Problemas de Matemáticas Resueltos

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Problema 63:

Las dimensiones de una caja son: 1,65 m; 2,1 m y 3 m. Se hacen construir cajas cúbicas las mayores que sea posible, cuyo lado sea un número exacto de cm y con las cuales se pueda llenar completamente la caja. Halla el lado y el número de estas cajas.

solución-mcd-y-mcm-63

Problema 62:

Cierto fenómeno tiene lugar cada 450 segundos, otro cada 250, y un tercero cada 600. Si a las 5 de la tarde han coincidido los tres. ¿a qué hora volverán a coincidir por primera vez y cuántas veces tiene lugar cada uno de ellos entre una y otra coincidencia?

SOLUCIÓN MCD y MCM 62

Problema 61:

El máximo común divisor de dos números es 20 y el mínimo común múltiplo es 1540. Hallar estos números sabiendo que están en la razón de 7/11.

SOLUCIÓN MCD y MCM 61

Problema 60:

Hallar el menor número de 4 cifras que dividido por 8, 9, 10 y 15 dé de resto igual a 5.

SOLUCIÓN MCD y MCM 60

Problema 59:

Encontrar un número comprendido entre 1000 y 2000, sabiendo que es múltiplo de 3 y que,  dividido por 25, 35 y 50, se obtiene en los tres casos 17 de resto.

SOLUCIÓN MCD y MCM 59

Problema 58:

La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de dos, más uno; múltiplo de siete, más seis; y múltiplo de diez menos uno. ¿Qué edad tiene?

SOLUCIÓN MCD y MCM 58

Problema 57:

Un libro tiene entre 400 y 450 páginas. Si las contamos de 2 en 2 no sobra ninguna, si las contamos de 5 en 5 no sobra ninguna y si las contamos de 7 en 7 tampoco sobra ninguna. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

SOLUCIÓN MCD y MCM 57

Problema 56:

La figura tiene 90 cm de perímetro, ADE es un triángulo equilátero, BCF  es un triángulo isósceles (CF=BF) y ABCD es un rectángulo. Calcule el perímetro del rectángulo ABCD, si se sabe que los perímetros del triángulo  isósceles y el triángulo equilátero son 50 y 60 respectivamente.

SOLUCIÓN MCD y MCM 56

Problema 55:

Los alumnos de un colegio de primaria  pueden ser agrupados exactamente en conjuntos de 9, 12  ó 15 alumnos. ¿Cuántos hay en total si se sabe que son más de 178?

SOLUCIÓN MCD y MCM 55

Problema 54:

Hallar la menor cantidad de euros que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13, de tal manera que en cada caso dé resto 4.

SOLUCIÓN MCD y MCM 54

Problema 53:

Una canasta está llena de huevos. Contiene un número exacto de docenas y decenas. ¿Cuántos huevos contiene, sabiendo que el número está comprendido entre 300 y 400?

SOLUCIÓN MCD y MCM 53

Problema 52:

Hallar la menor cantidad de dinero que se necesita para repartir entre 4, 6, 9 y 14 niños, de tal manera que en cada caso el resto sea 3.

SOLUCIÓN MCD y MCM 52

Problema 51:

Las edades de Manuel y la de su hija están comprendidas entre 23 y 49 años y son a la vez divisibles por 8 y 12. ¿Qué edad tiene cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 51

Problema 50:

El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si se cuentan de 3 en 3 sobran 2; de 5 en 5 sobran 4; y de 7 en 7 sobran 6. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

SOLUCIÓN MCD y MCM 50

Problema 49:

Un niño cuenta sus bolitas, la primera por grupos de 3, la 2ª por grupos de 4 y finalmente por grupos de 8, y siempre le quedan sin contar 2. ¿Cuántas bolitas tiene, sabiendo que no llegan a 100, pero pasan de 90?

SOLUCIÓN MCD y MCM 49

Problema 48:

Hallar el menor número que al ser dividido por 3 dé como resto 1, por 5 dé 3, por 9 dé 7 y por 12 dé 10.

SOLUCIÓN MCD y MCM 48

Problema 47:

Hallar el menor número que al ser dividido por 3, 5, 9 y 12 siempre da resto 1

SOLUCIÓN MCD y MCM 47

Problema 46:

Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda11 y el tercero tarda12 segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 46

Problema 45:

Hallar dos números cuyo producto sea 7007 y su m.c.d 7.

SOLUCIÓN MCD y MCM 45

Problema 44:

Hallar dos números tales que su m.c.d. sea 36 y su m.c.m 5148

SOLUCIÓN MCD y MCM 44

Problema 43:

¿Qué cifras deben sustituirse por los asteriscos del número 3*33*5, para que el número resultante sea divisible por 1125?

SOLUCIÓN MCD y MCM 43

Problema 42:

¿Cuál es el menor número no divisible por 4,6,9,11 y12 que al dividirlo por éstos, se obtienen restos iguales?

SOLUCIÓN MCD y MCM 42

Problema 41:

Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron, respectivamente, 8, 10 y 12 segundos. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 41

Problema 40:

Seis campana tocan a intervalos de 3, 5, 7, 8, 9, 19 segundos, respectivamente. ¿Qué tiempo pasará entre dos toques simultáneos de todas las campanas?

SOLUCIÓN MCD y MCM 40

Problema 39:

En un escollo hay 3 faros: uno gira en 2 minutos 12 segundos; otro en 3 minutos 7 segundos; el tercero, en 3 minutos 24 segundos. Lucen juntos  a las 12 de la noche. ¿Cuándo volverán a lucir juntos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 39

Problema 38:

Cuatro hombres pueden caminar 105, 112, 126 y 168 km, respectivamente, por semana. ¿Cuál es la menor distancia que todos ellos pueden caminar en un número exacto de semanas?

SOLUCION MCD y MCM 38

Problema 37:

Se tienen dos aljibes con 216 litros y 360 litros de vino, respectivamente. Se quiere trasvasar dicho vino a pequeños recipientes iguales, de forma que el número de ellos sea el menor posible y que contengan el vino, sin mezclar el de los aljibes. ¿Qué cantidad tendrá cada recipiente? ¿Cuántos se emplearán para cada aljibe?

SOLUCIÓN MCD y MCM 37

Problema 36:

¿Se pueden disponer en rectángulo 97 objetos?, ¿ y 415 objetos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 36

Problema 35:

¿De cuántas maneras se pueden colocar en rectángulo de varias filas 24 árboles?, ¿y 30 árboles?, ¿y 42 árboles?

SOLUCIÓN MCD y MCM 35

Problema 34:

Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos días, el segundo cada seis días y el tercero cada ocho días. Si salieron juntos el 1 de mayo, ¿qué día volverá a salir juntos por primera vez?

SOLUCIÓN MCD y MCM 34

Problema 33:

Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. ¿Cuál es esta dimensión y cuántas baldosas se emplearon?

solución-mcd-y-mcm-33

Problema 32:

En una carretera hay mojones que señalan los hectómetros y postes de red eléctrica cada 36 metros. Si en un punto coinciden ambos, ¿a qué distancia coinciden de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 32

Problema 31:

Juan va a visitar a su abuela cada cinco días, y su primo Enrique  cada siete días. ¿Cada cuántos días coinciden allí?

SOLUCIÓN MCD y MCM 31

Problema 30:

Una campana tañe cada 12 minutos y otra cada 15 minutos. Habiendo sonado juntas a las 12, ¿a qué hora sonarán de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 30

Problema 29:

Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años. Habiéndose aproximado juntos al Sol en 1950, di la fecha más cercana en que volverán a hacerlo juntos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 29

Problema 28:

Dos cañones disparan cada 3 minutos uno y cada 5 minutos otro. Comienzan los dos al mismo tiempo. ¿Al cabo de cuánto tiempo dispararán juntos y cuántos cañonazos habrán disparado para entonces cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 28

Problema 27:

Halla la cabida de un tonel sabiendo que es la menor posible que se puede llenar exactamente con botellas de 60 cl, 90 cl, 1 litro y 2 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 27

Problema 26:

¿Por cuánto multiplicaremos

ImgMcdMcm_26

para que el producto sea
ImgMcdMcm_26-I

SOLUCIÓN MCD y MCM 26

Problema 25:

¿Por cuánto habrá que multiplicar

ImgMcdMcm_25

para que el producto sea la unidad seguida de seis ceros?

SOLUCIÓN MCD y MCM 25

Problema 24:

Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 108 segundos y otro 120 segundos. Si los dos salen al mismo tiempo de la meta, ¿Cuándo volverán a coincidir en la misma?. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 24

Problema 23:

¿Cuál es el volumen del mayor trozo cúbico que cabe exactamente en dos cajas de 276 y 345 dm3 de capacidad? ¿Cuántas veces cabrá en cada caja?

SOLUCION MCD y MCM 23

Problema 22:

Los libros de una biblioteca no pasan de 10000 y se pueden empaquetar por docenas, de 27 en 27 y de 49 en 49, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 22

Problema 21:

Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 21

Problema 20:

Hallar el máximo común divisor  y mínimo común múltiplo de 6120 y 378

SOLUCIÓN MCD y MCM 20

Problema 19:

El día 5 de marzo, y en un momento dado, se oyen cuatro campanas que tocan a la vez. Sabiendo que éstas tocan cada 6,8,10 y 12 días, respectivamente, ¿cuál será el primer día que vuelvan a tocar al mismo tiempo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 19

Problema 18:

Hallar tres números enteros que, multiplicados respectivamente por 858, 2508 y 4554, den productos  iguales. Se sabe que este producto está comprendido entre 8.000.000 y 10.000.000.

SOLUCIÓN MCD y MCM 18

Problema 17:

Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo en lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar en domingo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 17

Problema 16:

Calcular la capacidad máxima que ha de tener una vasija para que, con ella, se puedan medir exactamente los contenidos  de tres recipientes de 1092, 1386 y 756 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 16

Problema 15:

Hallar el menor número por el cual hay que dividir  108675, para que su cociente  sea un cuadrado perfecto.

SOLUCIÓN MCD y MCM 15

Problema 14:

Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar  4662, para que su producto sea divisible 3234.

SOLUCIÓN MCD y MCM 14

Problema 13:

¿Qué múltiplos de 90 y 120 hay entre 400 y 800?

SOLUCIÓN MCD y MCM 13

Problema 12:

¿Qué múltiplos comunes de 15 y 16 hay entre 300 y 600?

SOLUCIÓN MCD y MCM 12

Problema 11:

Hallar un número comprendido entre 80000 y 100000, que sea divisible por 182 y 2156.

SOLUCIÓN MCD y MCM 11

Problema 10:

Hallar todos los divisores del número 1134000 que sean cubos perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 10

Problema 9:

Hallar el menor múltiplo de 168 y 1116, que sea divisible por 210.

SOLUCIÓN MCD y MCM 9

Problema 8:

Hallar todos los divisores del número 5292 que sean cuadrados perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 8

Problema 7:

Dígase qué números comprendidos entre 75000 y 120000, son divisibles por 28, 72,147 y 539.

SOLUCIÓN MCD y MCM 7

Problema 6:

Hallar  todos los divisores primos no comunes de los números 2660 y 7130.

SOLUCIÓN MCD y MCM 6

Problema 5:

Hallar todos los divisores primos comunes de los números 13299 y 3003.

SOLUCIÓN MCD y MCM 5

Problema 4:

Hallar el mayor divisor común de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.

SOLUCIÓN MCD y MCM 4

Problema 3:

Hallar el máximo común divisor de 13631 y 16167

SOLUCIÓN MCD y MCM 3

Problema 2:

¿Cuál es el menor número entero que, multiplicado por 429975, da un producto cuya raíz cuadrada es exacta?

SOLUCIÓN MCD y MCM 2

Problema 1:

Sabiendo que 435600 tiene raíz cuadrada exacta, hallar el valor de ésta sin recurrir a la regla general para su extracción

SOLUCIÓN MCD y MCM 1

229 pensamientos en “MÁXIMO COMÚN DIVISOR y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

  1. Me podrían ayudar con este problema urgente:
    Calcula la capacidad máxima que ha de tener una vasija para que, con ella, se puedan medir exactamente los contenidos de tres recipientes de 1092,1386, 756 litros

    • Álex:
      Se halla el máximo común divisor (mcd).
      Hacemos la descomposición en factores primos:
      1092= 2^2x3x91x1
      1386= 2×3^2x7x11x1
      756: 2^2×3^3x7x1
      mcd(1092,1386,756)=2×3= 6 es la capacidad máxima de la vasija

  2. Una consulta, a mi hija le dejaron este problema, espero nos pueden ayudar:

    El producto de 2 números es 600 y su MCD es 10. Calcula el.MCM de dichos números.

    A.- 90 B.- 120 C.- 60 D.- 54

  3. Alguien puede resolverlo sin algebra y solo aritmética: “hallar el menor natural x tal que 5 es divisor de x+7 y siete es divisor de x+5”

    • Pablo:
      El número tiene que ser múltiplo de 35 ya que el máximo común denominador es 5×7= 35
      Por tanto:
      x+7/5+x+5/7= 35.n
      7(x+7)+5(x+5)= 35.n
      7x+49+5x+25= 35n
      12x= 35n-74
      x=35n-74/12
      Dando valores a n; tenemos que:
      para n= 10:
      x= 35.10-74/12= 350-74/12= 276/12=23
      Por tanto:
      x+7/= 23+7/5= 30/5=6
      x+5/7= 23+5/7= 28/4= 4

  4. Necesito el mínimo común divisor de 300 y 200; también de 10 y 20; también de 240 y 240; también de 40 y 30; también 550 y 450
    Gracias

    • Rodrigo:
      Para hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m):
      1º hacemos la descomposición factorial de factores primos (dividimos sucesivamente por 2; 3; 5… según los criterios de divisibilidad), empezando por el más pequeño:
      300= (2^2).(3).(5^2).1
      200= (2^3).(5^2).1
      2º a continuación aplicamos la definición de m.c.m: es el producto de los factores comunes o no afectados con el mayor exponente
      m.c.m(300,200)= (2^3).(3).(5^2)= 8.3.25= 600
      Para el resto de ejemplos se opera de la misma forma

  5. Ayúdenme:
    Calcular el menor número tal que al dividirlo entre: 2, 3, 4, 5, y 6 siempre sobre 1, y que además sea múltiplo de 7

    • Sthefany:
      Tiene que cumplir las dos condiciones: que el resto sea siempre 1, y que sea múltiplo de 7
      Para que el resto sea siempre 1:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 2, 3, 4, 5 y 6.
      m.c.m(2,3,4,5,6)= 3x4x5= 60
      Como siempre debe sobrar uno, el número será: 60+1= 61
      Para que sea múltiplo de 7 hay que multiplicar 61xnx7, de esta manera cumplirá las dos condiciones (n es un número natural)
      Por tanteo, se obtiene que: 61x43x7= 18361 es el menor número que cumple las dos condiciones

  6. La suma de los cuadrados de 2 números es 676 y uno de ellos 12 veces su MCD. Hallar la diferencia de los números

    • Sthefany:
      676=26^2
      Por tanto, los dos números estarán comprendidos entre el 1 y el 26, así:
      1×1———————11×11————-21×21
      2×2———————12×12————-22×22
      3×3———————13×13————-23×23
      4×4———————14×14————-24×24
      5×5———————15×15————-25×25
      6×6———————16×16————-26×26
      7×7———————17×17
      8×8———————18×18
      9×9———————19×19
      10×10——————-20×20
      Una vez hecha la tabla y por tanteo se concluye que:
      10×10= 100
      24×24= 576
      100+576= 676
      10=2×5
      24= 2^3×3
      mcd(10,24)= 2
      12 veces su MCD: 2×12= 24

  7. Alguien que pueda ayudar con este ejercicio?

    En una planta de Bebidas, se realiza un cierto producto, para ello existen tres máquinas. La primera tarda 54 segundos en realizar el producto, la segunda máquina tarda 72 segundos y la tercera 1 minuto y medio. Siempre las tres máquinas comienzan a trabajar al mismo instante:Esta empresa tiene 3 plantas, una en Santiago, Temuco y Concepción el encargado de recursos humanos planifica una capacitación para todos sus trabajadores. En la planta de Santiago trabajan 120 personas, en Temuco 45 personas y Concepción 50 personas. Se separan los trabajadores en grupos de igual cantidad de personas para las 3 plantas, considerando que cada grupo tenga la mayor cantidad de participantes posibles y, además, teniendo en cuenta que por lejanía los trabajadores de la empresa no se pueden mezclar.

    ¿Cuánto tiempo tardarán en volver a empezar a funcionar las máquinas juntas?

  8. Un terreno de forma rectangular de 952 m de largo y 544 m de ancho, se desea cercar con alambre sujeto a postes equidistantes 30 a 40 m. Debe corresponder un poste a cada vértice y otro a cada punto medio de los lados del rectángulo. Determinar el número de postes.

  9. Gracias por la Ayuda.Mañana tengo examen y esto me ayudo a repasar.

  10. Hola agradezco tu colaboración: Halla dos números sabiendo que su máximo común divisor es 120 y la diferencia de sus cuadrados es 345600.

    • Liliana:
      Sean x e y los dos números pedidos
      Sabemos que:
      x^2-y^2= 345600
      Como su mcd es 120, significa que:
      x= mcd.c1 (siendo mcd el divisor es su definición y c1 el cociente)
      y= mcd.c2 (siendo mcd el divisor es su definición y c2 el cociente)
      Por tanto:
      x= 120.c1
      y= 120.c2
      c1 y c2 son primos entre sí
      Sabemos que:
      x^2-y^2= 345600, luego:
      345600= (120c1)^2-(120c2)^2
      345600= 120^2.c1^2-120^2-c2^2
      345600= 120^2(c1^2-c2^2)
      c1^2-c2^2= 345600/14400
      c1^2-C2^2= 24
      c1^2= 24+c2^2
      para c2= 1:; c1= 5
      Luego los números pedidos son:
      x= 120.c1= 120.5= 600
      y= 120.c2= 120.1= 120

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