Problemas de Matemáticas Resueltos

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Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Problema 46:

Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda11 y el tercero tarda12 segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 46

Problema 45:

Hallar dos números cuyo producto sea 7007 y su m.c.d 7.

SOLUCIÓN MCD y MCM 45

Problema 44:

Hallar dos números tales que su m.c.d. sea 36 y su m.c.m 5148

SOLUCIÓN MCD y MCM 44

Problema 43:

¿Qué cifras deben sustituirse por los asteriscos del número 3*33*5, para que el número resultante sea divisible por 1125?

SOLUCIÓN MCD y MCM 43

Problema 42:

¿Cuál es el menor número no divisible por 4,6,9,11 y12 que al dividirlo por éstos, se obtienen restos iguales?

SOLUCIÓN MCD y MCM 42

Problema 41:

Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron, respectivamente, 8, 10 y 12 segundos. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 41

Problema 40:

Seis campana tocan a intervalos de 3, 5, 7, 8, 9, 19 segundos, respectivamente. ¿Qué tiempo pasará entre dos toques simultáneos de todas las campanas?

SOLUCIÓN MCD y MCM 40

Problema 39:

En un escollo hay 3 faros: uno gira en 2 minutos 12 segundos; otro en 3 minutos 7 segundos; el tercero, en 3 minutos 24 segundos. Lucen juntos  a las 12 de la noche. ¿Cuándo volverán a lucir juntos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 39

Problema 38:

Cuatro hombres pueden caminar 105, 112, 126 y 168 km, respectivamente, por semana. ¿Cuál es la menor distancia que todos ellos pueden caminar en un número exacto de semanas?

SOLUCION MCD y MCM 38

Problema 37:

Se tienen dos aljibes con 216 litros y 360 litros de vino, respectivamente. Se quiere trasvasar dicho vino a pequeños recipientes iguales, de forma que el número de ellos sea el menor posible y que contengan el vino, sin mezclar el de los aljibes. ¿Qué cantidad tendrá cada recipiente? ¿Cuántos se emplearán para cada aljibe?

SOLUCIÓN MCD y MCM 37

Problema 36:

¿Se pueden disponer en rectángulo 97 objetos?, ¿ y 415 objetos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 36

Problema 35:

¿De cuántas maneras se pueden colocar en rectángulo de varias filas 24 árboles?, ¿y 30 árboles?, ¿y 42 árboles?

SOLUCIÓN MCD y MCM 35

Problema 34:

Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos días, el segundo cada seis días y el tercero cada ocho días. Si salieron juntos el 1 de mayo, ¿qué día volverá a salir juntos por primera vez?

SOLUCIÓN MCD y MCM 34

Problema 33:

Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. ¿Cuál es esta dimensión y cuántas baldosas se emplearon?

SOLUCIÓN MCD y MCM 33

Problema 32:

En una carretera hay mojones que señalan los hectómetros y postes de red eléctrica cada 36 metros. Si en un punto coinciden ambos, ¿a qué distancia coinciden de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 32

Problema 31:

Juan va a visitar a su abuela cada cinco días, y su primo Enrique  cada siete días. ¿Cada cuántos días coinciden allí?

SOLUCIÓN MCD y MCM 31

Problema 30:

Una campana tañe cada 12 minutos y otra cada 15 minutos. Habiendo sonado juntas a las 12, ¿a qué hora sonarán de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 30

Problema 29:

Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años. Habiéndose aproximado juntos al Sol en 1950, di la fecha más cercana en que volverán a hacerlo juntos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 29

Problema 28:

Dos cañones disparan cada 3 minutos uno y cada 5 minutos otro. Comienzan los dos al mismo tiempo. ¿Al cabo de cuánto tiempo dispararán juntos y cuántos cañonazos habrán disparado para entonces cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 28

Problema 27:

Halla la cabida de un tonel sabiendo que es la menor posible que se puede llenar exactamente con botellas de 60 cl, 90 cl, 1 litro y 2 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 27

Problema 26:

¿Por cuánto multiplicaremos

ImgMcdMcm_26

para que el producto sea
ImgMcdMcm_26-I

SOLUCIÓN MCD y MCM 26

Problema 25:

¿Por cuánto habrá que multiplicar

ImgMcdMcm_25

para que el producto sea la unidad seguida de seis ceros?

SOLUCIÓN MCD y MCM 25

Problema 24:

Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 108 segundos y otro 120 segundos. Si los dos salen al mismo tiempo de la meta, ¿Cuándo volverán a coincidir en la misma?. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 24

Problema 23:

¿Cuál es el volumen del mayor trozo cúbico que cabe exactamente en dos cajas de 276 y 345 dm3 de capacidad? ¿Cuántas veces cabrá en cada caja?

SOLUCION MCD y MCM 23

Problema 22:

Los libros de una biblioteca no pasan de 10000 y se pueden empaquetar por docenas, de 27 en 27 y de 49 en 49, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 22

Problema 21:

Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 21

Problema 20:

Hallar el máximo común divisor  y mínimo común múltiplo de 6120 y 378

SOLUCIÓN MCD y MCM 20

Problema 19:

El día 5 de marzo, y en un momento dado, se oyen cuatro campanas que tocan a la vez. Sabiendo que éstas tocan cada 6,8,10 y 12 días, respectivamente, ¿cuál será el primer día que vuelvan a tocar al mismo tiempo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 19

Problema 18:

Hallar tres números enteros que, multiplicados respectivamente por 858, 2508 y 4554, den productos  iguales. Se sabe que este producto está comprendido entre 8.000.000 y 10.000.000.

SOLUCIÓN MCD y MCM 18

Problema 17:

Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo en lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar en domingo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 17

Problema 16:

Calcular la capacidad máxima que ha de tener una vasija para que, con ella, se puedan medir exactamente los contenidos  de tres recipientes de 1092, 1386 y 756 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 16

Problema 15:

Hallar el menor número por el cual hay que dividir  108675, para que su cociente  sea un cuadrado perfecto.

SOLUCIÓN MCD y MCM 15

Problema 14:

Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar  4662, para que su producto sea divisible 3234.

SOLUCIÓN MCD y MCM 14

Problema 13:

¿Qué múltiplos de 90 y 120 hay entre 400 y 800?

SOLUCIÓN MCD y MCM 13

Problema 12:

¿Qué múltiplos comunes de 15 y 16 hay entre 300 y 600?

SOLUCIÓN MCD y MCM 12

Problema 11:

Hallar un número comprendido entre 80000 y 100000, que sea divisible por 182 y 2156.

SOLUCIÓN MCD y MCM 11

Problema 10:

Hallar todos los divisores del número 1134000 que sean cubos perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 10

Problema 9:

Hallar el menor múltiplo de 168 y 1116, que sea divisible por 210.

SOLUCIÓN MCD y MCM 9

Problema 8:

Hallar todos los divisores del número 5292 que sean cuadrados perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 8

Problema 7:

Dígase qué números comprendidos entre 75000 y 120000, son divisibles por 28, 72,147 y 539.

SOLUCIÓN MCD y MCM 7

Problema 6:

Hallar  todos los divisores primos no comunes de los números 2660 y 7130.

SOLUCIÓN MCD y MCM 6

Problema 5:

Hallar todos los divisores primos comunes de los números 13299 y 3003.

SOLUCIÓN MCD y MCM 5

Problema 4:

Hallar el mayor divisor común de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.

SOLUCIÓN MCD y MCM 4

Problema 3:

Hallar el máximo común divisor de 13631 y 16167

SOLUCIÓN MCD y MCM 3

Problema 2:

¿Cuál es el menor número entero que, multiplicado por 429975, da un producto cuya raíz cuadrada es exacta?

SOLUCIÓN MCD y MCM 2

Problema 1:

Sabiendo que 435600 tiene raíz cuadrada exacta, hallar el valor de ésta sin recurrir a la regla general para su extracción

SOLUCIÓN MCD y MCM 1

26 pensamientos en “Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

  1. que bonito espacio para compartir informacion y poder autoeducarnos

  2. Determiar el MCD de 2227 y 2125 por el metodo de algoritmo de eclides e indique la suma de residuos contenios

    • Lucero:
      Dividimos: 2227/2125, su cociente es 1; y el resto es 102
      mcd(2227,2125)= mcd(2125,102)
      Dividimos: 2125/102, su cociente es 20; y el resto es 85
      mcd(2125,102)= mcd(102/85)
      Dividimos: 102/85, su cociente es 1; y el resto es 17
      mcd(102,85)= mcd(85,17)
      Dividimos 85/17 su cociente es 5 y el resto es 0
      mcd(85,17)= mcd(17,0)
      Por tanto,
      mcd(2227,2125)= 17

  3. Los estudiantes de primero de Secundaria del Diocesano E I Buen Pastor se han propuesto preparar cajitas cn viveres para donar a los afectados de Chosica, Cada estudiante hizo una donacion lo cual se reunio: 85 latas de filete 124 paquetes de galleta y 320 botellas de agua. cuantas cajitas con la misma cantidad se deben preparar, para cuantas personas habra

    • Yamile:
      Hallamos máximo común divisor de los tres números, para ello los descomponemos en factores primos:
      85= 5×17
      124= 2x2x31
      320: 2x2x2x2x2x2x5
      No existe un máximo común divisor de los tres, por tanto como el menor número de cajas que hay es 85 latas de filete, se podrán preparar un máximo de 85 cajas con los tres elementos; así
      85 cajas conteniendo: 1 caja de filetes, 1 paquete de galletas 1 botella de agua
      Habrá para 85 personas
      Sobrarán
      124-85= 39 paquetes de galletas
      320-85= 235 botellas de agua

  4. dos atletas salen de la linea de partida al mismo tiempo.uno da la vuelta ala pista en 30segundos y el otro,en 420segundos.¿al cabo de cuanto tiempo pasan juntos de nuevo por la meta?¿cuantas vueltas habra dado cada uno?

    • Eslin:
      Es un problema de mínimo común múltiplo, que es lo que vamos a calcular.
      Atleta 1)
      30= 2x3x5
      Atleta 2)
      42= 2x3x7 (entiendo que es un error 420, y que es 42 segundos. En el caso de que fuesen 420 haces la descomposición factorial de 420 y luego calculas el mcm de 420 y 30)
      mínimo común múltiplo de 30 y 42: 2x3x5x7= 210
      Por tanto, vuelven a pasar juntos a los 210 segundos.
      El atleta 1 ha dado: 210/30= 7 vueltas
      El atleta 2 ha dado: 210/42= 5 vueltas

  5. Determinar dos numeros naturales tales que el producto del m.c.m por el m.c.d es 504 y el cociente entre el m.c.m es 14.¿La solución es única?

    • Javier
      Te recomiendo que te hagas un croquis del enunciado para entender mejor el problema:
      A———–x———–B
      Sea A el punto desde el que sale la bicicleta y el coche
      Sea AB la distancia que recorren ambos hasta que el coche alcanza a la en el punto B: x
      Sea vb la velocidad de la bicicleta
      Sea t el tiempo que la bicicleta tarda en llegar a B
      Sea vc la velocidad del coche
      El coche recorre la distancia AB (x) en tres horas menos que la bicicleta, luego el tiempo que emplea será: t-3
      Cálculos para la bicicleta:
      vb=x/t
      25=x/t (ecuación 1)
      Cálculos para el coche:
      vc=x/t-3 (el denominador de la fracción es t-3)
      120=x/t-3 (ecuación 2)
      Despejando x en las ecuaciones 1 y 2 tenemos:
      x= 25t
      x=120(t-3)
      Igualando en x:
      25t=120(t-3)
      25t=120t-360
      25t-120t=-360
      -95t= -360
      t=360/95= 3, 789 horas
      El coche tarda en alcanzar a la bicicleta: t-3= 3,789-3= 0,789 horas= 47´20,4´´

    • Rosa:
      Sea M el mínimo común múltiplo
      Sea D el máximo común divisor
      MxD = 504
      504/M= 14
      M=504/14=36
      Entiendo que en este caso solo hay una solución única que es 14 y 36.
      Sí hay más combinaciones que cumplen el requisito de que MxD = 504 (solo hay que hacer la descomposición en factores de 504= 2x2x2x3x3x7.Así otra posibilidad será 2×252, pero no cumple el requisito de que 504/M=14)

  6. Hola!
    Tres coches salen al mismo tiempo de una población para hacer el servicio de tres líneas distintas. El primero tarda 7 horas en volver al punto de partida y se detiene en este una hora; el segundo tarda 10 horas y se detiene 2; el tercero tarda 10 horas y se detiene 3. ¿cada cuanto tiempo saldrán a la vez los 3 coches de dicha población?
    Gracias, espero me pueda responder

    • Kathya:
      Es un problema de cálculo de mínimo común múltiplo.
      El 1er coche “A” tarda en volver a salir: 7 horas+ 1 hora de parada: 8 horas
      El 2º coche “B” tarda en volver a salir: 10 horas+ 2 horas de parada: 12 horas
      El 3er coche “C” tarda en volver a salir: 10 horas+ 3 horas de parada: 13 horas
      Hacemos la descomposición factorial de 8, 12 y 13:
      8= 2x2x2= 2^3 (dos elevado al cubo)
      12= 2x2x3= 2^2×3 (dos elevado al cuadrado por 3)
      13= 13 (es un número primo y solo tiene como divisores a él mismo y a la unidad)
      Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m)de los tres: (mcm está formado por los factores comunes o no, elevados a la mayor potencia)
      mcm= 2^3x3x13= 8x3x13= 312
      Por tanto,
      volverán a coincidir en la salida al cabo de las 312 horas.
      Como 1 día tiene 24 horas, dividiendo las 312 horas entre 24 horas obtendremos cada cuánto días vuelven a coincidir:
      321/24= 13 días.
      Por tanto,
      volverán a coincidir en la salida al cabo de 13 días.

  7. Muy bueno me encanta he sacado un 40😄😄

  8. Juan está enfermo y debe tomar un medicamento cada 6 horas y otro cada 8 horas. Si empieza hoy a las 6 de la mañana tomando los dos remedios juntos. ¿En q horario deberá tomar nuevamente los dos a la vez?

    • Aldana:
      Se trata de un problema de cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)
      Para ello se hace la descomposición factorial de 6 y 8:
      6= 2×3
      8= 2x2x2
      m.c.m= 2x2x2x3= 24 horas
      Luego, vuelve a tomar los dos medicamentos a la vez a las 24 horas, o sea a las 6 de la mañana

  9. dos ciclistas parten juntos desde la partida en una pista circular. el primero tarda 1 minuto 15 segundos en dar una vuelta, el segundo tarda 1 minuto 5 segundos en cada vuelta. ¿cuantos segundos tardaran en coincidir nuevamente en el punto de partida?

    • Yesenia:
      Es un problema de cálculo del mínimo común múltiplo (mcm).
      Para ello,
      1er ciclista:
      Pasamos el tiempo a segundos: 1´ y 15´´= 60´+15´´´= 75´´
      2º ciclista:
      Pasamos el tiempo a segundos: 1´ y 5´´= 60´+5´´´= 65´´
      Hacemos las descomposición factorial de cada uno de ellos:
      75= 3x5x5
      65= 5×13
      A continuación calculamos el mínimo común múltiplo (mcm):
      mcm(75,65)= 3x5x5x13= 975
      Por tanto, volverán a encontrarse a los 975 ´´

  10. mi profe me dejo de tarea realizar 5 problemas de m.c.m y gracias a esto problemas me saque una buena nota

  11. muchas gracias el proyecto!!!!!

  12. muy bien xq gracia a usteges me saqe un 20!! :)

  13. Muy ilustrativo para estudiantes y profesores

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