Problemas de Matemáticas Resueltos

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Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Problema 62:

Cierto fenómeno tiene lugar cada 450 segundos, otro cada 250, y un tercero cada 600. Si a las 5 de la tarde han coincidido los tres. ¿a qué hora volverán a coincidir por primera vez y cuántas veces tiene lugar cada uno de ellos entre una y otra coincidencia?

SOLUCIÓN MCD y MCM 62

Problema 61:

El máximo común divisor de dos números es 20 y el mínimo común múltiplo es 1540. Hallar estos números sabiendo que están en la razón de 7/11.

SOLUCIÓN MCD y MCM 61

Problema 60:

Hallar el menor número de 4 cifras que dividido por 8, 9, 10 y 15 dé de resto igual a 5.

SOLUCIÓN MCD y MCM 60

Problema 59:

Encontrar un número comprendido entre 1000 y 2000, sabiendo que es múltiplo de 3 y que,  dividido por 25, 35 y 50, se obtiene en los tres casos 17 de resto.

SOLUCIÓN MCD y MCM 59

Problema 58:

La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de dos, más uno; múltiplo de siete, más seis; y múltiplo de diez menos uno. ¿Qué edad tiene?

SOLUCIÓN MCD y MCM 58

Problema 57:

Un libro tiene entre 400 y 450 páginas. Si las contamos de 2 en 2 no sobra ninguna, si las contamos de 5 en 5 no sobra ninguna y si las contamos de 7 en 7 tampoco sobra ninguna. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

SOLUCIÓN MCD y MCM 57

Problema 56:

La figura tiene 90 cm de perímetro, ADE es un triángulo equilátero, BCF  es un triángulo isósceles (CF=BF) y ABCD es un rectángulo. Calcule el perímetro del rectángulo ABCD, si se sabe que los perímetros del triángulo  isósceles y el triángulo equilátero son 50 y 60 respectivamente.

SOLUCIÓN MCD y MCM 56

Problema 55:

Los alumnos de un colegio de primaria  pueden ser agrupados exactamente en conjuntos de 9, 12  ó 15 alumnos. ¿Cuántos hay en total si se sabe que son más de 178?

SOLUCIÓN MCD y MCM 55

Problema 54:

Hallar la menor cantidad de euros que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13, de tal manera que en cada caso dé resto 4.

SOLUCIÓN MCD y MCM 54

Problema 53:

Una canasta está llena de huevos. Contiene un número exacto de docenas y decenas. ¿Cuántos huevos contiene, sabiendo que el número está comprendido entre 300 y 400?

SOLUCIÓN MCD y MCM 53

Problema 52:

Hallar la menor cantidad de dinero que se necesita para repartir entre 4, 6, 9 y 14 niños, de tal manera que en cada caso el resto sea 3.

SOLUCIÓN MCD y MCM 52

Problema 51:

Las edades de Manuel y la de su hija están comprendidas entre 23 y 49 años y son a la vez divisibles por 8 y 12. ¿Qué edad tiene cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 51

Problema 50:

El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobran 2; de 5 en 5 sobran 4; y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

SOLUCIÓN MCD y MCM 50

Problema 49:

Un niño cuenta sus bolitas, la primera por grupos de 3, la 2ª por grupos de 4 y finalmente por grupos de 8, y siempre le quedan sin contar 2. ¿Cuántas bolitas tiene, sabiendo que no llegan a 100, pero pasan de 90?

SOLUCIÓN MCD y MCM 49

Problema 48:

Hallar el menor número que al ser dividido por 3 dé como resto 1, por 5 dé 3, por 9 dé 7 y por 12 dé 10.

SOLUCIÓN MCD y MCM 48

Problema 47:

Hallar el menor número que al ser dividido por 3, 5, 9 y 12 siempre da resto 1

SOLUCIÓN MCD y MCM 47

Problema 46:

Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda11 y el tercero tarda12 segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 46

Problema 45:

Hallar dos números cuyo producto sea 7007 y su m.c.d 7.

SOLUCIÓN MCD y MCM 45

Problema 44:

Hallar dos números tales que su m.c.d. sea 36 y su m.c.m 5148

SOLUCIÓN MCD y MCM 44

Problema 43:

¿Qué cifras deben sustituirse por los asteriscos del número 3*33*5, para que el número resultante sea divisible por 1125?

SOLUCIÓN MCD y MCM 43

Problema 42:

¿Cuál es el menor número no divisible por 4,6,9,11 y12 que al dividirlo por éstos, se obtienen restos iguales?

SOLUCIÓN MCD y MCM 42

Problema 41:

Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron, respectivamente, 8, 10 y 12 segundos. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 41

Problema 40:

Seis campana tocan a intervalos de 3, 5, 7, 8, 9, 19 segundos, respectivamente. ¿Qué tiempo pasará entre dos toques simultáneos de todas las campanas?

SOLUCIÓN MCD y MCM 40

Problema 39:

En un escollo hay 3 faros: uno gira en 2 minutos 12 segundos; otro en 3 minutos 7 segundos; el tercero, en 3 minutos 24 segundos. Lucen juntos  a las 12 de la noche. ¿Cuándo volverán a lucir juntos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 39

Problema 38:

Cuatro hombres pueden caminar 105, 112, 126 y 168 km, respectivamente, por semana. ¿Cuál es la menor distancia que todos ellos pueden caminar en un número exacto de semanas?

SOLUCION MCD y MCM 38

Problema 37:

Se tienen dos aljibes con 216 litros y 360 litros de vino, respectivamente. Se quiere trasvasar dicho vino a pequeños recipientes iguales, de forma que el número de ellos sea el menor posible y que contengan el vino, sin mezclar el de los aljibes. ¿Qué cantidad tendrá cada recipiente? ¿Cuántos se emplearán para cada aljibe?

SOLUCIÓN MCD y MCM 37

Problema 36:

¿Se pueden disponer en rectángulo 97 objetos?, ¿ y 415 objetos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 36

Problema 35:

¿De cuántas maneras se pueden colocar en rectángulo de varias filas 24 árboles?, ¿y 30 árboles?, ¿y 42 árboles?

SOLUCIÓN MCD y MCM 35

Problema 34:

Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos días, el segundo cada seis días y el tercero cada ocho días. Si salieron juntos el 1 de mayo, ¿qué día volverá a salir juntos por primera vez?

SOLUCIÓN MCD y MCM 34

Problema 33:

Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. ¿Cuál es esta dimensión y cuántas baldosas se emplearon?

SOLUCIÓN MCD y MCM 33

Problema 32:

En una carretera hay mojones que señalan los hectómetros y postes de red eléctrica cada 36 metros. Si en un punto coinciden ambos, ¿a qué distancia coinciden de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 32

Problema 31:

Juan va a visitar a su abuela cada cinco días, y su primo Enrique  cada siete días. ¿Cada cuántos días coinciden allí?

SOLUCIÓN MCD y MCM 31

Problema 30:

Una campana tañe cada 12 minutos y otra cada 15 minutos. Habiendo sonado juntas a las 12, ¿a qué hora sonarán de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 30

Problema 29:

Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años. Habiéndose aproximado juntos al Sol en 1950, di la fecha más cercana en que volverán a hacerlo juntos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 29

Problema 28:

Dos cañones disparan cada 3 minutos uno y cada 5 minutos otro. Comienzan los dos al mismo tiempo. ¿Al cabo de cuánto tiempo dispararán juntos y cuántos cañonazos habrán disparado para entonces cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 28

Problema 27:

Halla la cabida de un tonel sabiendo que es la menor posible que se puede llenar exactamente con botellas de 60 cl, 90 cl, 1 litro y 2 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 27

Problema 26:

¿Por cuánto multiplicaremos

ImgMcdMcm_26

para que el producto sea
ImgMcdMcm_26-I

SOLUCIÓN MCD y MCM 26

Problema 25:

¿Por cuánto habrá que multiplicar

ImgMcdMcm_25

para que el producto sea la unidad seguida de seis ceros?

SOLUCIÓN MCD y MCM 25

Problema 24:

Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 108 segundos y otro 120 segundos. Si los dos salen al mismo tiempo de la meta, ¿Cuándo volverán a coincidir en la misma?. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 24

Problema 23:

¿Cuál es el volumen del mayor trozo cúbico que cabe exactamente en dos cajas de 276 y 345 dm3 de capacidad? ¿Cuántas veces cabrá en cada caja?

SOLUCION MCD y MCM 23

Problema 22:

Los libros de una biblioteca no pasan de 10000 y se pueden empaquetar por docenas, de 27 en 27 y de 49 en 49, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 22

Problema 21:

Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 21

Problema 20:

Hallar el máximo común divisor  y mínimo común múltiplo de 6120 y 378

SOLUCIÓN MCD y MCM 20

Problema 19:

El día 5 de marzo, y en un momento dado, se oyen cuatro campanas que tocan a la vez. Sabiendo que éstas tocan cada 6,8,10 y 12 días, respectivamente, ¿cuál será el primer día que vuelvan a tocar al mismo tiempo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 19

Problema 18:

Hallar tres números enteros que, multiplicados respectivamente por 858, 2508 y 4554, den productos  iguales. Se sabe que este producto está comprendido entre 8.000.000 y 10.000.000.

SOLUCIÓN MCD y MCM 18

Problema 17:

Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo en lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar en domingo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 17

Problema 16:

Calcular la capacidad máxima que ha de tener una vasija para que, con ella, se puedan medir exactamente los contenidos  de tres recipientes de 1092, 1386 y 756 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 16

Problema 15:

Hallar el menor número por el cual hay que dividir  108675, para que su cociente  sea un cuadrado perfecto.

SOLUCIÓN MCD y MCM 15

Problema 14:

Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar  4662, para que su producto sea divisible 3234.

SOLUCIÓN MCD y MCM 14

Problema 13:

¿Qué múltiplos de 90 y 120 hay entre 400 y 800?

SOLUCIÓN MCD y MCM 13

Problema 12:

¿Qué múltiplos comunes de 15 y 16 hay entre 300 y 600?

SOLUCIÓN MCD y MCM 12

Problema 11:

Hallar un número comprendido entre 80000 y 100000, que sea divisible por 182 y 2156.

SOLUCIÓN MCD y MCM 11

Problema 10:

Hallar todos los divisores del número 1134000 que sean cubos perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 10

Problema 9:

Hallar el menor múltiplo de 168 y 1116, que sea divisible por 210.

SOLUCIÓN MCD y MCM 9

Problema 8:

Hallar todos los divisores del número 5292 que sean cuadrados perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 8

Problema 7:

Dígase qué números comprendidos entre 75000 y 120000, son divisibles por 28, 72,147 y 539.

SOLUCIÓN MCD y MCM 7

Problema 6:

Hallar  todos los divisores primos no comunes de los números 2660 y 7130.

SOLUCIÓN MCD y MCM 6

Problema 5:

Hallar todos los divisores primos comunes de los números 13299 y 3003.

SOLUCIÓN MCD y MCM 5

Problema 4:

Hallar el mayor divisor común de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.

SOLUCIÓN MCD y MCM 4

Problema 3:

Hallar el máximo común divisor de 13631 y 16167

SOLUCIÓN MCD y MCM 3

Problema 2:

¿Cuál es el menor número entero que, multiplicado por 429975, da un producto cuya raíz cuadrada es exacta?

SOLUCIÓN MCD y MCM 2

Problema 1:

Sabiendo que 435600 tiene raíz cuadrada exacta, hallar el valor de ésta sin recurrir a la regla general para su extracción

SOLUCIÓN MCD y MCM 1

153 pensamientos en “Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

  1. Pero no están los siguientes números 96 y 160 que son los que necesito

  2. Una película cuenta un científico loco inventó una máquina para viajar en el tiempo un miércoles se subió y viajó 134 al pasado, después se subió un viernes y viajó 425 días al futuro. ¿Qué día de la semana era cuando llegó en cada viaje?

    • Lucía:
      Así entiendo el problema:
      He considerado los meses de 30 días y el año de 365 días.
      En el 1er caso que viaja hacia el pasado 134 días, entiendo que emplea otros 134 días en regresar al presente.
      Si viaja al pasado y sale el miércoles los días de la semana van hacia atrás, es decir, miércoles, martes, lunes …
      Días hacia el pasado:
      Si 365 días son 12 meses
      134 días serán x meses
      x= 134×12/365= 4,405 meses= 4 meses 12 días y 3,94 horas
      A los 4 meses vuelve a ser miércoles
      Los 12 días serán: martes, lunes, domingo… de manera que el día 12 es viernes
      Pero hay 3,94 horas del día anterior, el jueves.
      Ahora tiene que regresar al presente, luego
      A los 4 meses vuelve a ser jueves
      Los 12 días serán: viernes, sábado, domingo…de manera que el día 12 es martes
      Pero hay 3,94 horas del día siguiente, el miércoles, el día que llega.
      En el 2º caso que viaja hacia el futuro 425 días, entiendo que emplea otros 425 días en regresar al presente.
      Si viaja el futuro y sale el viernes los días de la semana van hacia adelante, es decir, sábado, domingo, lunes …
      Días hacia el futuro:
      Si 365 días son 12 meses
      425 días serán x meses
      x= 425×12/365= 13 meses 29 días y 4 horas
      A los 13 meses vuelve a ser viernes
      Los 29 días serán: sábado, domingo, lunes… de manera que el día 29 es sábado
      Pero hay 4 horas del día anterior, el viernes.
      Ahora tiene que regresar al presente, luego
      A los 13 meses vuelve a ser viernes
      Los 29 días serán: jueves, miércoles, martes (van hacia atrás ya que tiene que regresar al presente)…de manera que el día 29 es jueves.
      Pero hay 4 horas del día anterior, el miércoles el día que llega

  3. ¿Cuántos ladrillos de 12 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 de alto se necesitan para formar un cubo?

    • Rusbel:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm), para ello hacemos la descomposición factorial:
      5=5×1
      10= 2x5x1
      12= 2x2x3x1=2^2x3x1
      mcm es el producto de los factores comunes o no afectados del mayor exponente:
      mcm (5, 10, 12)= 2^2x3x5= 60 es el número mínimo de ladrillos para formar un cubo

  4. AYÚDENME😦
    ¿CUÁL ES EL MENOR NUMERO ENTERO QUE CONTIENE EN FORMA EXACTA 72; 66 Y 60?

    • Ximena:
      Es su mínimo común múltiplo (mcm) para ello,
      Hacemos la descomposición en factores de:
      72= (2^3)x(3^2)x1
      66= 2x3x11x1
      60= (2^2)x3x5x1
      mcm es el producto de los factores comunes o no afectados del mayor exponente:
      mcm (72, 66, 60)= (2^3)x(3^2)x5x11x1= 3960

  5. En una planta de Bebidas, se realiza un cierto producto, para ello existen tres máquinas. La primera tarda 54 segundos en realizar el producto, la segunda máquina tarda 72 segundos y la tercera 1 minuto y medio. Siempre las tres máquinas comienzan a trabajar al mismo instante:Esta empresa tiene 3 plantas, una en Santiago, Temuco y Concepción el encargado de recursos humanos planifica una capacitación para todos sus trabajadores. En la planta de Santiago trabajan 120 personas, en Temuco 45 personas y Concepción 50 personas. Se separan los trabajadores en grupos de igual cantidad de personas para las 3 plantas, considerando que cada grupo tenga la mayor cantidad de participantes posibles y, además

  6. Joaquín va a Chosica cada 18 días y Mario cada 24 días; hoy han estado los dos en Chosica ¿dentro de cuántos días volverán a estar los dos a la vez en Chosica?

    • Rusbel:
      Para saber cuándo vuelven a coincidir tenemos que hallar el mínimo común múltiplo (mcm), para ello hacemos la descomposición en factores de 18 y 24 respectivamente:
      18= 2x3x3x1
      24= 2x2x2x3x1
      mcm es el producto de los factores comunes o no afectados del mayor exponente.
      mcm (18,24)= (2^3)x(3^2)= 8×9= 72
      Luego volverán a coincidir en Chosica a los 72 días

      • Gracias tengo otro ejercicio

        Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da señal de 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal.
        a) ¿Cuántas horas como mínimo han de pasar para que vuelvan a coincidir?
        b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?

      • Rusbel:
        Se trata de hallar el mínimo común múltiplo.
        Para ello, hacemos la descomposición en factores:
        60= (2^2)x3x5x1
        150=2x3x(5^2)x1
        360=(2^3)x(3^2)x5x1
        mcm es el producto de los factores comunes o no afectados del mayor exponente:
        mcm (60, 150, 360)= (2^3)x(3^2)x(5^2)x1= 1800 minutos= 1800/60= 30 horas
        a) ¿Cuántas horas como mínimo han de pasar para que vuelvan a coincidir?
        Volverán a coincidir a las 30 horas
        b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos?
        A las 1500 horas del día siguiente (tocan a las 0900 de hoy 28ago16, a las 0900 horas del 29ago16 habrán pasado 24 horas, pero como han transcurrido 30 horas: 30-24= 6 horas, luego: 9+6= 15, tocarán juntos a las 1500 horas del día siguiente)

  7. Por favor ayúdenme:
    1 ) Demuestra que 2520 es divisible entre 2,3,4,5,6,7,8,9,10.
    ¿Será que este es el menor número con esta propiedad?
    ¿Cuál es el menor número divisible entre 2,3,4,5,……..17,18,19,20?
    2 ) ¿Qué se puede decir sobre el MCD de 2 números primos diferentes?

    • Helen:
      Pb1) Para demostrarlo calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, mediante la descomposición en factores,tenemos que:
      2= 2×1
      3= 3×1
      4= 2^2×1
      5= 5×1
      6= 2x3x1
      7= 7×1
      8= 2^3×1
      9= 3^2×1
      10= 2x5x1
      mcm(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)= 2^3×3^2x5x7= 2520
      ¿Será que este es el menor número con esta propiedad?
      Sí, Es el menor número que es múltiplo común de todos ellos.
      Por otra parte aplicando los criterios de divisibilidad se demuestra es múltiplo de todos ellos.
      Es divisible por 2, si la cifra de las unidades acaba en cero o es divisible por 2, como es el caso: 2520
      Es divisible por 3, si la suma de sus cifras es divisible por 3: 2+5+2+0= 9/3=3
      Es divisible por 4, si las dos últimas cifras de la derecha son divisibles por 4: 20/4=4.
      Es divisible por 5, si la cifra de las unidades acaba en cero o es divisible por 5
      Es divisible por 6, si el número es a la vez divisible por 2 (2520/2= 1260) y por 3 (2520/3=840)
      Es divisible por 7 si al restar el número sin la cifra de las unidades (252) y el doble de la cifra de las unidades (0x2=0), el resultado es cero o múltiplo de 7 entonces el número es divisible por 7: 252-0x2= 252. Como es un número muy elevado aplicamos la regla de nuevo: 25-2×2= 25-4= 21/7=3
      Es divisible por 8, si las tres últimas cifras de la derecha son divisibles por 8: 520/8= 65
      Es divisible por 9, si la suma de sus cifras es divisible por 9: 2+5+2+0= 9/9=1
      Es divisible por 10, si su última cifra es 0; 2520 como es el caso
      ¿Cuál es el menor número divisible entre 2,3,4,5,……..17,18,19,20?
      Su mcm(2,3,4,5,……..17,18,19,20) = 232.792.560
      2 ) ¿Qué se puede decir sobre el MCD de 2 números primos diferentes?
      Número primo es aquel que solo es divisible por sí mismo y por la unidad, por tanto el mcd de dos números primos es la unidad, o sea 1.
      Por ejemplo:
      2= 2×1
      3= 3×1
      El mcd es el producto de los factores comunes afectados con el menor exponente, en el caso del ejemplo el único factor común es el 1:
      mcd (2,3)= 1

  8. Gracias por su ayuda .
    1 ) calcula el MCM y el MCD de los siguientes números, utilizando la técnica de divisiones sucesivas.
    a) 120 y 300
    b) 36 y 42
    c) 15,25 y 60
    d) 12,16 y 24

    2 ) determina los menores números naturales por los que se deben multiplicar el 50 y el 75 para obtener productos iguales.

    • Helen:
      1 ) calcula el MCM y el MCD de los siguientes números, utilizando la técnica de divisiones sucesivas:
      Te voy a hacer un ejemplo ya que son todos iguales:
      c) 15,25 y 60
      Para hallar el mcd y mcm hay que hacer la descomposición en factores de cada uno de los números. Consiste en dividir el número por los números primos empezando por el más pequeños que sea su divisor, es decir, hay que aplicar los criterios de divisibilidad, así
      15 es divisible por 3,
      luego:
      15= 3x5x1 (te recomiendo que pongas siempre el 1, no suponen variación alguna pero en el caso de números primos es su mcd)
      25 es divisible por 5,
      luego.
      25=5^2×1
      60 es divisible por 2, por 3 y por 5, pero hay que empezar por el menor,
      luego:
      60= 2^2x3x5x1
      Definición de mcd: es el producto de los factores comunes afectados por el menor exponente:
      mcd(15, 25, 60)= 5×1= 5
      Definición de mcm: es el producto de los factores comunes o no afectados por el mayor exponente:
      mcm(15, 25, 60)= 2^2x3x5^2×1= 300
      2 ) determina los menores números naturales por los que se deben multiplicar el 50 y el 75 para obtener productos iguales.
      Para ello hacemos su descomposición en factores:
      50= 2×5^2×1
      75=3×5^2×1
      Por tanto,
      Multiplicamos por 3, 50: 50×3= 150
      Multiplicamos por 2, 75: 75×2= 150

  9. Ayúdame en esta por favor: -la suma del mcd y mcm de dos números es a su mcm como 21 es a 20. Si la suma de dichos números es 108, ¿la suma de divisores positivos comunes que poseen estos números es?

    • Bramble:
      Así entiendo el problema:
      Sean x, y los números pedidos.
      Su suma es 108: x+y = 108 (ecuación 1)
      La suma del mcd y mcm de dos números es a su mcm como 21 es a 20:
      mcm+mcd/mcm= 21/20 (ecuación 2)
      Operando sobre la ecuación 2 obtenemos que:
      mcm= 20.mcd (ecuación 3)
      Por otra parte, hago la descomposición en factores de 108:
      108= (2^2).(3^3).1
      Una vez obtenida, hago las posibles combinaciones de factores que cumplen los requisitos de la ecuación 3, y es:
      2x3x3= 12
      Es decir que el mcd= 12
      mcm= 20.12= 240
      Por otra parte, sabemos que:
      x.y= mcm.mcd
      x.y= 240.12
      x.y= 2880 (ecuación 4)
      Ahora de la ecuación 1 y la 4, obtenemos:
      x+y = 108
      Despejo x:
      x= 108-y
      Sustituyo su valor en:
      x.y= 2880
      (108-y).y= 2880
      Operando tenemos la siguiente ecuación de 2º en y:
      y^2-108y+2880= 0
      De donde obtenemos como soluciones:
      y= 60; x= 48 (sustituimos el valor de y en la ecuación 1)
      y= 48; x= 60 (sustituimos el valor de y en la ecuación 1)
      Ahora para calcular la suma de los divisores positivos comunes, hacemos su descomposición factorial:
      60= 2x2x3x5x1
      48= 2x2x2x2x3x1
      La suma de los divisores positivos comunes será:
      1+2+3+(2×2=4)+(2×3=6)+(2x2x3=12)= 1+2+3+4+6+12= 28

  10. Me ayudas con este también. ¡gracias!. Una película cuenta que un científico loco inventó una máquina para viajar en el tiempo. Un miércoles se subió y viajó 134 días al pasado; después se subió un viernes y viajó 425 días al futuro. ¿Qué día de la semana era cuando llegó en cada viaje?

    • Vanesa:
      Así entiendo el problema:
      He considerado los meses de 30 días y el año de 365 días.
      En el 1er caso que viaja hacia el pasado 134 días, entiendo que emplea otros 134 días en regresar al presente.
      Si viaja al pasado y sale el miércoles los días de la semana van hacia atrás, es decir, miércoles, martes, lunes …
      Días hacia el pasado:
      Si 365 días son 12 meses
      134 días serán x meses
      x= 134×12/365= 4,405 meses= 4 meses 12 días y 3,94 horas
      A los 4 meses vuelve a ser miércoles
      Los 12 días serán: martes, lunes, domingo… de manera que el día 12 es viernes
      Pero hay 3,94 horas del día anterior, el jueves.
      Ahora tiene que regresar al presente, luego
      A los 4 meses vuelve a ser jueves
      Los 12 días serán: viernes, sábado, domingo…de manera que el día 12 es martes
      Pero hay 3,94 horas del día siguiente, el miércoles, el día que llega.
      En el 2º caso que viaja hacia el futuro 425 días, entiendo que emplea otros 425 días en regresar al presente.
      Si viaja el futuro y sale el viernes los días de la semana van hacia adelante, es decir, sábado, domingo, lunes …
      Días hacia el futuro:
      Si 365 días son 12 meses
      425 días serán x meses
      x= 425×12/365= 13 meses 29 días y 4 horas
      A los 13 meses vuelve a ser viernes
      Los 29 días serán: sábado, domingo, lunes… de manera que el día 29 es sábado
      Pero hay 4 horas del día anterior, el viernes.
      Ahora tiene que regresar al presente, luego
      A los 13 meses vuelve a ser viernes
      Los 29 días serán: jueves, miércoles, martes (van hacia atrás ya que tiene que regresar al presente)…de manera que el día 29 es jueves.
      Pero hay 4 horas del día anterior, el miércoles el día que llega

  11. HELP PLEASE! ” Los chicos de sexto organizaron el quiosco de la escuela y compraron esta mercadería: 120 chocolates, 240 caramelos y 120 chupetines. ¿Cuántas bolsitas pueden armar?. ¿ Cuántos caramelos, chupetines y chocolates colocarán en cada bolsita?

    • Vanesa:
      Hallamos el máximo común divisor (mcd) de 120 y 240; para ello hacemos su descomposición factorial:
      240= (2^4)x3x5x1
      120= (2^3)x3x5x1
      mcd(240,120)= (2^3)x3x5x1
      Se podrán armar 120 bolsas conteniendo cada bolsa:
      1 chocolate, 2 caramelos y 1 chupetín

  12. Hola! no me sale esto. ” La asociación “Cooperado” del colegio de Martín compró estas cartulinas para usar durante todo el año. Para distribuirlas, arman la mayor cantidad posible de pilas con igual contenido : 200 cartulinas blancas, y 40 cartulinas celestes. ¿Cuántas pilas se forman? ¿Qué tendrá cada una ?

    • Vanesa:
      Hallamos el máximo común divisor (mcd) de 200 y 40, para ello hacemos su descomposición factorial:
      200= (2^3)x(5^2)x1
      40= (2^3)x5x1
      mcd(200,40)= (2^3)x5x1= 40
      Por tanto, se formarán:
      Pilas de cartulinas blancas: 200/40= 5 pilas
      Pilas de cartulinas azules: 40/40= 1 pila
      Cada pila contendrá 40 cartulinas

  13. Que amables, un problemita: Saul tiene más de 125 figuritas y menos de 240. Si las guarda en paquetes de 3, le falta 1, si las guarda en paquetes de 4 le faltan 2, si las guarda en paquetes de 5 le faltan 3. ¿Cuántas figuritas tiene Saul?

    • Viviana:
      Sea x el número que nos piden y tiene que estar comprendido entre 125 y 240.
      Como dice que tiene más de 125 figuritas y menos de 240, significa:
      126<x<239
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 3, 4 y 5:
      mcm (3, 4, 5)= 3x4x5= 60
      Al estar comprendido: 126<x<239, en principio una aproximación es: el número sea múltiplo de 60 y que esté comprendido entre ambos:
      60×3= 180 cumple el requisito.
      Pero como al hacer los paquetes le falta 1 ó 2 ó 3, será menor de 180.
      El número que cumple ese requisito es 178

  14. Hola, gracias anticipadas:
    Si el producto de dos números es 12780 y su MCD es 45. Halla dichos números.

    • Viviana:
      Sea x e y los números pedidos
      Su producto: x.y= 12780
      MCD= 45
      MCD es el mayor número que es divisor, en este caso, de x e y.
      Hacemos la descomposición factorial:
      45= 3x3x5x1
      12780= 2x2x3x3x5x71x1
      Por tanto, los dos números son:
      12780/45= 284, y 45

  15. Hola me ayudan con esto por favor : La relación entre el MCM y el MCD de dos números es igual a 12 y el producto entre los números es 432. La diferencia (MCM – MCD) ?

    • Magali:
      Sean x e y los dos números.
      Sabemos que su producto es igual a 432
      Sabemos que la relación entre su MCM y su MCD es igual a 12:
      MCM/MCD=12
      MCM= 12MCD
      También sabemos que el producto de dos números es igual al producto de su MCM por su MCD.
      x.y= 432= MCM.MCD
      Por tanto:
      MCM= 12MCD
      MCM.MCD= 432
      (12MCD).MCD= 432
      12.(MCD)^2= 432
      (MCD)^2= 432/12
      (MCD)^2= 36
      MCD= 6
      Sustituimos su valor en:
      MCM= 12MCD
      MCM= 12.6
      MCM= 72
      Por tanto:
      MCM-MCD= 72-6= 66

  16. Hola podrían ayudarme con este problema.?
    Una floristería quiere hacer ramos utilizando rosas, claveles y margaritas. En la tienda tienen 250 rosas, 180 claveles y 300 margaritas. ¿Cuántas flores como máximo deben poner en cada ramo para que haya el mismo numero de rosas, claveles y margaritas? ¿Cuántos ramos pueden hacer?

    • Heylin:
      Hallamos el máximo común divisor (mcd), para ello hacemos la descomposición en factores de 250, 180 y 300:
      250= 2x(5^3)x1
      180= (2^2)x(3^2)x5x1
      300= (2^2)x3x(5^2)x1
      MCD: es el producto de los factores comunes con el menor exponente
      mcd (250, 180, 300 )= 2×5= 10
      Luego:
      Rosas:
      250/10=25
      Claveles:
      180/10= 18
      Margaritas:
      300/10=30
      Máximo número de flores a poner en cada ramo: 18 ya que es menor que 25 y 30
      Número de ramos que se pueden hacer: 10 porque 18 claveles por 10 ramos= 180 claveles

  17. Un ciclista tarda dos minutos en dar una vuelta a la pista y otro tarda tres minutos. Si parten al mismo tiempo y deben dar 50 vueltas, ¿cuántas veces se encontrarán en el punto inicial?, ¿cuántos minutos hay entre cada encuentro?

    • Heidy:
      Cada 6′ se encuentran.
      Cada 6′ A da 3 vueltas y B da 2 vueltas por tanto se encontrarán,
      tomando como referencia que A dé las 50 vueltas: 50/3=16 veces
      tomando como referencia que B dé las 50 vueltas: 50/2=25 veces
      En concreto, entiendo como solución correcta 25 veces, porque el enunciado del problema dice que ambos deben dar 50 vueltas

  18. Hola, quisiera saber si me pueden ayudar con el siguiente problema:

    Dos personas se encuentran escalando una pared vertical. Una de ellas se encuentra a 40 metros del suelo descendiendo en línea recta y la otra ascendiendo también en línea recta a 5 metros del suelo. Por cada 4 metros que desciende la primera, la segunda sube 3 metros.

    ¿A qué altura se encuentran ambas personas?

    • Rodrigo:
      Sea A la persona que baja
      Sea B la persona que sube
      Veamos que significa que por cada 4 metros que desciende la primera, la segunda sube 3 metros.:
      Luego
      4 m que A baja se corresponden con 3 m que B sube
      x m que A baja se corresponderán con y m que B sube
      x= 4y/3
      Por otra parte A está a 40 m de altura y B esta a 5 m sobre el suelo, luego la diferencia de alturas entre las dos personas es 40-5= 35 m
      Por tanto
      x+y= 35
      x=4y/3
      Sustituyendo el valor de x, tenemos:
      4y/3+y= 35
      4y+3y= 105
      7y=105
      y= 105/7= 15 metros
      Como pregunta a qué distancia se encontrarán, ésta será:
      Desde B: 5+15= 20 metros es la distancia a que se encontrarán

  19. Hola, quiero que me ayude con este problema: Ana ordena su colección de CD. Si los agrupa de a 6. de a 5 o de a 8 siempre sobra 1. a) ¿Cual es la menor cantidad de CD que puede tener?…b) ¿Cuántos CD puede tener si se sabe que son menos de 400? Desde ya muchas gracias!!

    • Óscar:
      Hallamos el mínimo común múltiplo de 6,5 y 8; para ello hacemos la descomposición en factores:
      5= 5×1
      6= 2x3x1
      8= (2^3)x1
      mcm (5,6,8)= (2^3)x3x5= 8x3x5= 120
      a) ¿Cual es la menor cantidad de CD que puede tener?:
      120+1= 121
      ¿Cuántos CD puede tener si se sabe que son menos de 400?
      121 ó 241 (121+120) ó 361 (241+120)

  20. Hola!
    Tengo problemas para resolver esto:
    En una bolsa hay cierta cantidad de bombones. Si los contamos en 2 sobra 1, si los contamos en 3 sobra 2 y si los contamos en 5 no sobra ninguno. ¿Cuántos bombones hay en la bolsa si se sabe que hay menos de 120?
    Gracias!

    • Natalia:
      Como hay menos de 120, la cantidad estará comprendida entre 5 y 119.
      No puede ser:
      múltiplo de 2 ni acabar en 0, ya que sería divisible por dos dando de resto cero
      múltiplo de tres, ya que sería divisible por 3 dando de resto cero
      Sí debe acabar en 5, para que sea múltiplo de 5 y el resto sea 0.
      La 1ª cantidad que cumple ese requisito es 5
      Por otra parte, sabemos que el mcm (2,3,5)= 30
      Luego en la bolsa puede haber:
      5, 35 (5+30), 65 (35+30) ó 95 (65+30) bombones

    • Una cantidad si la divides en 2 sobra uno, en 3 sobra 2, y en 5 no sobra. Entonces la cantidad de bombones termina en 0 o en 5 y es menor de 120. Te lo dejo así para que razones

      • María Belén:
        No puede acabar en cero, ya que los números que acaban en cero son múltiplos de dos.
        Sea halla el mínimo común múltiplo de (2,3,5)= 30
        El primer número es 30+5= 35
        El siguiente: 35+30= 65
        El último: 65+30= 95
        Porque 30+95= 125>120

  21. Por favor, podrían ayudarme con este problema: la frecuencia de salida de los siguientes micros rosario cada 4 horas; Mar del Plata cada 6 horas; Bariloche cada 9 horas. Si acaban de partir los tres juntos, ¿cada cuántas horas volverán a salir micros hacia los tres destinos a la vez?

    • Mercedes:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de la frecuencia de salida de los tres micros, para ello hacemos la descomposición factorial de:
      4= 2^2
      6= 2×3
      9= 3^2
      mcm es el producto de factores comunes o no con el mayor exponente:
      mcm (4,6,9)= (2^2)x(3^2)= 4×9= 36 horas
      Por tanto volverán a coincidir a las 36 horas de haber salido

  22. Por favor me puedes ayudarme con este ejercicio:
    Tres reglas de 200 mm de longitud cada una , están uniformemente graduadas , la primera cada 2 milímetros , la segunda cada 17/25 mm y la tercera cada 8/29 mm. Si se les hace coincidir en toda su extensión , ¿a qué distancia del origen coincidirán tres trazos de reglas ?

    • Karina:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de las tres fracciones.
      Las fracciones son:
      2= 2/1
      17/25
      8/29
      mcm(2/1;17/25;8/29) = mcm(numeradores)/mcd(denominadores). (mcd= máximo común divisor)
      Para calcular el mcm de los numeradores, hacemos la descomposición factorial de ellos:
      2= 2×1
      17= 17×1
      8= (2^3)x1
      mcm es el producto de los factores comunes o no con el mayor exponente
      mcm(2,17,8)= (2^3)x17= 8×17= 136
      mcd denominadores hacemos la descomposición factorial de ellos:
      1= 1
      25= (5^2)x1
      29=29×1
      mcd es el producto de los factores comunes con el menor exponente:
      mcd(1,25,29)=1
      Luego,
      mcm(2/1;17/25;8/29) = mcm(numeradores)/mcd(denominadores)
      mcm(2/1;17/25;8/29) = 136/1= 136
      Coincidirán a los 136 mm respecto del origen

  23. ¿CUÁL ES EL MENOR NÚMERO ENTERO QUE DIVIDIDO ENTRE 4;6;9 Y 15 DEJA COMO RESTOS:2;4;7 Y 13 RESPECTIVAMENTE? ayuda con esto

    • Frank:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm)de 4,6,9 y 15.
      Para ello hacemos la descomposición factorial de éstos:
      4= 2^2
      6= 2×3
      9= 3^2
      15= 3×5
      Aplicando la definición de mcm: los factores comunes o no con el mayor exponente:
      mcm(4,6,9,15)= (2^2)x(3^2)x5= 180
      Ahora por tanteo comprobamos que de 180 a 189 y no cumple el requisito
      Pero 180-2= 178, sí cumple el requisito de los restos
      Así, 178 es el menor número entero que dividido por 4,6,9 y 15 da por restos 2,4,7 y 13

  24. Puedes ayudarme con este por favor:
    En un almacén quieren comprar el mismo número de bolsas grandes y de bolsas pequeñas. Las bolsas pequeñas las venden en paquetes de 35 unidades y las grandes las venden en paquetes de 25.
    A. ¿CUÁL ES EL MENOR NUMERO DE BOLSAS GRANDES Y DE BOLSAS PEQUEÑAS QUE SE PUEDE COMPRAR?
    B. ¿CÁNTOS PAQUETES DE BOLSAS GRANDES SE DEBEN COMPRAR?
    C. ¿CUÁNTOS PAQUETES DE BOLSAS PEQUEÑAS?

    • Catalina:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 35 y 25, para ello hacemos la descomposición factorial de ambos números.
      35= 5x7x1
      25= 5^2×1
      mcm es el formado por los factores comunes o no con el mayor exponente
      mcm (35,25)= 5^2×7= 175
      Número de paquetes de bolsas grandes que se pueden comprar:
      175/35= 5 paquetes
      Número de paquetes de bolsas pequeñas que se pueden comprar:
      175/25= 7 paquetes
      Para calcular el número de bolsas a comprar, hallamos el máximo común divisor (mcd) de 35 y 25, para ello tomamos la descomposición en factores anterior:
      mcd es el formado por los factores comunes con menor exponente
      mcd (35,25)= 5
      Luego el menor número de bolsas que se pueden comprar:
      pequeñas: 5×35= 175
      grandes: 5×25= 125

  25. Gracias por los ejercicios, muy interesante la página. Por favor puedes ayudarme en éste:
    Una institución benéfica tiene tres lotes: lote A con 160m2, lote B con 320 m2 y lote C con 400m2. Desea cederlos a un grupo de damnificados de manera que les toque 10 lotes de la misma extensión: ¿Cuál es la mayor extensión que puede tener cada lote? ¿A cuántos damnificados podrá entregarles?

    • Zindia:
      Así entiendo el problema:
      Hallamos el máximo común divisor (mcd) de 160, 320 y 400 mediante su descomposición factorial:
      160= 2^5.5
      320=2^6.5
      400= 2^4.5`2
      mcd(160,320,400)= 2^4.5= 80
      Luego de cada lote formarán parte:
      160/80= 2
      320/80= 4
      400/80= 5
      La mayor extensión que puede tener cada lote es la suma de:
      160+320+400= 880 m^2
      Nº de damnificados: 2

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