Problemas de Matemáticas Resueltos

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Problema 51:

En una progresión aritmética la suma de sus n primeros términos es

imgprart_51

para todo valor de n. Hallar el primer término y la diferencia.

solución-progresiones-aritméticas-51

Problema 50:

Hallar el valor de los ángulos interiores de un pentágono convexo, sabiendo que están en progresión aritmética y que la diferencia entre al mayor y el menor es 140º.

solución-progresiones-aritméticas-50

Problema 49:

La suma de los veinticinco primeros términos de una progresión aritmética  vale 800, y el producto de sus extremos es -272. Calcular el término primero, el último y el que ocupa el lugar veinte. Supóngase que la progresión es decreciente.

solución-progresiones-aritméticas-49

Problema 48:

Hallar una progresión aritmética de nueve términos, sabiendo que los tres primeros suman 36 y los tres últimos 162.

solución-progresiones-aritméticas-48

Problema 47:

El área de un triángulo rectángulo es 54 m2. Calcular las longitudes de sus lados, sabiendo que están en progresión aritmética.

solución-progresiones-aritméticas-47

Problema 46:

Calcular la suma de todos los múltiplos de 17 comprendidos entre 100 y 10.000.

solución-progresiones-aritméticas-46

Problema 45:

¿Cuántos números impares consecutivos a partir del 1 es preciso tomar para que su suma sea igual 7744.

solución-progresiones-aritméticas-45

Problema 44:

La suma de tres números en progresión aritmética  vale 15; y si al segundo de estos números se les resta una unidad, resulta una progresión geométrica. Hallar dichos números.

solución-progresiones-aritméticas-44

Problema 43:

Hallar la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de los cuadrados de los términos segundo y séptimo es 477, y que la diferencia entre los términos octavos y segundo es 18.

solución-progresiones-aritméticas-43

Problema 42:

En la progresión aritmética: 3…..23……59, el número de términos que hay entre 3 y 23 es la mitad de los comprendidos entre 23 y 59. Hallar la razón, el número de términos y la suma de ellos.

solución-progresiones-aritméticas-42

Problema 41:

Se han interpolado “m” medios diferenciales entre 3 y 57 y “m-2” entre 5 y 19. Si la razón de la primera es el triple de la segunda, el cociente del penúltimo de la primera entre el penúltimo término de la segunda es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 41

Problema 40:

En una progresión aritmética el término de lugar “r” es “t” y el término de lugar “t” es “r”. Indica la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 40

Problema 39:

La suma de los cinco términos racionales de una progresión aritmética creciente es 40 y el producto de ellos es 12320. El quinto término es:

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 39

Problema 38:

En una progresión aritmética el primer término y el último término son 47 y 207, respectivamente. Halla el término decimosegundo si la suma de sus términos es 2667.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 38

Problema 37:

El primer término de una progresión aritmética es 5, el tercer término es 9 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 37

Problema 36:

Una progresión aritmética tiene un número impar de términos. El término central vale 22 y el producto de los extremos es 259. Entonces, ¿la diferencia del mayor menos el menor es?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 36

Problema 35:

La suma del tercer y octavo término de una progresión aritmética es 41 y la relación del quinto al séptimo es 19/25. Hallar el segundo término.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 35

Problema 34:

La suma de los términos de una progresión aritmética es 425 y su término central es 17. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 34

Problema 33:

Las cinco cifras de un número están colocadas en progresión aritmética. Sabiendo que la suma de los valores absolutos de todas sus cifras es 20 y que la primera es el doble de la tercera. Hallar dicho número.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 33

Problema 32:

Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 32

Problema 31:

La suma de los 8 primeros términos de una progresión aritmética es 64 y la suma de los 18 primeros términos es 324. Hallar la progresión

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 31

Problema 30:

Dada la sucesión

ImgPrArt_30

en la que n es un número natural, encontrar el enésimo término y la suma de sus términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 30

Problema 29:

ImgPrArt_29

Hallar un término de la anterior progresión cuya raíz cuadrada excede en la razón al término anterior

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 29

 

Problema 28:

El primer término de una progresión aritmética es 0,02; la razón 0,01, y el término central es igual al cuadrado de la suma de todos los términos. Calcular el número de éstos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 28

Problema 27:

ImgPrArt_27

Hallar dos términos consecutivos de esa progresión, de manera que sus raíces cuadradas se diferencien en una unidad.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 27

Problema 26:

Dos personas, saliendo y entrando al mismo tiempo, han recorrido la misma distancia. Calcular el número de kilómetros recorridos y los días que han tardado, sabiendo que una de ellas ha andado el primer día 6 kilómetros, 7 el segundo, y así sucesivamente, aumentando un kilómetro en cada día; y la otra ha recorrido 9 kilómetros el primer día, aumentando en cada uno de los días siguientes 1/4 de kilómetro.

SOLUCION PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 26

Problema 25:

En una progresión aritmética, el último término es     ImgPrArt_25-1   ;la razón   ImgPrArt_25-2, y la suma de todos los términos, ImgPrArt_25-3

Hallar el número de términos y el primero de ellos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 25

Problema 24:

La suma de los seis términos centrales de una progresión aritmética creciente de 16 términos es 141, y el producto de sus extremos, 46. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 24

Problema 23:

ImgPrArt_23

¿Qué términos correspondientes de esas dos progresiones tienen el mismo valor?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 23

Problema 22:

En una progresión aritmética, el primer término es 12; el número de términos, 9, y su suma, 252. Y en otra progresión, el primer término es 2, y la razón, 6. Dos términos del mismo lugar de esas progresiones son iguales. ¿Cuál es valor de ellos?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 22

Problema 21:

Los coeficientes de una ecuación de 2º grado y el término independiente forman una progresión aritmética. La suma de las raíces representa la tercera parte de la suma de los términos de la progresión, y el producto de las raíces excede en 7 unidades al coeficiente del 2º término. ¿ cuál es la ecuación?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 21

Problema 20:

El producto de tres números positivos, en progresión aritmética, es 2688, y el más pequeño de ellos , 12. Determinar los otros dos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 20

Problema 19:

La suma de los cinco primeros términos de una progresión aritmética es 45, y la suma de sus cuadrados 495. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 19

Problema 18:

La diferencia entre los términos extremos de una progresión aritmética creciente es 42; la diferencia es igual al número de términos, y la suma de éstos, 168. ¿Cuál es la progresión?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARTIMÉTICAS 18

Problema 17:

La suma de los cuatro términos de una progresión aritmética es 3, y el último término, 1. Escríbase la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 17

Problema 16:

En una progresión aritmética de 6 términos, el primero es 2, y la suma de todos ellos es igual  a la mitad del cuadrado del número de términos. Formar la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 16

Problema 15:

Hallar la suma de todos los términos de la progresión.

ImgPrArt_15

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 15

Problema 14:

Calcular el número de términos de una progresión aritmética cuyo primer término es a-2; la diferencia, 2-a; y la suma, 10-5a

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 14

Problema 13:

El primer término de una progresión aritmética es 1; el segundo 2, y la suma de todos los términos, 210. Hallar el número de términos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 13

Problema 12:

Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 6m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿qué camino habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 12

Problema 11:

Un vagón se desprende de un tren que sube una pendiente, recorre durante el primer segundo 0,30 m; durante el segundo 3×0,30; durante el tercero 5×0,30; durante el cuarto 7×0,30. ¿cuánto recorre en un minuto que dura el descenso?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 11

Problema 10:

Un cuerpo que cae recorre 4,9 m. durante el primer segundo de caída; y en cada segundo el espacio recorrido excede en 9,8 m al recorrido en el segundo anterior. Se pregunta:

1º lo que el cuerpo recorre durante el décimo segundo de su caída

2º el espacio recorrido durante los diez segundos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 10

Problema 9:

Búsquense los tres ángulos de un triangulo rectángulo , sabiendo que estos ángulos están en progresión aritmética?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 9

Problema 8:

¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena mas que a las horas?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 8

Problema 7:

Búsquese:

1º la suma de los 40 primeros múltiplos de 3

2º la suma de los 20 primeros múltiplos de 3 que siguen al 60

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 7

Problema 6:

ImgPrArt_6

Esta progresión es de 8 términos. Hallar la suma de ellos

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 6

Problema 5:

El primer término de una progresión aritmética es 17; el último 12, y la razón, -1/2. Hallar el número de términos y la suma de ellos.

SOLUCION PROGRESIONES ARITMETICAS 5

Problema 4:

Siendo, en una progresión aritmética, 16, 10 y 70, respectivamente, el último término, el número de términos y su suma, hallar el primer término y la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 4

Problema 3:

Hallar la suma de los 7 primeros términos de la progresión

ImgPrArt_3

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 3

Problema 2:

La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12, y la razón, 16. ¿Cuál es el primer término?

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 2

Problema 1:

Hallar el octavo término de la progresión:

ImgPrArt_1

SOLUCIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1

609 pensamientos en “PROGRESIONES ARITMÉTICAS

  1. La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es 2n(n+3), indique el término 21 de dicha progresión.

  2. Buenas noches, me podrían ayudar con el siguiente ejercicio:

    Calcular el número de términos y la diferencia de una PA sabiendo que: a1=-19; an=899; S=7480

    • Charly:
      Sabemos que:
      Sn= a1+an/2.n
      7480= -19+899/2.n
      7480= 440n
      n=7480/440= 17 es el número de términos
      Por otra parte, sabemos que:
      an= a1+(n-1)d
      d= an-a1/n-1
      d= 899-(-19)/17-1
      d= 918/16= 459/8= 57,375=

  3. Buenas noches me podrían ayudar con este ejercicio gracias.
    Se tiene una cinta de un metro de largo a la cual se le practican cortes el primer corte se realiza por la mitad de la cinta el segundo por la mitad de una de las mitades y así sucesivamente. Determinar la longitud del segmento de cinta que se debe cortar luego de hacer el décimo corte.

    • Züly:
      Así lo entiendo:
      Es una progresión geométrica cuya razón es 1/2:
      r= a2/a1= 1/4/1/2= 1/2
      Si es el décimo corte, significa que n= 10,
      Luego:
      an= a1.r^n-1
      an= 1/2.(1/2)^9= (1/2)^10= 1/1024 m

  4. Hola Manuel me puedes ayudar con estos 5 problemas xfa?
    1-Halla el termino del lugar 100 en la P.A 2;9;16;23
    2-Halla el termino del lugar 22 en la P.A -31;-26;-21;-16
    3-Halla el termino del lugar 50 en la P.A 3/4;5/4;7/4;9/4
    4-Halla la suma de los primeros 50 múltiplos de 3 diferentes en 0.
    5-La dosis de un medicamento es de 100mg el primer día y 5mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento?

    • Benyi:
      1-Halla el termino del lugar 100 en la P.A 2;9;16;23
      d= a2-a1= 9-2= 7
      an= a1+(n-1).d
      a100= 2+(100-1).7= 2+99.7= 2+693= 695
      2 y 3.- Son iguales al 1, la única consideración en el 2 es que la diferencia es -5
      4-Halla la suma de los primeros 50 múltiplos de 3 diferentes en 0.
      Al ser múltiplos de 3 la diferencia es 3, (3, 6,9…) luego:
      a1= 3
      a50= 3+(50-1).3=150
      S50=(a1+an/2).n
      S50=3+150/2.50=3825
      5-La dosis de un medicamento es de 100mg el primer día y 5mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento?
      a1= 100 mg; d= 5 mg; n= 12
      a12= 100+(11).(-5)= 45 (-5 porque la dosis va disminuyendo)
      S12= 100+45/2.12= 870 mg

  5. UNA AYUDA: LA DIFERENCIA ENTRE EL QUINTO Y EL TERCER TÉRMINO ES 4. HALLA LA RAZÓN

  6. Hola me podrías ayudar en este problema:
    Hallar el trigésimo noveno término de una serie geométrica sabiendo que término 37 es 8/9, término 42 es 27/4

    • Jimmy:
      Calculamos la razón poniendo a37 y a42 en función de a1.
      8/9=a1.r^36 (ecuación 1)
      27/4=a1.r^41 (ecuación 2)
      De estas dos ecuaciones obtenemos que r= 3/2
      De la ecuación 1, hallamos a1:
      8/9= a1.(3/2)^36
      a1= 2^39/3^38
      Hallamos a39
      a39=a1xR^n-1
      a39=(2^39/3^38).(3/2)^38= 2
      a39= 2

  7. En una progresión aritmética el término del lugar 40 es 59; el término del lugar 27 es 33. Hallar el primer término y la diferencia común de dicha progresión.

    • Yanelmasxd2:
      Sabemos que: an= a+(n-1).d
      En nuestro problema:
      a40= a1+(40-1).d
      59= a1+39d (ecuación 1)
      a27=a1+(27-1).d
      33=a1+26d (ecuación 2)
      De amabas ecuaciones se obtiene:
      d= 2
      a1= -19

  8. Hola Manuel me puedes hacer el favor de ayudarme con estos ejercicios:
    Calcular las siguientes derivadas
    1/ f(x)= x.e^x
    2/ f(x)= x.e^x^2
    Calcula las siguientes Derivadas Implícitas
    3/ x^2y+y^2x=8
    Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
    4/ f(x) =e^x ; f´´´(x)
    5/ f(x)= 2^x ; f´´´(x)

    • Adrián:
      Calcular las siguientes derivadas:
      1/ f(x)= x.e^x
      f´(x)= 1.e^x+x.e^x= e^x(x+1)
      2/ f(x)= x.e^x^2
      f´(x)=1.e^x^2+2e^x.e^x.x= e^x^2(2x+1)
      Calcula las siguientes Derivadas Implícitas
      3/ x^2y+y^2x=8
      dy/dx=y´
      2x.y+y´.x^2+2y.y´.x+y^2= 0
      2x.y+y^2+y´(x^2+2yx)=0
      y´=-2xy-y^2/x^2+2yx
      dy/dx= -2xy-y^2/x^2+2yx
      Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
      4/ f(x) =e^x ; f´´´(x)
      f´(x)=e^x
      f´´(x)= e^x
      f´´´(x)= e^x
      5/ f(x)= 2^x ; f´´´(x)
      f´(x)= 2^x.L2
      f´´(x)= 2^x.L2.L2= 2^x.(L2)^2
      f´´´(x)= 2^x.(L2)^2.L2= 2^x.(L2)^3

    • Dada una progresión geométrica creciente, se sabe que el séptimo y el quinto término son 64 y 16 respectivamente. Hallar la razón

  9. Hola Manuel me podrías ayudar con estos otros ejercicios. Te agradezco son ejercicios de derivadas
    Calcular las siguientes derivadas
    1/ f(x)= x^2.2^x
    2/ f(x)= x^2 -1 / 2x+2
    Calcula las siguientes Derivadas Implícitas
    3/ √ x + √ y = 9
    Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
    4/ f(x) = 3√ x ; f´´(x)
    5/ f(x)= log(x) ; f´´(x)

    • Adrián:
      1/ f(x)= x^2.2^x
      f´(x)= 2x.1.2^x+2^x.L2.x^2= x.2^x(2+x.L2)
      2/ f(x)= x^2 -1 / 2x+2
      f(x)= x^2 -1/2x+2= (x-1)(x+1)/2(x+1)= x-1/2= 1/2.(x-1)
      f(x)=1/2(x-1)
      f´(x)= 1/2
      Calcula las siguientes Derivadas Implícitas
      3/√x + √y = 9
      dy/dx=y´
      1/2√x+y´/2√y= 0
      Racionalizamos:
      √x/2x+y´√y/2y= 0
      y´√y/2y= -√x/2x
      y´=-√x.2y/2x.√y
      y´= -y.√x/x√y
      Racionalizamos de nuevo:
      y´= -y.√y.√x/x.y
      y´=√y.√x/x
      y´= √y.x/x
      dy/dx=√y.x/x
      Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
      4/ f(x) = 3√x ; f´´(x)
      f´(x)= 3.1/2√x= 3/2.√x/x
      f´´(x)= [(x/2.√x-√x)/x^2].3/2
      f´´(x)= 3/2.(x-2x√x)/2x^2.√x
      Simplificando:
      f´´(x)= 3/4.(1-2√x)/x√x
      5/ f(x)= log(x) ; f´´(x)
      f´(x)= 1/x
      f´´(x)=-1/x^2

  10. Me podrían ayudar con este ejercicio: Hallar la suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que a1=7 y a10=52

  11. Calcula la suma de los 15 primeros términos de una progresión aritmética en la que a3 es 1 y a7 es -7

    • Fanny María:
      Sabemos que : an= a1+(n-1)d
      En nuestro problema:
      a3=a1+(3-1).d
      1= a1+2d (ecuación 1)
      a7= a1+(7-1)d
      -7=a1+6d (ecuación 2)
      Se obtiene que:
      a1= 5
      d= -2
      a15=a1+(15-1).d= 5+14(-2)= 5-28= -23
      Sn=a1+an/2.n
      S15= a1+a15/2.15
      S15=5+(-23)/2.15=-135

  12. Hola me pueden ayudar con este problema:
    Sabiendo que el quinto termino de una sucesión aritmética es 18 y la diferencia 2; hallar la suma de los nueve primeros términos de la sucesión

    • Evelyn:
      Sabemos que an= a1+(n-1)d
      En nuestro problema:
      a5=a1+(5-1).2= a1+8
      18= a1+8
      a1= 18-8= 10
      Ahora hallamos a9:
      a9=a1+(9-1).d= 10+8.2= 10+16= 26
      Sabemos que:
      Sn=a1+an/2.n
      En nuestro problema:
      S9=10+26/2.9= 162

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