Problemas de Matemáticas Resueltos

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Problema 53:

El primer término de una progresión aritmética es 2, y el primero, tercero y séptimo forman una progresión geométrica. Halla la suma de los siete primeros términos de la progresión aritmética.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 53

Problema 52:

Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si aumentamos a en una unidad o aumentamos c en dos unidades, los tres valores respectivos, están en progresión geométrica. Determina los tres números.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 52

Problema 51:

En una progresión aritmética la suma de sus n primeros términos es

imgprart_51

para todo valor de n. Hallar el primer término y la diferencia.

solución-progresiones-aritméticas-51

Problema 50:

Hallar el valor de los ángulos interiores de un pentágono convexo, sabiendo que están en progresión aritmética y que la diferencia entre al mayor y el menor es 140º.

solución-progresiones-aritméticas-50

Problema 49:

La suma de los veinticinco primeros términos de una progresión aritmética  vale 800, y el producto de sus extremos es -272. Calcular el término primero, el último y el que ocupa el lugar veinte. Supóngase que la progresión es decreciente.

solución-progresiones-aritméticas-49

Problema 48:

Hallar una progresión aritmética de nueve términos, sabiendo que los tres primeros suman 36 y los tres últimos 162.

solución-progresiones-aritméticas-48

Problema 47:

El área de un triángulo rectángulo es 54 m2. Calcular las longitudes de sus lados, sabiendo que están en progresión aritmética.

solución-progresiones-aritméticas-47

Problema 46:

Calcular la suma de todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 100 y 10.000.

solución-progresiones-aritméticas-46

Problema 45:

¿Cuántos números impares consecutivos a partir del 1 es preciso tomar para que su suma sea igual 7744.

solución-progresiones-aritméticas-45

Problema 44:

La suma de tres números en progresión aritmética  vale 15; y si al segundo de estos números se les resta una unidad, resulta una progresión geométrica. Hallar dichos números.

solución-progresiones-aritméticas-44

Problema 43:

Hallar la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de los cuadrados de los términos segundo y séptimo es 477, y que la diferencia entre los términos octavos y segundo es 18.

solución-progresiones-aritméticas-43

Problema 42:

En la progresión aritmética: 3…..23……59, el número de términos que hay entre 3 y 23 es la mitad de los comprendidos entre 23 y 59. Hallar la razón, el número de términos y la suma de ellos.

solución-progresiones-aritméticas-42

Problema 41:

Se han interpolado “m” medios diferenciales entre 3 y 57 y “m-2” entre 5 y 19. Si la razón de la primera es el triple de la segunda, el cociente del penúltimo de la primera entre el penúltimo término de la segunda es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 41

Problema 40:

En una progresión aritmética el término de lugar “r” es “t” y el término de lugar “t” es “r”. Indica la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 40

Problema 39:

La suma de los cinco términos racionales de una progresión aritmética creciente es 40 y el producto de ellos es 12320. El quinto término es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 39

Problema 38:

En una progresión aritmética el primer término y el último término son 47 y 207, respectivamente. Halla el término decimosegundo si la suma de sus términos es 2667.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 38

Problema 37:

El primer término de una progresión aritmética es 5, el tercer término es 9 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 37

Problema 36:

Una progresión aritmética tiene un número impar de términos. El término central vale 22 y el producto de los extremos es 259. Entonces, ¿la diferencia del mayor menos el menor es?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 36

Problema 35:

La suma del tercer y octavo término de una progresión aritmética es 41 y la relación del quinto al séptimo es 19/25. Hallar el segundo término.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 35

Problema 34:

La suma de los términos de una progresión aritmética es 425 y su término central es 17. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 34

Problema 33:

Las cinco cifras de un número están colocadas en progresión aritmética. Sabiendo que la suma de los valores absolutos de todas sus cifras es 20 y que la primera es el doble de la tercera. Hallar dicho número.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 33

Problema 32:

Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 32

Problema 31:

La suma de los 8 primeros términos de una progresión aritmética es 64 y la suma de los 18 primeros términos es 324. Hallar la progresión

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 31

Problema 30:

Dada la sucesión

ImgPrArt_30

en la que n es un número natural, encontrar el enésimo término y la suma de sus términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 30

Problema 29:

ImgPrArt_29

Hallar un término de la anterior progresión cuya raíz cuadrada excede en la razón al término anterior

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 29

 

Problema 28:

El primer término de una progresión aritmética es 0,02; la razón 0,01, y el término central es igual al cuadrado de la suma de todos los términos. Calcular el número de éstos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 28

Problema 27:

ImgPrArt_27

Hallar dos términos consecutivos de esa progresión, de manera que sus raíces cuadradas se diferencien en una unidad.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 27

Problema 26:

Dos personas, saliendo y entrando al mismo tiempo, han recorrido la misma distancia. Calcular el número de kilómetros recorridos y los días que han tardado, sabiendo que una de ellas ha andado el primer día 6 kilómetros, 7 el segundo, y así sucesivamente, aumentando un kilómetro en cada día; y la otra ha recorrido 9 kilómetros el primer día, aumentando en cada uno de los días siguientes 1/4 de kilómetro.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 26

Problema 25:

En una progresión aritmética, el último término es     ImgPrArt_25-1   ;la razón   ImgPrArt_25-2, y la suma de todos los términos, ImgPrArt_25-3

Hallar el número de términos y el primero de ellos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 25

Problema 24:

La suma de los seis términos centrales de una progresión aritmética creciente de 16 términos es 141, y el producto de sus extremos, 46. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 24

Problema 23:

ImgPrArt_23

¿Qué términos correspondientes de esas dos progresiones tienen el mismo valor?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 23

Problema 22:

En una progresión aritmética, el primer término es 12; el número de términos, 9, y su suma, 252. Y en otra progresión, el primer término es 2, y la razón, 6. Dos términos del mismo lugar de esas progresiones son iguales. ¿Cuál es valor de ellos?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 22

Problema 21:

Los coeficientes de una ecuación de 2º grado y el término independiente forman una progresión aritmética. La suma de las raíces representa la tercera parte de la suma de los términos de la progresión, y el producto de las raíces excede en 7 unidades al coeficiente del 2º término. ¿ cuál es la ecuación?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 21

Problema 20:

El producto de tres números positivos, en progresión aritmética, es 2688, y el más pequeño de ellos , 12. Determinar los otros dos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 20

Problema 19:

La suma de los cinco primeros términos de una progresión aritmética es 45, y la suma de sus cuadrados 495. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 19

Problema 18:

La diferencia entre los términos extremos de una progresión aritmética creciente es 42; la diferencia es igual al número de términos, y la suma de éstos, 168. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 18

Problema 17:

La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3, y el último término, 1. Escríbase la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 17

Problema 16:

En una progresión aritmética de 6 términos, el primero es 2, y la suma de todos ellos es igual  a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 16

Problema 15:

Hallar la suma de todos los términos de la progresión.

ImgPrArt_15

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 15

Problema 14:

Calcular el número de términos de una progresión aritmética cuyo primer término es a-2; la diferencia, 2-a; y la suma, 10-5a

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 14

Problema 13:

El primer término de una progresión aritmética es 1; el segundo 2, y la suma de todos los términos, 210. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 13

Problema 12:

Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 6m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿qué camino habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 12

Problema 11:

Un vagón se desprende de un tren que sube una pendiente, recorre durante el primer segundo 0,30 m; durante el segundo 3×0,30; durante el tercero 5×0,30; durante el cuarto 7×0,30. ¿cuánto recorre en un minuto que dura el descenso?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 11

Problema 10:

Un cuerpo que cae recorre 4,9 m. durante el primer segundo de caída; y en cada segundo el espacio recorrido excede en 9,8 m al recorrido en el segundo anterior. Se pregunta:

1º lo que el cuerpo recorre durante el décimo segundo de su caída

2º el espacio recorrido durante los diez segundos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 10

Problema 9:

Búsquense los tres ángulos de un triangulo rectángulo , sabiendo que estos ángulos están en progresión aritmética?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 9

Problema 8:

¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena mas que a las horas?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 8

Problema 7:

Búsquese:

1º la suma de los 40 primeros múltiplos de 3

2º la suma de los 20 primeros múltiplos de 3 que siguen al 60

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 7

Problema 6:

ImgPrArt_6

Esta progresión es de 8 términos. Hallar la suma de ellos

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 6

Problema 5:

El primer término de una progresión aritmética es 17; el último 12, y la razón, -1/2. Hallar el número de términos y la suma de ellos.

SOLUCION PROGRESIONES ARITMETICAS 5

Problema 4:

Siendo, en una progresión aritmética, 16, 10 y 70, respectivamente, el último término, el número de términos y su suma, hallar el primer término y la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 4

Problema 3:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de la progresión

ImgPrArt_3

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 3

Problema 2:

La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12, y la razón, 16. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 2

Problema 1:

Hallar el octavo término de la progresión:

ImgPrArt_1

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1

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772 pensamientos en “PROGRESIONES ARITMÉTICAS

  1. Hola me pueden ayudar en este ejercicio: el ahorro de 3 años de una empresa estaba en una progresión aritmética, si en los 3 años ahorro 240 millones y el primer año ahorro la mitad de lo que ahorra en el segundo, ¿cuánto ahorró cada año?

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    • Carolina:
      Sean a1, a2 y a3 los tres años de ahorro de la empresa en P.A.
      Sabemos que :
      a1=a1
      a2=a1+d
      a3=a2+d=a1+2d
      Además:
      S3=240
      Sabemos que:
      Sn= (a1+an).n/2
      240= a1+a3/2.3
      480/3=a1+a3
      Poniéndolo en función de a1:
      160=a1+a1+2d
      160= 2a1+2d
      80= a1+d (ecuación 1)
      Por otra parte, sabemos que:
      El primer año ahorro la mitad de lo que ahorra en el segundo:
      a1=a2/2
      Poniéndolo en función de a1:
      a1= a1+d/2
      2a1= a1+d
      a1=d
      Sustituimos su valor en la ecuación 1:
      80= 2a1
      a1= 40
      a2= a1+d= 40+40= 80
      a3= 40+2.40= 4+80= 120

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  2. Me pueden ayudar con este problema, Lucía pone en práctica un plan de ahorro durante todo el año 2016. En enero, ahorra S/. 250 y cada mes aumenta el monto de forma constante. Si en diciembre tendrá ahorrado s/. 580. ¿Cuánto dinero incrementa en cada ahorro del mes? gracias.

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  3. Hola compañero me puedes ayudar en este ejercicio por favor: En una progresión aritmética de diez términos, todos los términos tienen dos dígitos, si se sabe que el primero y el último tienen los mismos dígitos pero en orden invertido, que la suma de todos los términos es 330 y que el sexto término es el triple del 1er término. Hallar la razón, el primer y el último término.
    Muchas gracias

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    • Wiker:
      La suma de todos los términos es 330:
      S10= [(a1+a10)·n]/2
      330= [(a1+a10)/2]·10
      a1+a10= 66 (ecuación 1)
      Sabemos que:
      a10= a1+9d
      Sustituyendo en la ecuación 1:
      a1+(a1+9d)= 66
      2a1+9d= 66 (ecuación 2)
      El sexto término es el triple del 1er término:
      a6= 3a1
      a6= a1+5d
      3a1= a1+5d
      2a1= 5d
      a1= 5d/2 (ecuación 3)
      Sustituimos el valor de a1 de la ecuación 3 en la 2:
      2a1+9d= 66 (ecuación 2)
      2(5d/2)+9d= 66
      Resolviendo esta ecuación,
      d= 33/7
      Sustituyendo su valor en la ecuación 3
      a1= 5d/2 (ecuación 3)
      a1= 165/14
      Luego a10 será:
      a10= a1+9d= 165/14+9(33/7)= 759/14

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  4. Hola me pueden ayudar: hallar el primer término de una progresión aritmética cuyos cuarto y quinto términos son 5 y -3, respectivamente

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  5. Me puedes ayudar ., POR FAVOR
    …con este ejercicio: el mayor de los 3 números que forma una P.A. creciente es el triple del numero menor, además el producto de los tres números es 3072. Determina dichos números

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    • Mayra:
      Sean a1, a2 y a3 los tres números que forman la progresión aritmética, de manera que:
      a1= a1
      a2= a1+d
      a3= a1+2d= 3a1
      Luego:
      a1+2d= 3a1
      3a1-a1= 2d
      2a1= 2d
      a1= d
      Sabemos que:
      a1.(a1+d)(a1+2d)=3072
      Como a1= d, podemos poner:
      d(2d)(3d)= 3072
      6d^3= 3072
      d^3= 3072/6=512
      d^3= 512= 2^9
      d= 8
      Por tanto,
      a1= 8
      a2= a1+d= 8+8= 16
      a3= a1+2d= 8+2·8= 8+16= 24

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  6. Ayúdame con este problema por favor:
    Una progresión aritmética tiene 15 términos y su término central vale 5. ¿Cuánto vale la suma de los 15 términos?

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    • Fernando:
      Expresando todos los términos en función del término central: a8= 5
      a1= 5-7d
      a2= 5-6d
      a3= 5-5d
      a4= 5-4d
      a5= 5-3d
      a6= 5-2d
      a7= 5-d
      a9= 5+d
      a10= 5+2d
      a11= 5+3d
      a12= 5+4d
      a13= 5+5d
      a14= 5+6d
      a15= 5+7d
      Sumando los 15 términos queda:
      15×5= 75 es la suma total

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  7. Hola, también me podrías colaborar con ésta

    Calcular las siguientes derivadas de orden superior.

    F(x)=x ³+ 3x² +3x+1; f””(x)

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  8. Me puedes colaborar por favor
    Aplicando los conceptos de la derivación calcular las siguientes derivadas.
    F(x)= X² •in(x)

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  9. Derivadas Implícitas: Calcular dy
    —-
    dx

    Sen (x) +2 cos(2y)=2

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  10. Me podrían ayudar con este ejercicio por favor:
    Hallar “m” si la siguiente progresión aritmética tiene 137 términos: m1;m4;….;mm9

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    • Dana:
      Cada término lo podemos expresar como:
      a1= m1= 10m+1
      a2= m4= 10m+4
      a137= mm9= 100m+10m+9
      Calculamos la diferencia de la P.A.
      d= a2-a1= 10m+4-(10m-1)= 10m+4-10m-1= 3
      d=3
      Sabemos que: an= a1+(n-1).d
      En este caso:
      a137=a1+(n-1).d
      100m+10m+9= (10m+1)+(137-1)·3
      100m+10m+9= 10m+1+(136·3)
      100m+10m+9= 10m+1+408
      100m= 409-9
      100m= 400
      m=400/100= 4
      m= 4

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  11. Hola,por favor me puedes ayudar con este ejercicio:
    Dada la P.A.: ÷ a, b, c, d
    Calcular: E=b al cuadrado+ c al cuadrado+ (a – b ) al cuadrado – ( b – c ) al cuadrado – ( c – d ) al cuadrado
    Si: bc=50

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    • Jennifer:
      bc=50;
      Por otra parte:
      E= b^2+c^2+(a-b)^2-(b-c)^2-(c-d)^2
      La diferencia es:
      d1= b-a
      d2= c-b
      d3= d-c
      Luego,
      b-a=c-b; (-1)(b-a)=(-1)(c-b); -b+a= -c+b; a-b=b-c
      b-a=d-c; (-1)(b-a)=(-1)(d-c); -b+a=-d+c; a-b=c-d
      c-b=d-c; (-1)(c-b)= (-1)(d-c); -c+b=-d+c; b-c=c-d
      Poniendo E todos los términos en función de b y c:
      E= b^2+c^2+(a-b)^2-(b-c)^2-(c-d)^2
      E= b^2+c^2+(b-c)^2-(b-c)^2-(b-c)^2
      E= b^2+c^2-(b-c)^2
      E= b^2+c^2-(b^2+c^2-2bc)
      E= b^2+c^2-b^2-c^2+2bc
      E= 2bc
      E= 2.50
      E= 100

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  12. Por favor me puedes ayudar con estos ejercicios:

    1. Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:

    ∫ x^3(x^4+3)^2 dx

    2.Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad usada.

    ∫ x^2sen(x) dx

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    • Vanesa:
      1. Aplicando las propiedades y definición de integral, resolver las siguientes integrales:
      ∫ x^3(x^4+3)^2 dx = ∫ x^3(x^8+6x^4+9)dx= ∫ (x^11+6x^7+9x^3)dx= ∫x^11dx ∫+6x^7dx+∫9x^3dx= (x^12/12)+(6x^8/8)+(9x^4/4)= (x^12+9x^8+27x^4)/12+ C
      O también:
      Hacemos el siguiente cambio:
      (x^4+3)= u
      du= 4x^3dx
      dx=du/4x^3
      Sustituyendo:
      ∫x^3(x^4+3)^2 dx= ∫x^3.u^2.du/4x^3=∫u^2.du/4=1/4∫u^2.du= 1/4.u^3/3= 1/12.u^3= 1/12((x^4+3)^3

      2.Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad usada.
      ∫x^2sen(x)dx:
      Integración por partes:
      ∫x^2sen(x)dx:
      Hacemos::
      u= x^2; dv= senxdx
      Así:
      du= 2xdx; v= -cos x
      Por tanto:
      ∫x^2sen(x)dx= -x^2cosx+2∫xcosxdx
      Nuevamente por partes:
      u=x; dv= cosxdx;
      Así:
      du= dx; v= cosx
      Luego:
      ∫x^2sen(x)dx= -x^2cosx+2∫xcosxdx= ∫x^2sen(x)dx= -x^2cosx+2(xsenx-∫senxdx)=-x^2cosx+2xsenx+2cosx +C

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  13. Hola, me ayudas con este ejercicio por favor, que lo intento mucho y llego a cosas absurdas y no logro.
    Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si aumentamos a en una unidad o aumentamos c en dos unidades, los tres valores respectivos, están en progresión geométrica. Determina los tres números.

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    • MArti:
      Los números a,b y c (distintos de cero) están en progresión aritmética. Supongamos que: a<b<c. Significa que:
      a=a
      b=a+d
      c=b+d=a+2d
      Si aumentamos a en 1 unidad los tres están en progresión geométrica:
      a+1<b<c
      Sabemos que en una progresión geométrica la razón es el cociente entre un término y el anterior:
      r=a2/a1
      r=a3/a2
      Así:
      b/(a+1)=c/b
      Sustituimos los valores de b y c en función de a:
      a+d/a+1=a+2d/(a+d)
      (a+d)^2= (a+1)(a+2d) (ecuación 1)
      Si aumentamos c en dos unidades, los tres valores respectivos, están en progresión geométrica:
      a<b<c+2
      Igual que antes sabemos que en una progresión geométrica la razón es el cociente entre un término y el anterior:
      r=a2/a1
      r=a3/a2
      b/a=(c+2)/b
      Sustituimos los valores de b y c en función de a:
      a+d/a=[(a+2d)+2]/a+d
      (a+d)^2= a[(a+2d)+2]
      (a+d)^2= a[a+2d+2] (ecuación 2)
      Igualando en (a+d)^2 la 1 y la 2:
      (a+1)(a+2d)=a(a+2d+2)
      Resolviendo esta ecuación queda:
      a= 2d
      Ahora por tanteo, se dan valores a d, y el que cumple los requisitos es:
      d= 4
      Luego los números buscados son:
      a= 2d= 2.4= 8
      b= a+d= 8+4= 12
      c= a+2d= 8+2.8= 8+8= 16
      Están en progresión aritmética, cuya razón es 4
      Están en progresión geométrica cuando se le suma 1 a 8= 9; y 2 a 16= 18
      a+1=8+1= 9
      r=b/a=c/b
      12/9=16/12
      12×12=9×16= 144
      c+2=16+2= 18
      r=b/a=c/b
      12/8=18/12
      12×12=8×18= 144

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  14. Buenas me podrías ayudar con el siguiente: Calcular el tercer término negativo en la siguiente progresión aritmética: 520,514,508,502. Gracias de antemano

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  15. Hola, interesante los problemas resueltos
    Por favor Ayudarme con el siguiente problema
    En una PA tiene 50n términos. Si el primer término es 1 y el otro es 638. ¿Cuál es la razón?

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  16. Hola me podrían ayudar en este ejercicio: determinar la cota inferior y/o superior de 1/4n es creciente o decreciente, es convergente o divergente. Justifica tu respuesta

    Gracias de antemano

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    • Estrella:
      Se pueden representar colocando en el eje de abscisas los valores de n; y en el eje de ordenadas los valores de f(n)
      Damos valores a n:
      para n= 1; a1= 1/4.1= 1/4
      para n= 2; a2= 1/4.2= 1/8
      para n= 3; a3= 1/4.3= 1/12
      Luego,
      La cota superior es 1/4 porque es el máximo valor que puede alcanzar f(n)
      La cota inferior es cero porque el límite de 1/4n cuando n tiende a infinito es cero
      Es decreciente porque a1>a2>a3…y convergente tiende a cero

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  17. La suma de los 7 primeros términos de una progresión geométrica creciente es 2186, y la razón del séptimo término sobre el segundo término es 243. Hallar el término de lugar 4.

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    • Ylem:
      r=a7/a2
      Poniéndolo en función de a1:
      r= a1.r^6/a1.r
      243=r^5
      Hallamos la raíz quinta de 243
      r= 3
      Sabemos que:
      a7=a1.r^6
      Sn= an.r-a1/r-1
      Sustituimos el valor de a7 en la fórmula de la suma:
      S7= (a1.r).r-a1/r-1
      S7= a1.r^7-a1/r-1= a1(r^7-1)/r-1
      2186= a1.(3^7-1)/3-1
      2186= a1.(3^7-1)/2
      4372= a1(3^7-1)
      a1= 4372/2187-1
      a1= 4372/2186= 2
      Por tanto:
      a4= a1.r^n-3
      a4= 2.3^3
      a4= 2.27
      a4= 54

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  18. Hola me podrías colaborar con este otro punto por favor
    De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    n+5
    _____
    n−2

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    • Yesenia:
      Entiendo que hay que hallar la cota superior e inferior de n+5/n-2 para n>2
      Damos valores a n;
      n=3 a1=3+5/3-2=8/1=8
      n=4 a2=4+5/4-2=9/2
      n=5 a3=5+5/5-2=10/3
      Por tanto la cota superior es 8 y la cota inferior es 1 porque el límite de n+5/n-2 cuando n tiende a infinito es 1

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  19. Hola me puedes ayudar
    De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior
    1/4n

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    • Deysi:
      1/4n damos valores a n:
      n= 1; 1/4.1=1/4
      n= 2: 1/4.2=1/8
      n= 3; 1/4.3=1/12

      De donde se deduce que:
      La cota superior es 1/4 porque es el mayor valor que se puede obtener de la sucesión
      La cota inferior es cero porque el límite de 1/4n cuando n tiende a infinito es cero

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    • Buenos días me podrías por favor colaborar:
      En una colonia de abejas, en el primer día de investigación, alumnos de Ingeniería Agrícola contabilizaron 3 abejas, el segundo día habían 9, el tercero habían 27.
      a) ¿Cuántas abejas nacieron hasta el 5 día?

      b) ¿Cuántas abejas habían después de una semana? (en este caso la semana tiene 7 días)

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  20. Hola me podrían ayudar con este ejercicio?
    De las siguientes sucesiones, determina si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    2,4,8,16,32,64

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  21. Cordial saludo Manuel,

    Serias tan amable de colaborarme con la solución de este ejercicio de sucesiones.

    De las siguientes sucesiones determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    -4,9,-16,25,-36,49…..

    De antemano gracias!

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  22. ALGUIEN PODRIA AYUDARME PORFAVOR

    De las siguientes sucesiones, determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.
    3,8,15,24,35,48,…..

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  23. Hola, muy buenas tardes, alguien me podría ayudar con la cota inferior y superior de esta sucesión 3n/2n^2, les agradecería mucho…

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  24. Sto .. Alguien Sabe ?
    1. El quinto término de un P.A es 24 y duodécimo término es 59. Hallar el término del lugar 1000.
    2. Si a ; 3a ; 10a forman Una P.A, ¿cuál es el valor de la razón de dicha progresión?

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    • Eduardo:
      1. El quinto término de un P.A es 24 y duodécimo término es 59. Hallar el término del lugar 1000.
      Expresamos a5 y a12 en función de a1:
      a5=a1+4d
      a12=a1+11d
      Así:
      a1+4d= 24 (ecuación 1)
      a1+11d= 59 (ecuación 2)
      Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene:
      a1= 4
      d= 5
      a1000= a1+(n-1)xd
      a1000= a1+999xd
      a1000= 4+999×5= 4+4995
      a1000= 4.999
      2. Si a ; 3a ; 10a forman Una P.A, ¿cuál es el valor de la razón de dicha progresión?
      d= a2-a1= 3a-a= 2a
      d= a3-a2= 10a-3a= 7a
      Igualando d:
      2a=7a
      2=7. Es imposible. ¿Es correcto el enunciado?

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  25. Cordial saludo Manuel
    Me podrías colaborar con la solución de este problema, te lo agradezco mucho.

    De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

    El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 12 y la suma de los 3 primeros términos es 23. Halla la suma de los 10 primeros términos.

    Quedo atento muchas gracias por tu apoyo.

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    • Luis:
      1.- El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 12 y la suma de los 3 primeros términos es 23. Halla la suma de los 10 primeros términos.
      1º hallamos la diferencia de la P.A.
      an= a1+(n-1).d
      a3= a1+(3-1).d
      12= 3+2d
      2d= 12-3= 9
      d=9/2
      2º hallamos a10:
      a10= a1+(10-1).d
      a10= 3+9.9/2
      a10= 87/2
      3º hallamos la suma pedida:
      Sn= a1+an/2.n
      S10= (3+87/2)/2.10
      S10= 465/2= 232,5

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  26. Ángela ha vuelto encantada de sus vacaciones, y ha compartido con 20 amigos las fotos en una red social. Cada uno de ellos, a su vez, las ha compartido con otros 20, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas pueden ver las fotos de las vacaciones de Ángela, si se han compartido hasta el 6º grado de amistad?

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    • María:
      El número de elementos de la P.G. es 6
      La razón es 20
      a1= 20
      Hallamos a6:
      a6=a1.r^5
      a6=20.20^5= 20^6= 64.000.000
      Hallamos la suma de los 6 términos de la P.G.
      S6=a6.r-a1/r-1
      S6= [(20^6).20-20]/20-1
      S6= 67.368.420 personas verían sus fotos

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  27. Hola me podrías ayudar en este ejercicio por favor
    El primer término de una P.A. es 9 y su décimo termino es 79. Hallar su razón si dicha P.A. tiene 9 términos
    Gracias

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  28. Cordial saludo Manuel, podrías colaborarme con solución de este ejercicio.

    El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 12 y la suma de los 3 primeros términos es 23. Halla la suma de los 10 primeros términos.

    Te lo agradezco, eres muy amable

    Me gusta

  29. Hola esta también me podrían ayudar:
    Una progresión aritmética termina en 13, si la suma de sus términos es 76 y la diferencia es 1. Calcular el primer término y el número de términos de que consta.

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    • Joseel:
      an= a1+(n-1).d
      13= a1+(n-1).1
      13= a1+n-1
      a1+n=14
      n=14-a1 (ecuación 1)
      Sn=a1+an/2.n
      76=a1+13/2.n
      152=(a1+13).n (ecuación 2)
      Operando con las ecuaciones 1 y 2 queda la siguiente ecuación de 2º grado en a1:
      a1^2-a1-30= 0
      Resolviendo la ecuación:
      Para a1= 6; n= 8
      para a1= -5; n= 19

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