Problemas de Matemáticas Resueltos

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Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Problema 46:

Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda11 y el tercero tarda12 segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 46

Problema 45:

Hallar dos números cuyo producto sea 7007 y su m.c.d 7.

SOLUCIÓN MCD y MCM 45

Problema 44:

Hallar dos números tales que su m.c.d. sea 36 y su m.c.m 5148

SOLUCIÓN MCD y MCM 44

Problema 43:

¿Qué cifras deben sustituirse por los asteriscos del número 3*33*5, para que el número resultante sea divisible por 1125?

SOLUCIÓN MCD y MCM 43

Problema 42:

¿Cuál es el menor número no divisible por 4,6,9,11 y12 que al dividirlo por éstos, se obtienen restos iguales?

SOLUCIÓN MCD y MCM 42

Problema 41:

Tres ciclistas partieron al mismo tiempo y de la misma línea de una pista circular. En cada vuelta tardaron, respectivamente, 8, 10 y 12 segundos. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno de los ciclistas cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por la línea de partida?

SOLUCIÓN MCD y MCM 41

Problema 40:

Seis campana tocan a intervalos de 3, 5, 7, 8, 9, 19 segundos, respectivamente. ¿Qué tiempo pasará entre dos toques simultáneos de todas las campanas?

SOLUCIÓN MCD y MCM 40

Problema 39:

En un escollo hay 3 faros: uno gira en 2 minutos 12 segundos; otro en 3 minutos 7 segundos; el tercero, en 3 minutos 24 segundos. Lucen juntos  a las 12 de la noche. ¿Cuándo volverán a lucir juntos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 39

Problema 38:

Cuatro hombres pueden caminar 105, 112, 126 y 168 km, respectivamente, por semana. ¿Cuál es la menor distancia que todos ellos pueden caminar en un número exacto de semanas?

SOLUCION MCD y MCM 38

Problema 37:

Se tienen dos aljibes con 216 litros y 360 litros de vino, respectivamente. Se quiere trasvasar dicho vino a pequeños recipientes iguales, de forma que el número de ellos sea el menor posible y que contengan el vino, sin mezclar el de los aljibes. ¿Qué cantidad tendrá cada recipiente? ¿Cuántos se emplearán para cada aljibe?

SOLUCIÓN MCD y MCM 37

Problema 36:

¿Se pueden disponer en rectángulo 97 objetos?, ¿ y 415 objetos?

SOLUCIÓN MCD y MCM 36

Problema 35:

¿De cuántas maneras se pueden colocar en rectángulo de varias filas 24 árboles?, ¿y 30 árboles?, ¿y 42 árboles?

SOLUCIÓN MCD y MCM 35

Problema 34:

Tres barcos salen de un puerto: el primero cada dos días, el segundo cada seis días y el tercero cada ocho días. Si salieron juntos el 1 de mayo, ¿qué día volverá a salir juntos por primera vez?

SOLUCIÓN MCD y MCM 34

Problema 33:

Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. ¿Cuál es esta dimensión y cuántas baldosas se emplearon?

SOLUCIÓN MCD y MCM 33

Problema 32:

En una carretera hay mojones que señalan los hectómetros y postes de red eléctrica cada 36 metros. Si en un punto coinciden ambos, ¿a qué distancia coinciden de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 32

Problema 31:

Juan va a visitar a su abuela cada cinco días, y su primo Enrique  cada siete días. ¿Cada cuántos días coinciden allí?

SOLUCIÓN MCD y MCM 31

Problema 30:

Una campana tañe cada 12 minutos y otra cada 15 minutos. Habiendo sonado juntas a las 12, ¿a qué hora sonarán de nuevo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 30

Problema 29:

Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años. Habiéndose aproximado juntos al Sol en 1950, di la fecha más cercana en que volverán a hacerlo juntos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 29

Problema 28:

Dos cañones disparan cada 3 minutos uno y cada 5 minutos otro. Comienzan los dos al mismo tiempo. ¿Al cabo de cuánto tiempo dispararán juntos y cuántos cañonazos habrán disparado para entonces cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 28

Problema 27:

Halla la cabida de un tonel sabiendo que es la menor posible que se puede llenar exactamente con botellas de 60 cl, 90 cl, 1 litro y 2 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 27

Problema 26:

¿Por cuánto multiplicaremos

ImgMcdMcm_26

para que el producto sea
ImgMcdMcm_26-I

SOLUCIÓN MCD y MCM 26

Problema 25:

¿Por cuánto habrá que multiplicar

ImgMcdMcm_25

para que el producto sea la unidad seguida de seis ceros?

SOLUCIÓN MCD y MCM 25

Problema 24:

Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 108 segundos y otro 120 segundos. Si los dos salen al mismo tiempo de la meta, ¿Cuándo volverán a coincidir en la misma?. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?

SOLUCIÓN MCD y MCM 24

Problema 23:

¿Cuál es el volumen del mayor trozo cúbico que cabe exactamente en dos cajas de 276 y 345 dm3 de capacidad? ¿Cuántas veces cabrá en cada caja?

SOLUCION MCD y MCM 23

Problema 22:

Los libros de una biblioteca no pasan de 10000 y se pueden empaquetar por docenas, de 27 en 27 y de 49 en 49, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 22

Problema 21:

Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?

SOLUCIÓN MCD y MCM 21

Problema 20:

Hallar el máximo común divisor  y mínimo común múltiplo de 6120 y 378

SOLUCIÓN MCD y MCM 20

Problema 19:

El día 5 de marzo, y en un momento dado, se oyen cuatro campanas que tocan a la vez. Sabiendo que éstas tocan cada 6,8,10 y 12 días, respectivamente, ¿cuál será el primer día que vuelvan a tocar al mismo tiempo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 19

Problema 18:

Hallar tres números enteros que, multiplicados respectivamente por 858, 2508 y 4554, den productos  iguales. Se sabe que este producto está comprendido entre 8.000.000 y 10.000.000.

SOLUCIÓN MCD y MCM 18

Problema 17:

Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto. Empieza su trabajo en lunes. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que le toque descansar en domingo?

SOLUCIÓN MCD y MCM 17

Problema 16:

Calcular la capacidad máxima que ha de tener una vasija para que, con ella, se puedan medir exactamente los contenidos  de tres recipientes de 1092, 1386 y 756 litros.

SOLUCIÓN MCD y MCM 16

Problema 15:

Hallar el menor número por el cual hay que dividir  108675, para que su cociente  sea un cuadrado perfecto.

SOLUCIÓN MCD y MCM 15

Problema 14:

Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar  4662, para que su producto sea divisible 3234.

SOLUCIÓN MCD y MCM 14

Problema 13:

¿Qué múltiplos de 90 y 120 hay entre 400 y 800?

SOLUCIÓN MCD y MCM 13

Problema 12:

¿Qué múltiplos comunes de 15 y 16 hay entre 300 y 600?

SOLUCIÓN MCD y MCM 12

Problema 11:

Hallar un número comprendido entre 80000 y 100000, que sea divisible por 182 y 2156.

SOLUCIÓN MCD y MCM 11

Problema 10:

Hallar todos los divisores del número 1134000 que sean cubos perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 10

Problema 9:

Hallar el menor múltiplo de 168 y 1116, que sea divisible por 210.

SOLUCIÓN MCD y MCM 9

Problema 8:

Hallar todos los divisores del número 5292 que sean cuadrados perfectos.

SOLUCIÓN MCD y MCM 8

Problema 7:

Dígase qué números comprendidos entre 75000 y 120000, son divisibles por 28, 72,147 y 539.

SOLUCIÓN MCD y MCM 7

Problema 6:

Hallar  todos los divisores primos no comunes de los números 2660 y 7130.

SOLUCIÓN MCD y MCM 6

Problema 5:

Hallar todos los divisores primos comunes de los números 13299 y 3003.

SOLUCIÓN MCD y MCM 5

Problema 4:

Hallar el mayor divisor común de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.

SOLUCIÓN MCD y MCM 4

Problema 3:

Hallar el máximo común divisor de 13631 y 16167

SOLUCIÓN MCD y MCM 3

Problema 2:

¿Cuál es el menor número entero que, multiplicado por 429975, da un producto cuya raíz cuadrada es exacta?

SOLUCIÓN MCD y MCM 2

Problema 1:

Sabiendo que 435600 tiene raíz cuadrada exacta, hallar el valor de ésta sin recurrir a la regla general para su extracción

SOLUCIÓN MCD y MCM 1

21 pensamientos en “Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

  1. dos atletas salen de la linea de partida al mismo tiempo.uno da la vuelta ala pista en 30segundos y el otro,en 420segundos.¿al cabo de cuanto tiempo pasan juntos de nuevo por la meta?¿cuantas vueltas habra dado cada uno?

    • Eslin:
      Es un problema de mínimo común múltiplo, que es lo que vamos a calcular.
      Atleta 1)
      30= 2x3x5
      Atleta 2)
      42= 2x3x7 (entiendo que es un error 420, y que es 42 segundos. En el caso de que fuesen 420 haces la descomposición factorial de 420 y luego calculas el mcm de 420 y 30)
      mínimo común múltiplo de 30 y 42: 2x3x5x7= 210
      Por tanto, vuelven a pasar juntos a los 210 segundos.
      El atleta 1 ha dado: 210/30= 7 vueltas
      El atleta 2 ha dado: 210/42= 5 vueltas

  2. Determinar dos numeros naturales tales que el producto del m.c.m por el m.c.d es 504 y el cociente entre el m.c.m es 14.¿La solución es única?

    • Javier
      Te recomiendo que te hagas un croquis del enunciado para entender mejor el problema:
      A———–x———–B
      Sea A el punto desde el que sale la bicicleta y el coche
      Sea AB la distancia que recorren ambos hasta que el coche alcanza a la en el punto B: x
      Sea vb la velocidad de la bicicleta
      Sea t el tiempo que la bicicleta tarda en llegar a B
      Sea vc la velocidad del coche
      El coche recorre la distancia AB (x) en tres horas menos que la bicicleta, luego el tiempo que emplea será: t-3
      Cálculos para la bicicleta:
      vb=x/t
      25=x/t (ecuación 1)
      Cálculos para el coche:
      vc=x/t-3 (el denominador de la fracción es t-3)
      120=x/t-3 (ecuación 2)
      Despejando x en las ecuaciones 1 y 2 tenemos:
      x= 25t
      x=120(t-3)
      Igualando en x:
      25t=120(t-3)
      25t=120t-360
      25t-120t=-360
      -95t= -360
      t=360/95= 3, 789 horas
      El coche tarda en alcanzar a la bicicleta: t-3= 3,789-3= 0,789 horas= 47´20,4´´

    • Rosa:
      Sea M el mínimo común múltiplo
      Sea D el máximo común divisor
      MxD = 504
      504/M= 14
      M=504/14=36
      Entiendo que en este caso solo hay una solución única que es 14 y 36.
      Sí hay más combinaciones que cumplen el requisito de que MxD = 504 (solo hay que hacer la descomposición en factores de 504= 2x2x2x3x3x7.Así otra posibilidad será 2×252, pero no cumple el requisito de que 504/M=14)

  3. Hola!
    Tres coches salen al mismo tiempo de una población para hacer el servicio de tres líneas distintas. El primero tarda 7 horas en volver al punto de partida y se detiene en este una hora; el segundo tarda 10 horas y se detiene 2; el tercero tarda 10 horas y se detiene 3. ¿cada cuanto tiempo saldrán a la vez los 3 coches de dicha población?
    Gracias, espero me pueda responder

    • Kathya:
      Es un problema de cálculo de mínimo común múltiplo.
      El 1er coche “A” tarda en volver a salir: 7 horas+ 1 hora de parada: 8 horas
      El 2º coche “B” tarda en volver a salir: 10 horas+ 2 horas de parada: 12 horas
      El 3er coche “C” tarda en volver a salir: 10 horas+ 3 horas de parada: 13 horas
      Hacemos la descomposición factorial de 8, 12 y 13:
      8= 2x2x2= 2^3 (dos elevado al cubo)
      12= 2x2x3= 2^2×3 (dos elevado al cuadrado por 3)
      13= 13 (es un número primo y solo tiene como divisores a él mismo y a la unidad)
      Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m)de los tres: (mcm está formado por los factores comunes o no, elevados a la mayor potencia)
      mcm= 2^3x3x13= 8x3x13= 312
      Por tanto,
      volverán a coincidir en la salida al cabo de las 312 horas.
      Como 1 día tiene 24 horas, dividiendo las 312 horas entre 24 horas obtendremos cada cuánto días vuelven a coincidir:
      321/24= 13 días.
      Por tanto,
      volverán a coincidir en la salida al cabo de 13 días.

  4. Muy bueno me encanta he sacado un 40😄😄

  5. Juan está enfermo y debe tomar un medicamento cada 6 horas y otro cada 8 horas. Si empieza hoy a las 6 de la mañana tomando los dos remedios juntos. ¿En q horario deberá tomar nuevamente los dos a la vez?

    • Aldana:
      Se trata de un problema de cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)
      Para ello se hace la descomposición factorial de 6 y 8:
      6= 2×3
      8= 2x2x2
      m.c.m= 2x2x2x3= 24 horas
      Luego, vuelve a tomar los dos medicamentos a la vez a las 24 horas, o sea a las 6 de la mañana

  6. dos ciclistas parten juntos desde la partida en una pista circular. el primero tarda 1 minuto 15 segundos en dar una vuelta, el segundo tarda 1 minuto 5 segundos en cada vuelta. ¿cuantos segundos tardaran en coincidir nuevamente en el punto de partida?

    • Yesenia:
      Es un problema de cálculo del mínimo común múltiplo (mcm).
      Para ello,
      1er ciclista:
      Pasamos el tiempo a segundos: 1´ y 15´´= 60´+15´´´= 75´´
      2º ciclista:
      Pasamos el tiempo a segundos: 1´ y 5´´= 60´+5´´´= 65´´
      Hacemos las descomposición factorial de cada uno de ellos:
      75= 3x5x5
      65= 5×13
      A continuación calculamos el mínimo común múltiplo (mcm):
      mcm(75,65)= 3x5x5x13= 975
      Por tanto, volverán a encontrarse a los 975 ´´

  7. mi profe me dejo de tarea realizar 5 problemas de m.c.m y gracias a esto problemas me saque una buena nota

  8. muchas gracias el proyecto!!!!!

  9. muy bien xq gracia a usteges me saqe un 20!! :)

  10. Muy ilustrativo para estudiantes y profesores

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