términos, y la suma de éstos, 168. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 18

Problema 17:

La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3, y el último término, 1. Escríbase la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 17

Problema 16:

En una progresión aritmética de 6 términos, el primero es 2, y la suma de todos ellos es igual  a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 16

Problema 15:

Hallar la suma de todos los términos de la progresión.

ImgPrArt_15

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 15

Problema 14:

Calcular el número de términos de una progresión aritmética cuyo primer término es a-2; la diferencia, 2-a; y la suma, 10-5a

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 14

Problema 13:

El primer término de una progresión aritmética es 1; el segundo 2, y la suma de todos los términos, 210. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 13

Problema 12:

Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 6m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿qué camino habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 12

Problema 11:

Un vagón se desprende de un tren que sube una pendiente, recorre durante el primer segundo 0,30 m; durante el segundo 3×0,30; durante el tercero 5×0,30; durante el cuarto 7×0,30. ¿cuánto recorre en un minuto que dura el descenso?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 11

Problema 10:

Un cuerpo que cae recorre 4,9 m. durante el primer segundo de caída; y en cada segundo el espacio recorrido excede en 9,8 m al recorrido en el segundo anterior. Se pregunta:

1º lo que el cuerpo recorre durante el décimo segundo de su caída

2º el espacio recorrido durante los diez segundos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 10

Problema 9:

Búsquense los tres ángulos de un triangulo rectángulo , sabiendo que estos ángulos están en progresión aritmética?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 9

Problema 8:

¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena mas que a las horas?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 8

Problema 7:

Búsquese:

1º la suma de los 40 primeros múltiplos de 3

2º la suma de los 20 primeros múltiplos de 3 que siguen al 60

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 7

Problema 6:

ImgPrArt_6

Esta progresión es de 8 términos. Hallar la suma de ellos

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 6

Problema 5:

El primer término de una progresión aritmética es 17; el último 12, y la razón, -1/2. Hallar el número de términos y la suma de ellos.

SOLUCION PROGRESIONES ARITMETICAS 5

Problema 4:

Siendo, en una progresión aritmética, 16, 10 y 70, respectivamente, el último término, el número de términos y su suma, hallar el primer término y la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 4

Problema 3:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de la progresión

ImgPrArt_3

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 3

Problema 2:

La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12, y la razón, 16. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 2

Problema 1:

Hallar el octavo término de la progresión:

ImgPrArt_1

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1

553 pensamientos en “PROGRESIONES ARITMÉTICAS

  1. hola manuel mira es x ala 2 menos 3 mas 6 sobre 5x menos 1
    nose si me entiendas asi

    2/ lim x^2-3+6 / 5x-1
    x→2

  2. Hola Manuel gracias por los ejercicios que me has colaborado para ver si me ayudas con estos últimos:

    1/ lim sen3θ / 2θ
    θ→0

    2/ lim x^2 -3+6 / 5x-1
    x→2

    3/ lim x^4-16 / x^3-8
    x→2

    4/ lim [x^4 +3x / 3x^3-4x^2]
    x→∞

    5/ lim seno 4x / 3x
    x→0

    • Adrián:
      1/ lim sen 3θ/2θ
      θ→0
      Sabemos que el infinitésimo equivalente de sen x es x, luego:
      1/ lim sen 3θ/2θ= lim 3θ/2θ= 3/2
      θ→0 θ→0
      2/ lim x^2-3+6/5x-1
      x→2
      No entiendo el numerador: ¿x^2-3+6= x^2+3?
      3/ lim x^4-16/x^3-8
      x→2
      Es una indeterminación de la forma 0/0
      lim x^4-16/x^3-8= lim (x^2-4)(x^2+4)/x^3-8=lim (x^2-4)(x^2+4)/x^3-8= lim(x-2)(x+2)(x^2+4)/x^3-8
      x→2 x→2 x→2 x→2
      hacemos la división polinómica de:
      x^3-8/x-2= x^2+2x+4
      Por tanto, podemos poner:
      lim(x-2)(x+2)(x^2+4)/x^3-8 = lim(x-2)(x+2)(x^2+4)/(x-2)(x^2+2x+4)= lim(x+2)(x^2+4)/(x^2+2x+4)= (2+2)(2^2+4)/(2^2+2.2+4)= 4.8/3.4= 8/3
      x→2 x→2 x→2
      4/ lim [x^4 +3x/3x^3-4x^2]
      x→∞
      Es una indeterminación del tipo ∞/∞
      Dividiendo numerador y denominador por la x^4, tenemos:
      lim [x^4 +3x/3x^3-4x^2]= 1/0=∞
      x→∞
      5/ lim seno 4x/3x
      x→0
      Sabemos que el infinitésimo equivalente de sen x es x, luego:
      1/ lim sen 4x/3x= lim 4x/3x= 4/3
      x→0 x→0

  3. Buenas noches Manuel.
    Me podrás ayudar con este problema.
    Supongamos que un asalariado logra negociar un aumento del 10% de su sueldo que actualmente es de $7400, durante 3 meses y de manera acumulativa; mientras otro empleado logra un aumento del 12% de manera lineal, durante 3 meses. ¿ Cuál de las dos propuestas de aumento es la más beneficiosa para el empleado? ¿ Qué relación tiene esto con los conceptos de progresión aritmética y progresión geométricas?

    Muchas gracias.
    Aguardo su repuestas.

    • Gabriela:
      Así entiendo el problema:
      Empleado acumulativo:
      1er mes:
      7400×0,10= 740
      Sueldo: 7400+740= 8140$
      2º mes:
      8140×0,10= 814
      Sueldo: 8140+814= 8954$
      3er mes:
      8954×0,10= 895,4
      Sueldo: 8954+895,4= 9849,4$
      Total 3 meses:8140+8954+9849,4= 26943,4$
      Empleado lineal:
      1er mes:
      7400×0,12= 888
      Sueldo: 7400+888= 8288$
      2º mes:
      Sueldo: 8288+888= 9176$
      3er mes:
      Sueldo: 9176+888= 10064$
      Total: 8288+9176+10064= 27528$
      1.- ¿Cuál de las dos propuestas de aumento es la más beneficiosa para el empleado?
      El aumento lineal de 12%
      2.- ¿Qué relación tiene esto con los conceptos de progresión aritmética y progresión geométricas?
      El aumento lineal es una progresión aritmética tiene una diferencia común: 888$

  4. Manuel, te voy a dejar el link porque no me deja copiar bien los ejercicios. Son normas para resolver los ejercicios 4 y 5 del la fase número 2, y a lo último de la guía resolver los ejercicios de los estudiante 1 y 4 siguiente link. Por favor ayúdame y los límites que te mande también necesito esos ejercicios

    file:///C:/Users/USUARIO/Downloads/Gui%CC%80a%20Trabajo%20Colaborativo%202%20y%20plantilla%20de%20ejercicios%20fase%201.pdf

  5. Hola Manuel, me podrías ayudar con estos ejercicios:

    Encontrar los valores de (a) que hace que la función a trozos sea continua
    1/ f(x)= {ax^2 -2, si x>-2
    2x, si x -1
    3x, si x < -1
    3/ lim (2x -8)
    x→3
    4/ lim -x+2 / 4-x^2
    x→2
    5/ lim x^2 / x^3+x
    x→∞
    6/ lim sen3θ / 2θ
    θ→0

    • Adrián:
      3/ lim (2x -8)= 2.3-8= 6-8=-2
      x→3
      4/ lim -x+2 / 4-x^2
      x→2
      Si sustituimos x por su valor, nos da una indeterminación del tipo 0/0
      lim -x+2 / 4-x^2= lim 2-x/4-x^2 (el denominador es una igualdad notable de la forma: 4-x^2= (2+x)(2-x); es decir la diferencia de cuadrados (4-x^2) es igual a la
      x→2 x→2
      suma(2+x) por diferencia (2-x)
      Luego
      lim 2-x/4-x^2= lim 2-x/(2+x)(2-x)= lim 1/(2+x)= 1/2+2= 1/4
      x→2 x→2 x→2
      5/ lim x^2 / x^3+x
      x→∞
      Si sustituimos x por su valor nos da una indeterminación del tipo ∞/∞
      lim x^2 / x^3+x; dividimos por x^3 numerador y denominador
      x→∞
      lim x^2 / x^3+x= lim (x^2/x^3)/x^3/x^3+x/x^3= lim 1/x/1+1/x^2= 1/∞/1+1/∞= 0/1= 0
      x→∞ x→∞ x→∞

  6. Por favor ayuda con estos problemas:
    La población de una ciudad está disminuyendo a una tasa de 500 habitantes por año. Si su población era de 20135 a principios de 1960, ¿cuál será su población a principios de 1970?

    El valor de una mercadería se deprecia 3% cada año. Su precio original fue de 20000$ US, ¿cuÁnto valdrá al cabo de 5 años?

    Gracias de antemano.

    • Alejandro:
      1.- La población de una ciudad está disminuyendo a una tasa de 500 habitantes por año. Si su población era de 20135 a principios de 1960, ¿cuál será su población a principios de 1970?
      a1= 20135
      a2= 20135-500= 19635
      an=a1+(n-1).d
      a11=20135+(11-1)(-500)= 20135-5000= 15.135 (-500 porque va disminuyendo la población)
      2.-El valor de una mercadería se deprecia 3% cada año. Su precio original fue de 20000$ US, ¿cuánto valdrá al cabo de 5 años?
      a1= 20000
      diferencia: 20.000×0,03= 600
      an= a1+(n-1).d
      a6= 20000+(6-1).(-600)= 20.000-3000= 17.000 $

  7. buenas manuel me podrias ayudar con este problema de quimica

    A un evaporador entran 10000 kg/h de un
    jugo de caña de azúcar que tiene una
    concentración de sacarosa del 15%. Cuánto
    se debe agregar de agua pura para que la
    concentración final de la mezcla sea del 10 %
    en peso y cuanto se obtiene de producto final.

    Dibuje el diagrama de
    bloques del proceso
    mencionado en el
    ejercicio, las etapas
    pueden representarse por
    bloques. Es importante
    definir las entradas y
    salidas de cada etapa.

  8. Muchas gracias , eres muy amable

  9. Me podrías ayudar es urgente!!!
    1. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior:1/2n

    2.De las siguientes sucesiones,Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    4,-9,16,-25,36,-49,…..

    3.Problema 1: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su vigésimo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda
    que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones.
    a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance?
    b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance?
    c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué.
    d) a) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué.

    Problema 2. Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de
    cada uno de los 40 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 4m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena?

    • Edith:
      Así entiendo los problemas:
      1. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior:1/2n
      Para ello, damos valores a n: (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un= 1/2n; y en el eje X los valores de n:
      n=1—-a1=1/2.1=1/2= 0,5
      n=2—-a2=1/2.2=1/4= 0,25
      n=3—-a3= 1/2.3=1/6= 0,1666…
      n=4—-a4= 1/2.4=1/8= 0,125
      Su cota superior es 0,5: CS= 0,25 porque ningún valor de la sucesión va a ser mayor que 0,5
      Su cota inferior es 0: CI= 0, porque la función tiende a 0
      2.De las siguientes sucesiones,Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.
      4,-9,16,-25,36,-49,…
      Es una sucesión alternada porque alterna los signos de sus términos (por ejemplo los movimientos oscilatorios). Es divergente porque tanto sus términos pares comp impares tienden a más infinito
      Su representación sería como diente de sierra cada vez con mayor ordenada, tanto positiva como negativa, según se hace mayor la abscisa (en el eje de ordenadas, Y, se representaría f(n); en el eje de abscisa, X, se representaría los valores de n)
      Problema 2. Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 40 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 4m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena?
      Arena——10m———–árbol 1=(a1)———-4mts———-árbol 2(a2)———–4mts———-árbol 3 (a3)——
      ai= 10
      La razón de la progresión es 4 metros
      Podemos calcular la distancia al último árbol.
      an= a1+(n-1)
      a40= 10+(40-1).4= 10+39.4= 166 metros es la distancia al último árbol
      Distancia total recorrida:
      Sn= a1+an/2.n
      S40= 10+166/2.40=3520 es la distancia total recorrida al último árbol
      Distancia total recorrida (ida y vuelta)=3520.2= 7040 metros
      3/ Problema 3: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su vigésimo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones.
      a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance?
      Deuda es 20.000€
      la cantidad total a pagar es: 20.000.130%=20.000×1,3= 26.000€
      a1= 26.000€
      Se compromete a pagarlo en 24 meses, luego:
      26.000/24= 1083,33€
      Luego la diferencia es 1083,33€, en este caso negativa porque va disminuyendo la deuda
      Luego:
      a21= 26.000+(21-1).(-1083,33)= 26.000-21666,6= 4.333,4€
      Es la cantidad que le quedará por pagar cuando tiene el chance.
      b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance?
      No porque tiene un ganancia o chance de 4.000€, tenemos que: 4.333,4-4.000= 333,4€ le faltará por pagar
      c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué.
      Es una progresión aritmética cuya diferencia es 1.83,33€
      d) a) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué.
      Es decreciente porque la diferencia es menor que 1, d= -1.083,33€

  10. Buenas noches me podrían ayudar con este ejercicio
    Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 y la razón común es 8, adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término.

    • Jhoanna:
      1.- Término general
      an= a1.r^n-1
      an=12.8^n-1
      2.- la suma de los primeros 5 términos:
      hallamos a5= 12.8^4= 12.4096= 49.152
      Sn=an.r-a1/r-1
      S5= 49152.8-12/8-1= 56.172
      3.- el valor del décimo término.
      a10= 12.8^9= 1610612736

  11. Hola, Manuel Buenas tardes, podrías ser tan amable y colaborarme con este problema?
    Un pueblo que tenía 15.000 personas, no tiene hoy más que 6.561. La disminución anual ha sido la quinta parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenía 10.000 personas dicho pueblo?.. Lo más pronto Gracias…

    • Ruddy:
      a1= 15000
      an= 6561
      Como nos dice que hay una disminución anual de la quinta parte, significa:
      15000.1/5= 3000
      Luego la disminución es: 15.000-3.000= 12.000 habitantes, y por tanto el 2º término de la progresión
      Hallamos la razón: r
      r=a2/a1=15.000/12.000=4/5
      a3= 12.000×4/5= 9600 habitantes
      Luego:
      Habitantes—————————–15.000————–12.000———-9680
      Término progresión geométrica————a1——————-a2————-a3
      Años——————————————-1 año———–/—2º años—-
      Luego, antes de que acabe el 2º año tenían 10.000 habitantes

  12. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior 1∙2n/(2n^2 )

    • Fabián:
      Así entiendo el problema:
      1.2n/2n^2= 2n/2n^2= 1/n
      Un= 1/2n
      n=1——a1= 1/1= 1
      n=2——a2=1/2= 0,5
      n=3——a3= 1/3= 0,333…
      Su cota superior es 1: CS= 1 porque ningún valor de la sucesión va a ser mayor que 1
      Su cota inferior es 0: CI= 0 porque la función tiende a 0

  13. Manuel ayúdame con estos problemas
    1/ Problema 1: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su vigésimo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones.

    • Adrián:
      a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance?
      Deuda es 20.000€
      la cantidad total a pagar es: 20.000.130%=20.000×1,3= 26.000€
      a1= 26.000€
      Se compromete a pagarlo en 24 meses, luego:
      26.000/24= 1083,33€
      Luego la diferencia es 1083,33€, en este caso negativa porque va disminuyendo la deuda
      Luego:
      a21= 26.000+(21-1).(-1083,33)= 26.000-21666,6= 4.333,4€
      Es la cantidad que le quedará por pagar cuando tiene el chance.
      b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance?
      No porque tiene un ganancia o chance de 4.000€, tenemos que: 4.333,4-4.000= 333,4€ le faltará por pagar
      c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué.
      Es una progresión aritmética cuya diferencia es 1.83,33€
      d) a) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué.
      Es decreciente porque la diferencia es menor que 1, d= -1.083,33€
      2/ De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
      a/ 2n/n
      Es una sucesión constante donde an= 2
      an+1= an= 2

  14. 3. En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 50.000. responder las siguientes preguntas.
    a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas?
    b) ¿logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere?
    c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requeridos?

    • Cristina:
      Sabemos que a1= 3 y r= 3
      a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas?
      an= a1.r^n-1
      a4= 3.(3^3)= 81
      S4= an.r-a1/r-1= 81.3-3/2= 120
      b. ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere: 50.000 en 8 horas?
      a8= 3.(3^7)= 6561
      S8= an.r-a1/r-1= 6561.3-3/2= 9840
      Por tanto no lo logra.
      Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?
      Sabemos que:
      50000=an.r-a1/r-1 (ecuación 1)
      an= a1.r^n-1 (ecuación 2)
      Sustituimos el valor de an de la ecuación 2 en la 1:
      50000=(a1.r^n-1).r-a1/r-1= a1.r^n-a1/r-1
      50000=a1(r^n-1)/r-1
      50000= 3(3^n-1)/2
      100000= 3(3^n-1)
      Operando queda:
      3^n= 100003/3
      Tomando logaritmos:
      log3^n= log (100003/3)
      n.log3= log100003-log3
      n= log100003-log3/log3= 9,481 días

  15. De las siguientes sucesiones, determinar si son monótonas y si convergen o divergen. Justificar la respuesta.
    8, 3, −2, −7, −12,…

    • Jefferson:
      Así entiendo el problema:
      La sucesión: 8, 3, −2, −7, −12,…
      a1=8
      a2=3
      a3= -2
      Es monótona decreciente porque a1>a2,: 8>3; en general an>an+1
      Es divergente porque no tiene límite finito; su límite tiende a menos infinito

  16. De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.
    [6, 11, 18, 27, 38, 51,

  17. 38. Una sucesión aritmética consta de 10 términos y el primero es –2, ¿cuál es el último término, si la
    suma de todos ellos es 70?
    a) 12
    b) 16
    c) 72
    d) 78

    • Ana:
      Sabemos que:
      an= a1+(n-1).d
      Sn= a1+an/2.n
      Luego:
      an= -2+(10-1).d= -2+9d
      Sustituimos el valor de an en la fórmula de la suma:
      70= -2+(-2)+9d/2.10= (-2-2+9d).5
      70/5= -4+9d
      14= -4+9d
      9d= 18
      d= 18/9=2
      Ahora podemos hallar el valor de an:
      an= -2+9d= -2+9.2= -2+18= 16
      an= 16, la respuesta correcta es la b

  18. Cordial saludo Manuel,

    Agradecería si me pudieras colaborar con este ejercicio:

    En una progresión geométrica el primer término es 7. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11?

    Gracias por tu ayuda.

    • Andrés:
      Sabemos que la suma de una progresión geométrica ilimitada es:
      Sn= a1/1-r
      50/11= 7/1-r
      50(1-r)=77
      50-50r= 77
      -50r= 77-50
      -50r= 27
      r= -27/50

      • Cordial saludo Manuel,

        Según mi profesor esa no es la formula para resolver el enunciado, hay alguna otra forma ?

        Muchas gracias

      • Andrés:
        Tal y como entiendo el problema debe ser una progresión geométrica ilimitada, cuya fórmula de la suma es:
        Sn=a1/1-r
        50/11= 7/1-r
        50(1-r)= 11.7
        50-50r= 77
        50-77= 50r
        -27= 50r
        r= -27/50.
        En el caso de que fuese una progresión geométrica limitada, la fórmula de la suma es:
        Sn=an.r-a1/r-1
        y la fórmula del último término sería:
        an=a1.r^n-1
        Sustituimos el valor de an en la fórmula de la suma y queda:
        Sn= (a1.r^n-1).r-a1/r-1
        Sn=a1.r^n-a1/r-1
        Sacando en el numerador factor común a1,
        Sn=a1[(r^n)-1]/r-1
        Sustituyendo según los datos que nos proporcionan, sería:
        50/11= 7[r^n)-1]/r-1
        Es decir, una ecuación con dos incógnitas:
        n= número de términos
        r: la razón, que es lo que nos preguntan, por lo que entiendo que la respuesta correcta es resolverlo como una progresión geométrica ilimitada
        Espero haberte ayudado

  19. Buenas tardes, me podría colaborar con lo siguiente: El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 14 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.

  20. MANUEL MANITO AYUDAME CON ESTOS EJERCICIOS PORFA.!
    5/Problema 1. En un laboratorio, un científico después de aplicar un
    catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3
    bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico
    requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.000.
    Responda las siguientes preguntas.
    a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4
    horas?
    b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere?
    c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo
    lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?
    3/ Problema 1: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través
    de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total
    de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar
    su veinteavo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por
    lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda
    que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde
    las progresiones.
    1/ De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    a/ 2n/n

    • Adrián:
      Problema 1.
      Sabemos que a1= 3 y r= 3
      a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas?
      an= a1.r^n-1
      a4= 3.(3^3)= 81
      S4= an.r-a1/r-1= 81.3-3/2= 120
      b. ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere: 100.000 en 8 horas?
      a8= 3.(3^7)= 6561
      S8= an.r-a1/r-1= 6561.3-3/2= 9840
      Por tanto no lo logra.
      Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?
      Sabemos que:
      100000=an.r-a1/r-1 (ecuación 1)
      an= a1.r^n-1 (ecuación 2)
      Sustituimos el valor de an de la ecuación 2 en la 1:
      100000=(a1.r^n-1).r-a1/r-1= a1.r^n-a1/r-1
      100000=a1(r^n-1)/r-1
      100000= 3(3^n-1)/2
      200000= 3(3^n-1)
      Operando queda:
      3^n= 200003/3
      Tomando logaritmos:
      log3^n= log (200003/3)
      n.log3= log200003-log3
      n= log200003-log3/log3= 10,113 días

  21. Me podrían ayudar?
    Determina si cada situación representa una progresión aritmética:
    a) un reloj da las horas con repetición; da también los cuartos con un toque, las medias con 2 y los 3 cuartos con 3.
    por es ese. no lo entiendo?.

    • Fabián:
      a) un reloj da las horas con repetición:
      a1= 1×2
      a2= 2×2


      a12= 12×2
      Luego:
      S24=2+24/2.24= 312
      En el caso de los 3/4, medias y cuartos, entiendo que no representa una progresión aritmética porque cada hora hay la misma cantidad de toques: 1+2+3= 6×24 horas= 144 toques

  22. manuel manito ayudame con estos tambien
    Haciendo uso de la Aplicación Geogebra y siguiendo las indicaciones cada estudiante deberá escoger
    un (1) ejercicio y graficar los 5 primeros términos determinando si la
    progresión es geométrica o aritmética, su razón o diferencia común y si
    es creciente o decreciente. Se debe especificar en el foro de la actividad
    el ejercicio escogido por cada estudiante, este, no se podrá cambiar en el
    transcurso de la actividad y debe ser desarrollado única y exclusivamente
    por el estudiante que lo ha escogido.
    b) 𝑈𝑛 = 9 − 4𝑛
    c) 𝑈𝑛 = 6𝑛 + 4

    • Adrián:
      b) 𝑈𝑛 = 9 − 4𝑛
      para n= 1: a1= 9-4.1= 9-4= 5
      para n= 2: a2= 9-4.2= 9-8= 1
      para n= 3: a1= 9-4.3= 9-12= -3
      para n= 4: a1= 9-4.4= 9-16= -7
      para n= 5: a1= 9-4.5= 9-20= -11
      Diferencia común:
      d= a2-a1= 1-5= -4
      La progresión es decreciente porque la diferencia es negativa
      c) 𝑈𝑛 = 6𝑛 + 4
      para n= 1: a1= 6.1+4= 6+4= 10
      para n= 2: a2= 6.2+4= 12+4= 16
      para n= 3: a3= 6.3+4= 18+4= 22
      para n= 4: a4= 6.4+4= 24+4= 28
      para n= 5: a5= 6.5+4= 30+4= 34
      Diferencia común:
      d= a2-a1= 16-10= 6
      La progresión es creciente porque la diferencia es positiva

      • Adrián:
        De nada. Me alegra haberte ayudado

      • Hola Manuel, me podrías ayudar con esta sucesión, hallar la cota interior y superior, 1/3n.
        Muchas gracias

      • Blanca:
        Así entiendo el problema:
        Damos valores a n: (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que sitúes en el eje Y los valores de 1/3n; y en el eje X los valores de n:
        n=1——-a1= 1/3.1= 1/3= 0,333…
        n=2——a2= 1/3.2= 1/6= 0,1666…
        n=3——a3= 1/3.3= 1/9= 0,111…
        n=4——a4= 1/3.4=1/12= 0,08333…
        Su cota superior es 1/3: CS= 1/3 porque ningún término de la sucesión va a ser mayor de 1/3
        Su cota inferior es =.CI=0 porque la función tiende a cero

  23. Me podrían colaborar?
    En una progresión aritmética el primer término y el último término son 37 y 307, respectivamente. Halle el décimo término si la suma de sus términos es 3767.

    • Camilo:
      Sn= 3767
      a1= 37
      an= 307
      Sabemos que:
      Sn= a1+an/2.n
      3767= 37+307/2.n
      3767= 344/2.n
      3767= 172.n
      n= 3767/172= 21,901
      Camilo, lo normal es que n sea un número natural, porque representa el número de términos, en este caso da 21,901; lo podemos aproximar a 21
      Sabemos que:
      an= a1+(n-1).d
      307= 37+(21-1).d
      307= 37+20d
      307-37= 20d
      20d= 270
      d= 270/20
      d= 27/2
      a10= a1+(n-1).d
      a10= 37+9.27/2= 37+243/2= (74+243)/2= 317/2

  24. Problema 2: En una progresión geométrica se da: el primer término 9 ; la razón, 0.2; y la suma de los términos 11,232. Hallar el número de éstos.

  25. Saludos,

    El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 14 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.

  26. Saludos.

    Quién me puede ayudar.??

    Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 y la razón común es 8. Adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término

    • Germán:
      1.- Término general:
      an= a1.r^n-1
      an= 12.8^n-1
      2.- Suma de los primeros 5 términos:
      a5= 12.8^4= 12.4096= 49.152
      S5= an.r-a1/r-1= 49.152×8-12/8-1= 56.172
      3.- valor del décimo término
      a10= a1.r^n-1
      a10= 12×8^9= 1.610.612.736

  27. Me podrías ayudar, yo me encargo de gratificarlos en geogebra

    Gratificar los 5 primeros términos determinando si la progresión es geométrica o aritmética, su razón o diferencia común y si es creciente o decreciente.

    a) 𝑈𝑛=6𝑛−1

    Gracias

    • Carol:
      para n= 1: a1= 6.1-1= 6-1= 5
      para n= 2: a2= 6.2-1= 12-1= 11
      para n= 3: a3= 6.3-1= 18-1= 17
      para n= 4: a4= 6.4-1= 24-1= 23
      para n= 5: a5= 6.5-1= 30-1= 29
      Diferencia:
      d= a2-a1= 11-5= 6.
      Es una progresión aritmética creciente porque la diferencia es positiva: 6

  28. Ayúdame por favor: de las siguientes sucesiones, determinar la cota inferior y/o superior
    n+1 / n-1

    • Adrián:
      1.- Un=n+1/n-1
      Vamos dando valores a n (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=n+1/n-1; y en el eje X los valores de n)
      Vamos dando valores a Un:
      para n=1———1+1/1-1=2/0= infinito
      para n=2———2+1/2-1=3/1= 3
      para n=3———3+1/3-1=4/2= 2
      para n=4———4+1/4-1=5/3= 1,666…
      para n=5———5+1/5-1=6/4= 1,5
      Cota superior no tiene porque tiende a infinito
      Cota inferior tiende a O, luego su CI= 0
      Es una sucesión decreciente y acotada inferiormente

  29. De las siguientes sucesiones, determinar la cota inferior y/o superior
    (n+1)/(n-1)

    • Adrián:
      1.- Un=n+1/n-1
      Vamos dando valores a n (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=n+1/n-1; y en el eje X los valores de n)
      Vamos dando valores a Un:
      para n=1———1+1/1-1=2/0= infinito
      para n=2———2+1/2-1=3/1= 3
      para n=3———3+1/3-1=4/2= 2
      para n=4———4+1/4-1=5/3= 1,666…
      para n=5———5+1/5-1=6/4= 1,5
      Cota superior no tiene porque tiende a infinito
      Cota inferior tiende a O, luego su CI= 0
      Es una sucesión decreciente y acotada inferiormente

  30. Manuel ayúdame con estos también
    Haciendo uso de la Aplicación Geogebra y siguiendo las indicaciones cada estudiante deberá escoger un (1) ejercicio y graficar los 5 primeros términos determinando si la progresión es geométrica o aritmética, su razón o diferencia común y si es creciente o decreciente. Se debe especificar en el foro de la actividad el ejercicio escogido por cada estudiante, este, no se podrá cambiar en el transcurso de la actividad y debe ser desarrollado única y exclusivamente por el estudiante que lo ha escogido.
    b) 𝑈𝑛 = 9 − 4𝑛
    c) 𝑈𝑛 = 6𝑛 + 4

    • Adrián:
      b) 𝑈𝑛 = 9 − 4𝑛
      para n= 1: a1= 9-4.1= 9-4= 5
      para n= 2: a2= 9-4.2= 9-8= 1
      para n= 3: a1= 9-4.3= 9-12= -3
      para n= 4: a1= 9-4.4= 9-16= -7
      para n= 5: a1= 9-4.5= 9-20= -11
      Diferencia común:
      d= a2-a1= 1-5= -4
      La progresión es decreciente porque la diferencia es negativa
      c) 𝑈𝑛 = 6𝑛 + 4
      para n= 1: a1= 6.1+4= 6+4= 10
      para n= 2: a2= 6.2+4= 12+4= 16
      para n= 3: a3= 6.3+4= 18+4= 22
      para n= 4: a4= 6.4+4= 24+4= 28
      para n= 5: a5= 6.5+4= 30+4= 34
      Diferencia común:
      d= a2-a1= 16-10= 6
      La progresión es creciente porque la diferencia es positiva

  31. Hola manuel me podrías ayudar con estos ejercicios te agradezco
    1/ De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    a/ 2n/n
    b/ 1/2n
    2/ Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 4,-9,16,-25,36,-49,…..
    3/ Problema 1: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través
    de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total
    de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar
    su veinteavo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por
    lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda
    que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde
    las progresiones.
    a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el
    chance?
    b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en
    el momento en que se gana el chance?
    c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué.
    d) a) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué.
    4/ Problema 2. Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de
    cada uno de los 40 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles
    están a 4m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er
    árbol. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de haber terminado su
    trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena?
    5/Problema 1. En un laboratorio, un científico después de aplicar un
    catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3
    bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico
    requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.000.
    Responda las siguientes preguntas.
    a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4
    horas?
    b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere?
    c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo
    lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?
    ayudame manito con esos ejercicios

    • Adrián:
      Así entiendo el problema:
      1.- De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior (
      a) 2n/n
      Es una sucesión constante en la que an= 2. an+1= an= 2
      b/ 1/2n
      Para ello, damos valores a n:(te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=1/2n y en el eje X los valores de n)
      n=1——a1=1/2=0,5
      n=2——a2=1/2.2=1/4= 0,25
      n=3——a3=1/2.3=1/6=0, 1666…
      n=4——a4=1/2.4=1/8= 0,125
      Su cota superior es 0,5: CS=0,5 porque ningún valor de la sucesión va a ser mayor de 0,5
      Su cota inferior es 0: CI=0 porque la función tiende a 0
      2/ Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 4,-9,16,-25,36,-49…
      Es una sucesión alternada porque alterna los signos de sus términos. Es divergente porque tanto sus términos pares como impares tienden a más infinito
      Su representación gráfica sería como dientes de sierra cada vez con mayor ordenada tanto positiva como negativa, según se hace mayor la abscisa (en el eje de ordenadas,Y, se representaría f(n); en el eje de abscisa,X, se representarían los valores de n)

  32. Me puedes ayudar con estos ejercicios

    – Se deja caer una pelota de goma desde la altura de 15 m. Después de cada rebote sube a 9/11 de la altura de que cae. ¿Qué espacio recorre antes de llegar al reposo?

    – Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 1/2 y la suma de sus tres primeros términos es 10. Adicionalmente, plantee el término general.

    muchas gracias

    • Luna:
      1.– Se deja caer una pelota de goma desde la altura de 15 m. Después de cada rebote sube a 9/11 de la altura de que cae. ¿Qué espacio recorre antes de llegar al reposo?
      Sabemos que:
      a1 = 15 m
      r= 9/11
      La fórmula de la suma de una progresión geométrica ilimitada es:
      Sn= a1/1-r
      Sn=15/1-9/11= 15/11-9/11= 15/2/11= 15×11/2= 82,5 m
      Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 1/2 y la suma de sus tres primeros términos es 10. Adicionalmente, plantee el término general.
      a1+a2+a3= 10
      Expresándolos en función de a1:
      a1+(a1+d)+(a1+2d)= 10
      a1+a1+d+a1+2d= 10
      3a1+3d= 10
      Como sabemos que la razón es 1/2, tenemos:
      3a1+3/2=10
      a1=17/6
      Término general:
      an=a1+(n-1)d
      an= 17/6+(n-1).1/2= n/2+7/3

      • muchas gracias, me encanta la forma que lo resuelves es muy sencillo y se logra entender.

        me puedes ayudar con este ultimo ejercicio por favor.

        De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior 2n/〖2n〗^2 . el ejercicio es dos n sobre dos n al cuadrado.

        gracias y quedo atenta

      • Luna:
        Así entiendo el problema:
        Vamos dando valores a n (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=1/n; y en el eje X los valores de n)
        2n/2n^2= = 1/n
        Un= 1/2n
        n=1——a1= 1/1= 1
        n=2——a2=1/2= 0,5
        n=3——a3= 1/3= 0,333…
        Su cota superior es 1: CS= 1 porque ningún valor de la sucesión va a ser mayor que 1
        Su cota inferior es 0: CI= 0 porque la función tiende a 0

      • Por que pasa de 17/6 a 7/3?

      • Andrés:
        A qué problema o comentario te refieres cuando dices:
        Por qué pasa de 17/6 a 7/3?
        Dímelo para que lo pueda aclarar

      • Cordial saludo Manuel,

        Este es el ejercicio del que tengo duda en el ultimo paso, por que pasa de 17/6 a 7/3

        Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 1/2 y la suma de sus tres primeros términos es 10. Adicionalmente, plantee el término general.

        a1+a2+a3= 10
        Expresándolos en función de a1:
        a1+(a1+d)+(a1+2d)= 10
        a1+a1+d+a1+2d= 10
        3a1+3d= 10
        Como sabemos que la razón es 1/2, tenemos:
        3a1+3/2=10
        a1=17/6
        Término general:
        an=a1+(n-1)d
        an= 17/6+(n-1).1/2= n/2+7/3

        De antemano mil gracias por tu ayuda

      • Andrés:
        1.- 3a1+3/2=10;
        3a1= 10-3/2;
        Quitamos denominadores:
        6a1= 20-3
        6a1= 17
        a1= 17/6
        2.- Término general:
        an=a1+(n-1)d
        an= 17/6+(n-1).1/2= 17/6+n/2-1/2= n/2+17/6-1/2= n/2+17-3/6 (aquí he sacado común denominador entre 6 y 2, que es 6)
        an= n/2+17-3/6= n/2+14/6= n/2+2×7/2×3= n/2+7/3
        Espero habértelo aclarado.

  33. Hola Manuel me podrías ayudar con estos ejercicios te agradezco

    1/ De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    a/ 2n/n
    b/ 1/2n

    2/ Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 4,-9,16,-25,36,-49,…..

    3/ Problema 1: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través
    de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total
    de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar
    su veinteavo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por
    lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda
    que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde
    las progresiones.
    a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el
    chance?
    b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en
    el momento en que se gana el chance?
    c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué.
    d) a) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué.

    4/ Problema 2. Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de
    cada uno de los 40 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles
    están a 4m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er
    árbol. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de haber terminado su
    trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena?

    5/Problema 1. En un laboratorio, un científico después de aplicar un
    catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3
    bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico
    requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.000.
    Responda las siguientes preguntas.
    a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4
    horas?
    b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere?
    c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo
    lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?

    ayudame manito con esos ejercicios

    • Adrián:
      1/ De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
      a/ 2n/n
      Es una sucesión constante porque todos sus términos son: an=2; an+1= an= 2
      b/ 1/2n
      Damos valores a n:
      n=1——1/2.1=1/2
      n=2——1/2.2=1/4
      n=3——1/3.2=1/6
      Por tanto;
      su cota superior es 1/2 y su cota inferior es cero ya que Un tiende a cero. Es una sucesión monótona decreciente y acotada superior e inferiormente.
      2/ Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 4,-9,16,-25,36,-49,…
      Es una sucesión alternada porque alternan los signos de sus términos y es divergente porque tanto los términos pares como los impares tiende a más infinito
      3/ Problema 1: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su vigésimo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones.
      a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance?
      Deuda es 20.000€
      la cantidad total a pagar es: 20.000.130%=20.000×1,3= 26.000€
      a1= 26.000€
      Se compromete a pagarlo en 24 meses, luego:
      26.000/24= 1083,33€
      Luego la diferencia es 1083,33€, en este caso negativa porque va disminuyendo la deuda
      Luego:
      a21= 26.000+(21-1).(-1083,33)= 26.000-21666,6= 4.333,4€
      Es la cantidad que le quedará por pagar cuando tiene el chance.
      b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance?
      No porque tiene un ganancia o chance de 4.000€, tenemos que: 4.333,4-4.000= 333,4€ le faltará por pagar
      c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué.
      Es una progresión aritmética cuya diferencia es 1.83,33€
      d) a) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué.
      Es decreciente porque la diferencia es menor que 1, d= -1.083,33€
      4/ Problema 2. Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 40 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 4m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena?
      Arena——10m———–árbol 1=(a1)———-4mts———-árbol 2(a2)———–4mts———-árbol 3 (a3)——
      ai= 10
      La razón de la progresión es 4 metros
      Podemos calcular la distancia al último árbol.
      an= a1+(n-1)
      a40= 10+(40-1).4= 10+39.4= 166 metros es la distancia al último árbol
      Distancia total recorrida:
      Sn= a1+an/2.n
      S40= 10+166/2.40=3520 es la distancia total recorrida al último árbol
      Distancia total recorrida (ida y vuelta)=3520.2= 7040 metros
      5/Problema 1. En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.000. Responda las siguientes preguntas.
      a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas?
      Sabemos que a1= 3 y r= 3
      an= a1.r^n-1
      a4= 3.(3^3)= 81
      S4= an.r-a1/r-1= 81.3-3/2= 120
      b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere?
      a8= 3.(3^7)= 6561
      S8= an.r-a1/r-1= 6561.3-3/2= 9840
      Por tanto no lo logra.
      c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido?
      Sabemos que:
      100000=an.r-a1/r-1 (ecuación 1)
      an= a1.r^n-1 (ecuación 2)
      Sustituimos el valor de an de la ecuación 2 en la 1:
      100000=(a1.r^n-1).r-a1/r-1= a1.r^n-a1/r-1
      100000=a1(r^n-1)/r-1
      100000= 3(3^n-1)/2
      200000= 3(3^n-1)
      Operando queda:
      3^n= 200003/3
      Tomando logaritmos:
      log3^n= log (200003/3)
      n.log3= log200003-log3
      n= log200003-log3/log3= 10,113 días

  34. 3) Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 170 Kg y su peso ideal debería ser de 85Kg. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de 2Kg mensualmente. a) ¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal? b) ¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar c) ¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 30% de su peso actual? d) ¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar.

    • Jenny:
      Así entiendo el problema:
      1.-¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal?
      a1= 170
      an= 85
      d= 2
      85= 170+(n-1)2
      85=170+2n-2= 2n+168
      2n= 85-168= 83
      2n= -83
      n=-83/2= 41,5
      Pedro alcanzará su peso ideal en 41,5 meses (el signo negativo representa una progresión aritmética decreciente, pierde peso)
      2.-¿Cuánto tiempo necesita Pedro para adelgazar el 30% de su peso actual?
      30% de 170 es 119kg
      119=170+(n-1)2
      119= 170+2n-2= 2n+168
      119= 168+2n
      2n= 119-168
      2n= -49
      n= -49/2= 24,5
      Pedro alcanzará su peso ideal en 24,5 meses (el signo negativo representa una progresión aritmética decreciente, pierde peso)

  35. Me pueden ayudar con este ejercicio
    1. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior n+1/3n y n/n+1

    2. De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,…..

    • Maleja:
      1. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior n+1/3n
      Vamos dando valores a n (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores deUn=n+1/3n; y en el eje X los valores de n)
      n=1——a1= 1+1/3.1=2/3= 0,666…
      n=2——a2= 2+1/3.2=3/6=1/2=0,5
      n=3——a3= 3+1/3.3=4/9= 0,444…
      n=4——a4= 4+1/3.4=5/12= 0, 41666…
      Su cota superior es 0,666: CS= 0,666… porque ningún valor de la sucesión va a ser mayor que éste
      Su cota inferior es 0. CI=0 porque la función tiende a cero
      2. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior n/n+1
      Vamos dando valores a n (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores deUn=n+1/3n; y en el eje X los valores de n)
      n=1——a1= 1/1+1=1/2= 0,5
      n=2——a2= 1/2+1=1/3=0,333…
      n=3——a3= 1/3+1=1/4= 0,25
      n=4——a4= 1/4+1=1/5= 0, 2
      Su cota superior es 0,5: CS= 0,5… porque ningún valor de la sucesión va a ser mayor que éste
      Su cota inferior es 0. CI=0 porque la función tiende a cero
      3. De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,…
      El término general del numerador es:
      an= a1+(n-1)d
      an=2+(n-1).3= 2+3n-3= 3n-1
      an= 3n-1
      El término general del denominador es:
      (n+1)^2 para todo n mayor o igual que 1
      Por tanto:
      Un=3n-1/(n+1)^2
      La sucesión es convergente porque tiene límite finito, tiende a cero.

  36. Buen día, necesito de su ayuda por favor con el siguiente ejercicio:

    2n/n
    4,9,16,25,36,49,…..

    Problema 1: En una progresión geométrica el primer término es 7. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11?
    Problema 2: Una pequeña ciudad tiene 20.000 habitantes. Uno de ellos se entera de una noticia. Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos. Cada uno de estos, la transmite en una hora a otros tres de sus vecinos que desconocen la noticia. Éstos repiten la comunicación en las mismas condiciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en enterarse todos los habitantes de la ciudad?

    Mil Gracias

    • Diana:
      Así entiendo los problemas:
      1.- 2n/n
      Sucesión constante porque an= k; an = 2
      2.- 4,9,16,25,36,49,…
      2^2; 3^2; 4^2; 5`2 ; 6^2; 7^2 …(n+1)^2 para n> ó = 1
      Sucesión monótona creciente porque an<an+1: 4<9; 9<16…
      Divergente porque no tiene límite finito
      Problema 1: En una progresión geométrica el primer término es 7. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11?
      Sabemos que:
      Sn= a1/1-r
      50/11=7/1-r
      50(1-r)=7.11
      50-50r=77
      50-77=50r
      -27= 50r
      r=-27/50
      Problema 2: Una pequeña ciudad tiene 20.000 habitantes. Uno de ellos se entera de una noticia. Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos. Cada uno de estos, la transmite en una hora a otros tres de sus vecinos que desconocen la noticia. Éstos repiten la comunicación en las mismas condiciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en enterarse todos los habitantes de la ciudad?
      La cantidad total de habitantes: Sn= 20.000
      a1= 1 (Uno de ellos se entera de una noticia)
      la razón es 3 ( Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos)
      Sabemos que:
      Sn= an.r-a1/r-1; y que an= a1.r^n-1
      Sustituimos el valor de an en la fórmula de la suma:
      Sn= (a1.r^n-1).r-a1/r-1= a1.r^n-a1/r-1= a1(r^n-1)/r-1
      Sn= a1(r^n-1)/r-1
      Sn(r-1)=a1(r^n-1)
      Sustituimos por sus valores:
      20000(3-1)=1.(3^n-1)
      20000.2= 3^n-1
      3^n-1= 40000
      3^n= 40001
      tomando logaritmos:
      log3^n= log40001
      n.log3= log40001
      n=log40001/log3
      n= 4,602/0,477
      n= 9,647 horas

  37. hallar la razon de una progresion aritmetica de nueve terminos sabiendo que el primer termino es 25

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