Problemas de Matemáticas Resueltos

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Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Problema 46:

Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda11 y el tercero tarda12 segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 46

Problema 45:

Hallar dos números cuyo producto sea 7007 y su m.c.d 7.

SOLUCIÓN MCD y MCM 45

Problema 44:

Hallar dos números tales que su m.c.d. sea 36 y su m.c.m 5148

SOLUCIÓN MCD y MCM 44

Problema 43:

¿Qué cifras deben sustituirse por los asteriscos del número 3*33*5, para que el número resultante sea divisible por 1125?

SOLUCIÓN MCD y MCM 43

Problema 42:

¿Cuál es el menor número no divisible por 4,6,9,11 y12 que al dividirlo por éstos, se obtienen restos iguales?

SOLUCIÓN MCD y MCM 42

Problema 41:

Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron, respectivamente, 8, 10 y 12 segundos. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 41

Problema 40:

Seis campana tocan a intervalos de 3, 5, 7, 8, 9, 19 segundos, respectivamente. ¿Qué tiempo pasará entre dos toques simultáneos de todas las campanas?

SOLUCIÓN MCD y MCM 40

Problema 39:

En un escollo hay 3 faros: uno gira en 2 minutos 12 segundos; otro en 3 minutos 7 segundos; el tercero, en 3 minutos 24 segundos. Lucen juntos  a las 12 de la noche. ¿Cuándo volverán a lucir juntos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 39

Problema 38:

Cuatro hombres pueden caminar 105, 112, 126 y 168 km, respectivamente, por semana. ¿Cuál es la menor distancia que todos ellos pueden caminar en un número exacto de semanas?

SOLUCION MCD y MCM 38

Problema 37:

Se tienen dos aljibes con 216 litros y 360 litros de vino, respectivamente. Se quiere trasvasar dicho vino a pequeños recipientes iguales, de forma que el número de ellos sea el menor posible y que contengan el vino, sin mezclar el de los aljibes. ¿Qué cantidad tendrá cada recipiente? ¿Cuántos se emplearán para cada aljibe?

SOLUCIÓN MCD y MCM 37

Problema 36:

¿Se pueden disponer en rectángulo 97 objetos?, ¿ y 415 objetos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 36

Problema 35:

¿De cuántas maneras se pueden colocar en rectángulo de varias filas 24 árboles?, ¿y 30 árboles?, ¿y 42 árboles?

SOLUCIÓN MCD y MCM 35

Problema 34:

Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos días, el segundo cada seis días y el tercero cada ocho días. Si salieron juntos el 1 de mayo, ¿qué día volverá a salir juntos por primera vez?

SOLUCIÓN MCD y MCM 34

Problema 33:

Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. ¿Cuál es esta dimensión y cuántas baldosas se emplearon?

SOLUCIÓN MCD y MCM 33

Problema 32:

En una carretera hay mojones que señalan los hectómetros y postes de red eléctrica cada 36 metros. Si en un punto coinciden ambos, ¿a qué distancia coinciden de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 32

Problema 31:

Juan va a visitar a su abuela cada cinco días, y su primo Enrique  cada siete días. ¿Cada cuántos días coinciden allí?

SOLUCIÓN MCD y MCM 31

Problema 30:

Una campana tañe cada 12 minutos y otra cada 15 minutos. Habiendo sonado juntas a las 12, ¿a qué hora sonarán de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 30

Problema 29:

Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años. Habiéndose aproximado juntos al Sol en 1950, di la fecha más cercana en que volverán a hacerlo juntos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 29

Problema 28:

Dos cañones disparan cada 3 minutos uno y cada 5 minutos otro. Comienzan los dos al mismo tiempo. ¿Al cabo de cuánto tiempo dispararán juntos y cuántos cañonazos habrán disparado para entonces cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 28

Problema 27:

Halla la cabida de un tonel sabiendo que es la menor posible que se puede llenar exactamente con botellas de 60 cl, 90 cl, 1 litro y 2 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 27

Problema 26:

¿Por cuánto multiplicaremos

ImgMcdMcm_26

para que el producto sea
ImgMcdMcm_26-I

SOLUCIÓN MCD y MCM 26

Problema 25:

¿Por cuánto habrá que multiplicar

ImgMcdMcm_25

para que el producto sea la unidad seguida de seis ceros?

SOLUCIÓN MCD y MCM 25

Problema 24:

Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 108 segundos y otro 120 segundos. Si los dos salen al mismo tiempo de la meta, ¿Cuándo volverán a coincidir en la misma?. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 24

Problema 23:

¿Cuál es el volumen del mayor trozo cúbico que cabe exactamente en dos cajas de 276 y 345 dm3 de capacidad? ¿Cuántas veces cabrá en cada caja?

SOLUCION MCD y MCM 23

Problema 22:

Los libros de una biblioteca no pasan de 10000 y se pueden empaquetar por docenas, de 27 en 27 y de 49 en 49, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 22

Problema 21:

Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 21

Problema 20:

Hallar el máximo común divisor  y mínimo común múltiplo de 6120 y 378

SOLUCIÓN MCD y MCM 20

Problema 19:

El día 5 de marzo, y en un momento dado, se oyen cuatro campanas que tocan a la vez. Sabiendo que éstas tocan cada 6,8,10 y 12 días, respectivamente, ¿cuál será el primer día que vuelvan a tocar al mismo tiempo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 19

Problema 18:

Hallar tres números enteros que, multiplicados respectivamente por 858, 2508 y 4554, den productos  iguales. Se sabe que este producto está comprendido entre 8.000.000 y 10.000.000.

SOLUCIÓN MCD y MCM 18

Problema 17:

Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo en lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar en domingo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 17

Problema 16:

Calcular la capacidad máxima que ha de tener una vasija para que, con ella, se puedan medir exactamente los contenidos  de tres recipientes de 1092, 1386 y 756 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 16

Problema 15:

Hallar el menor número por el cual hay que dividir  108675, para que su cociente  sea un cuadrado perfecto.

SOLUCIÓN MCD y MCM 15

Problema 14:

Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar  4662, para que su producto sea divisible 3234.

SOLUCIÓN MCD y MCM 14

Problema 13:

¿Qué múltiplos de 90 y 120 hay entre 400 y 800?

SOLUCIÓN MCD y MCM 13

Problema 12:

¿Qué múltiplos comunes de 15 y 16 hay entre 300 y 600?

SOLUCIÓN MCD y MCM 12

Problema 11:

Hallar un número comprendido entre 80000 y 100000, que sea divisible por 182 y 2156.

SOLUCIÓN MCD y MCM 11

Problema 10:

Hallar todos los divisores del número 1134000 que sean cubos perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 10

Problema 9:

Hallar el menor múltiplo de 168 y 1116, que sea divisible por 210.

SOLUCIÓN MCD y MCM 9

Problema 8:

Hallar todos los divisores del número 5292 que sean cuadrados perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 8

Problema 7:

Dígase qué números comprendidos entre 75000 y 120000, son divisibles por 28, 72,147 y 539.

SOLUCIÓN MCD y MCM 7

Problema 6:

Hallar  todos los divisores primos no comunes de los números 2660 y 7130.

SOLUCIÓN MCD y MCM 6

Problema 5:

Hallar todos los divisores primos comunes de los números 13299 y 3003.

SOLUCIÓN MCD y MCM 5

Problema 4:

Hallar el mayor divisor común de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.

SOLUCIÓN MCD y MCM 4

Problema 3:

Hallar el máximo común divisor de 13631 y 16167

SOLUCIÓN MCD y MCM 3

Problema 2:

¿Cuál es el menor número entero que, multiplicado por 429975, da un producto cuya raíz cuadrada es exacta?

SOLUCIÓN MCD y MCM 2

Problema 1:

Sabiendo que 435600 tiene raíz cuadrada exacta, hallar el valor de ésta sin recurrir a la regla general para su extracción

SOLUCIÓN MCD y MCM 1

115 pensamientos en “Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

  1. Hola, quiero que me ayude con este problema: Ana ordena su colección de CD. Si los agrupa de a 6. de a 5 o de a 8 siempre sobra 1. a) ¿Cual es la menor cantidad de CD que puede tener?…b) ¿Cuántos CD puede tener si se sabe que son menos de 400? Desde ya muchas gracias!!

    • Óscar:
      Hallamos el mínimo común múltiplo de 6,5 y 8; para ello hacemos la descomposición en factores:
      5= 5×1
      6= 2x3x1
      8= (2^3)x1
      mcm (5,6,8)= (2^3)x3x5= 8x3x5= 120
      a) ¿Cual es la menor cantidad de CD que puede tener?:
      120+1= 121
      ¿Cuántos CD puede tener si se sabe que son menos de 400?
      121 ó 241 (121+120) ó 361 (241+120)

  2. Hola!
    Tengo problemas para resolver esto:
    En una bolsa hay cierta cantidad de bombones. Si los contamos en 2 sobra 1, si los contamos en 3 sobra 2 y si los contamos en 5 no sobra ninguno. ¿Cuántos bombones hay en la bolsa si se sabe que hay menos de 120?
    Gracias!

    • Natalia:
      Como hay menos de 120, la cantidad estará comprendida entre 5 y 119.
      No puede ser:
      múltiplo de 2 ni acabar en 0, ya que sería divisible por dos dando de resto cero
      múltiplo de tres, ya que sería divisible por 3 dando de resto cero
      Sí debe acabar en 5, para que sea múltiplo de 5 y el resto sea 0.
      La 1ª cantidad que cumple ese requisito es 5
      Por otra parte, sabemos que el mcm (2,3,5)= 30
      Luego en la bolsa puede haber:
      5, 35 (5+30), 65 (35+30) ó 95 (65+30) bombones

    • Una cantidad si la divides en 2 sobra uno, en 3 sobra 2, y en 5 no sobra. Entonces la cantidad de bombones termina en 0 o en 5 y es menor de 120. Te lo dejo así para que razones

      • María Belén:
        No puede acabar en cero, ya que los números que acaban en cero son múltiplos de dos.
        Sea halla el mínimo común múltiplo de (2,3,5)= 30
        El primer número es 30+5= 35
        El siguiente: 35+30= 65
        El último: 65+30= 95
        Porque 30+95= 125>120

  3. Por favor, podrían ayudarme con este problema: la frecuencia de salida de los siguientes micros rosario cada 4 horas; Mar del Plata cada 6 horas; Bariloche cada 9 horas. Si acaban de partir los tres juntos, ¿cada cuántas horas volverán a salir micros hacia los tres destinos a la vez?

    • Mercedes:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de la frecuencia de salida de los tres micros, para ello hacemos la descomposición factorial de:
      4= 2^2
      6= 2×3
      9= 3^2
      mcm es el producto de factores comunes o no con el mayor exponente:
      mcm (4,6,9)= (2^2)x(3^2)= 4×9= 36 horas
      Por tanto volverán a coincidir a las 36 horas de haber salido

  4. Por favor me puedes ayudarme con este ejercicio:
    Tres reglas de 200 mm de longitud cada una , están uniformemente graduadas , la primera cada 2 milímetros , la segunda cada 17/25 mm y la tercera cada 8/29 mm. Si se les hace coincidir en toda su extensión , ¿a qué distancia del origen coincidirán tres trazos de reglas ?

    • Karina:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de las tres fracciones.
      Las fracciones son:
      2= 2/1
      17/25
      8/29
      mcm(2/1;17/25;8/29) = mcm(numeradores)/mcd(denominadores). (mcd= máximo común divisor)
      Para calcular el mcm de los numeradores, hacemos la descomposición factorial de ellos:
      2= 2×1
      17= 17×1
      8= (2^3)x1
      mcm es el producto de los factores comunes o no con el mayor exponente
      mcm(2,17,8)= (2^3)x17= 8×17= 136
      mcd denominadores hacemos la descomposición factorial de ellos:
      1= 1
      25= (5^2)x1
      29=29×1
      mcd es el producto de los factores comunes con el menor exponente:
      mcd(1,25,29)=1
      Luego,
      mcm(2/1;17/25;8/29) = mcm(numeradores)/mcd(denominadores)
      mcm(2/1;17/25;8/29) = 136/1= 136
      Coincidirán a los 136 mm respecto del origen

  5. ¿CUÁL ES EL MENOR NÚMERO ENTERO QUE DIVIDIDO ENTRE 4;6;9 Y 15 DEJA COMO RESTOS:2;4;7 Y 13 RESPECTIVAMENTE? ayuda con esto

    • Frank:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm)de 4,6,9 y 15.
      Para ello hacemos la descomposición factorial de éstos:
      4= 2^2
      6= 2×3
      9= 3^2
      15= 3×5
      Aplicando la definición de mcm: los factores comunes o no con el mayor exponente:
      mcm(4,6,9,15)= (2^2)x(3^2)x5= 180
      Ahora por tanteo comprobamos que de 180 a 189 y no cumple el requisito
      Pero 180-2= 178, sí cumple el requisito de los restos
      Así, 178 es el menor número entero que dividido por 4,6,9 y 15 da por restos 2,4,7 y 13

  6. Puedes ayudarme con este por favor:
    En un almacén quieren comprar el mismo número de bolsas grandes y de bolsas pequeñas. Las bolsas pequeñas las venden en paquetes de 35 unidades y las grandes las venden en paquetes de 25.
    A. ¿CUÁL ES EL MENOR NUMERO DE BOLSAS GRANDES Y DE BOLSAS PEQUEÑAS QUE SE PUEDE COMPRAR?
    B. ¿CÁNTOS PAQUETES DE BOLSAS GRANDES SE DEBEN COMPRAR?
    C. ¿CUÁNTOS PAQUETES DE BOLSAS PEQUEÑAS?

    • Catalina:
      Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 35 y 25, para ello hacemos la descomposición factorial de ambos números.
      35= 5x7x1
      25= 5^2×1
      mcm es el formado por los factores comunes o no con el mayor exponente
      mcm (35,25)= 5^2×7= 175
      Número de paquetes de bolsas grandes que se pueden comprar:
      175/35= 5 paquetes
      Número de paquetes de bolsas pequeñas que se pueden comprar:
      175/25= 7 paquetes
      Para calcular el número de bolsas a comprar, hallamos el máximo común divisor (mcd) de 35 y 25, para ello tomamos la descomposición en factores anterior:
      mcd es el formado por los factores comunes con menor exponente
      mcd (35,25)= 5
      Luego el menor número de bolsas que se pueden comprar:
      pequeñas: 5×35= 175
      grandes: 5×25= 125

  7. Gracias por los ejercicios, muy interesante la página. Por favor puedes ayudarme en éste:
    Una institución benéfica tiene tres lotes: lote A con 160m2, lote B con 320 m2 y lote C con 400m2. Desea cederlos a un grupo de damnificados de manera que les toque 10 lotes de la misma extensión: ¿Cuál es la mayor extensión que puede tener cada lote? ¿A cuántos damnificados podrá entregarles?

    • Zindia:
      Así entiendo el problema:
      Hallamos el máximo común divisor (mcd) de 160, 320 y 400 mediante su descomposición factorial:
      160= 2^5.5
      320=2^6.5
      400= 2^4.5`2
      mcd(160,320,400)= 2^4.5= 80
      Luego de cada lote formarán parte:
      160/80= 2
      320/80= 4
      400/80= 5
      La mayor extensión que puede tener cada lote es la suma de:
      160+320+400= 880 m^2
      Nº de damnificados: 2

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