Problemas de Matemáticas Resueltos

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Problema 37:

Determinar el valor que se ha de dar a x para que los términos x+2, 3x+2 y 9x-2 estén en progresión geométrica. Calcular la suma de los cinco primeros términos de esta progresión y la suma de la progresión geométrica indefinida:

imgprgm_37

para el valor de x antes hallado.

solución-progresiones-geométricas-37

Problema 36:

Encontrar el quinto término a5 de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos son:

imgprgm_36-1

Hallar la suma de la serie geométrica:

imgprgm_36-2

solución-progresiones-geométricas-36

Problema 35:

En una progresión geométrica de cuatro términos el primero es el log 32 en el sistema de base 4 y el último es el coeficiente del término cuarto del desarrollo:

imgprgm_35

Hallar la razón de la progresión y la suma de los términos.

solución-progresiones-geométricas-35

Problema 34:

En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cada término es igual a la suma de los dos siguientes. Hallar la razón de la progresión.

solución-progresiones-geométricas-34

Problema 33:

Calcular el número de términos que hay que tomar en la progresión geométrica:

imgprgm_32

para  que su suma sea 442865.

solución-progresiones-geométricas-33

Problema 32:

Entre el 8 y el 5832 se interpolan 5 términos que forman con los números dados una progresión geométrica. Calcular el quinto término de esta progresión.

solución-progresiones-geométricas-32

Problema 31:

Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su producto es 27000 y su suma 130.

solución-progresiones-geométricas-31

Problema 30:

El producto de tres números en progresión geométrica es 216. Si se multiplica el primero por 12, el segundo por 5 y el tercero por dos se obtienen tres números en progresión aritmética, dispuestos en el mismo orden. Calcular dichos números.

solución-progresiones-geométricas-30

Problema 29:

En una progresión geométrica la suma de sus infinitos términos es 64 veces la suma de los 6 primeros. ¿Cuál es la razón?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 29

Problema 28:

Hallar la suma de n términos de la progresión:

ImgPrGm_28

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 28

Problema 27:

En una progresión geométrica el primer término es 5. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de un número infinito de términos sea 50/11?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 27

Problema 26:

Se deja caer una pelota de goma desde la altura de 20 m. Después de cada rebote sube a 9/11 de la altura de que cae. ¿Qué espacio recorre antes de llegar al reposo?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 26

Problema 25:

Una pelota cae de la altura de 100 m. y rebota hasta la quinta parte después de cada caída. ¿Cuál será el camino recorrido después de la quinta caída?

 

Problema 24:

La suma de tres números en progresión geométrica es 70. Si el primero se multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4, los números resultantes están en progresión aritmética. Hallar los tres números.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 24

Problema 23:

Resolver la ecuación x4-mx2+n= 0, siendo “m” la suma en el límite de los términos de la progresión

ImgPrGm_23-1

Y “n” el quinto término del desarrollo de

ImgPrGm_23-2

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 23

 

 

 

Problema 22:

Un pueblo que tenía 10.000 almas, no tiene hoy más que 6.561. La disminución anual ha sido la décima parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenía 10.000 almas dicho pueblo?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 22

Problema 21:

Dividir 3900 en cuatro partes que estén en progresión   geométrica de manera que la diferencia entre los términos medios esté, con la diferencia de los extremos, en relación 5/31.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 21

Problema 20:

Resolver el sistema:

ImgPrGm_20

Sabiendo que x, y, z son tres términos consecutivos de una progresión geométrica.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 20

Problema 19:

La suma de los términos que ocupan el lugar impar, en una progresión geométrica de seis términos, es 1365, y la suma de los que ocupan el lugar par, 5460. Hallar el primer término y la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 19

Problema 18:

ImgPrGm_18

Hallar dos términos consecutivos de la progresión anterior, cuyas raíces cuadradas se diferencian en 48.

SOLUCION PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 18

Problema 17:

Descomponer 726 en un número de partes que estén en progresión creciente, de manera que 492 sea la suma de los términos extremos, y su diferencia 483, menos la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 17

Problema 16:

En una progresión geométrica de tres términos, la suma de ellos es 117, y  su producto, 19683. Escribir la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 16

Problema 15:

Hallar el número y la suma de los términos de la progresión

ImgPrGm_15

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 15

Problema 14:

Una de las raíces de una ecuación de segundo grado es igual a la suma de los ocho primeros términos de la progresión

ImgPrGm_14-1

, y la otra raíz, el quinto término de la progresión

ImgPrGm_14-2

¿Cuál es la ecuación?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 14

Problema 13:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

ImgPrGm_13

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 13

Problema 12:

Hallar la suma de los cinco términos de una progresión geométrica, cuya razón es igual al primer término, con signo contrario, y la diferencia de los dos primeros igual a 2.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 12

Problema 11:

Hallar la fracción generatriz del número 1,1[3]

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 11

Problema 10:

Hallar la fracción generatriz del número 0,4[32]

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 10

Problema 9:

Calcular el número de términos de una progresión geométrica de razón 2, siendo 189 la suma de ellos, y la suma de sus cuadrados, 12285.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 9

Problema 8:

Hallar la fracción generatriz del número 0,[123]

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 8

Problema 7:

Hallar el número de términos de una progresión geométrica, cuyo primer término es 3; el último,   ImgPrGm_7-1                             ;

y la razón,ImgPrGm_7-2

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 7

Problema 6:

Hallar la suma de los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, cuyo primer término es      ImgPrGm_6-1                          ,

y la razón, ImgPrGm_6-2

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 6

Problema 5:

El último término de una progresión geométrica es 0,01; el número de términos, 3; y la suma 0,31. Hallar la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 5

Problema 4:

Hallar la fracción generatriz del número 0,[27]:

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 4

Problema 3:

Hallar la suma y el número de términos de la progresión geométrica:

ImgPrGm_3

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 3

Problema 2:

En una progresión geométrica se da: el primer término, 9; la razón, 0,2; y la suma de los términos 11,232. Hallar el número de éstos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 2

Problema 1:

¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de 12 términos, siendo el primero 1 y el último 2048? ¿Cuál será la suma de los términos de esta progresión, y cuál el décimo término?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 1

301 pensamientos en “PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

  1. Buenas noches, Manuel me podrías ayudar con este ejercicio por favor:
    Halla los tres números de una progresión geométrica sabiendo que su suma vale 12 y su producto -216

    • Indy:
      Así entiendo el problema:
      a1; a2 y a3 son los tres términos que nos piden.
      Sabemos que:
      a1= a1
      a2= a1.r
      a3= a1.r^2
      Y que:
      Sn= an.r-a1/r-1
      Luego, poniendo a3 en función de a1:
      12= a1(r^3-1)/r-1
      Dividiendo:
      (r^3-1)/r-1= r^2+r+1
      luego:
      12= a1(r^3-1)/r-1= a1[(r^2+r+1).(r-1)]/r-1
      12= a1(r^2+r+1) (ecuación 1)
      Por otra parte, sabemos que:
      P= √(a1.an)^n
      Poniendo a3 en función de a1:
      -216= √[a1.(a1.r^2)]^3
      Elevamos ambos términos al cuadrado:
      (-216)^2= {√[a1.(a1.r^2)]^3}^2
      (-216)^2= [a1.(a1.r^2)]^3
      [(-6)^3]^2= [a1.(a1.r^2)]^3
      [(-6)^2]^3= [a1.(a1.r^2)]^3
      Extraemos la raíz cúbica en ambos términos:
      (-6)^2= a1.(a1.r^2)
      36= a1^2.r^2
      Extrayendo la raíz cuadrada:
      6= a1.r
      a1= 6/r (ecuación 2)
      De la ecuación 1 y 2, tenemos:
      r^2-r+1= 0
      Obtenemos los valores de
      r= (1+/-i.√3)/2
      a1= 12/[1+/-(i.√3)]
      a2= 12
      a3= 3[1+/-(i.√3)]
      Pero en ninguno de los casos da los valores de la suma y el producto.
      ¿Puedes revisar el enunciado?

  2. Hola Manuel ¿me podrías ayudar con este ejercicio?

    El Gerente de una empresa ha observado que si fija el precio de un libro en $ 25 vende 15.000 unidades. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 500 ejemplares, la ecuación entonces es la siguiente:
    f(x)=(25+x)(15.000-500x)
    Donde x representa el incremento del precio en pesos
    ¿Qué precio deberá fijar el Gerente a cada libro de tal forma que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea el máximo?

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Operando y simplificando: f(x)=(25+x)(15.000-500x), nos queda la siguiente ecuación:
      f(x)= -x^2+5x+750
      Al ser una ecuación de 2º grado, su gráfica será una parábola y tendrá o máximo o mínimo
      Hallamos su derivada:
      f´(x)= -2x+5
      En este caso nos estamos fijando en las pendientes de las infinitas rectas tangentes a la parábola
      A continuación igualamos la derivada a cero:
      0= -2x+5
      2x= 5
      x= 2,5
      Luego x= 2,5 es un punto crítico
      Y tenemos las recta tangentes que son horizontales
      Para saber si tenemos un máximo o un mínimo, damos valores a x, un poco más pequeño y un poco más grande:
      x= 2
      Sustituimos en la 1a derivada:
      f´(x)= -2x+5
      f´(x)= -2x+5= -2.2+5= -4+5= 1 (lo importante es el signo, en este caso positivo, luego la pendiente es positiva)
      x= 3
      Sustituimos en la 1a derivada:
      f´(x)= -2x+5
      f´(x)= -2x+5= -2.3+5= -6+5= -1 (lo importante es el signo, en este caso negativo, luego la pendiente es negativa)
      Luego al pasar de una pendiente positiva a una negativa, es un máximo.
      Por tanto, el valor del libro será: 25+2,5= 27,5 $ por ejemplar para que los ingresos sean máximos

  3. Hola Manuel me podrías ayudar con este ejercicio por favor?

    Las cotas superior e inferior de la sucesión Un = (n+3)/(n+1) son:
    a. 1
    b. 3
    c. 2
    d. 4

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Un = (n+3)/(n+1)
      para n= 0: U0= 0+3/0+1=3/1= 3 es la cota superior
      La cota inferior:
      lim (n+3)/(n+1)= 1. es la cota inferior
      Luego:
      La cota superior es 3 (respuesta b)
      La cota inferior es 1 (respuesta a)

  4. Hola Manuel ayúdame con este ejercicio por favor
    Se tienen 112 cerdos cuyo peso promedio es de 23 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 106 días y un aumento de peso de 1.4 kg por día. ¿Cuánto pesa cada cerdo al final de los 106 días?

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Un cerdo pesa el 1er día 23 kg, luego:
      a1= 23
      Aumenta a razón de 1,4 kg cada día, luego d= 1,4
      El número de días que engordan son 106, luego: n= 106
      a1= 23
      a2= 23+1,4


      a106= 23+(106-1).1,4= 170 kg

  5. hola manuel me podrias ayudar con este ejercicio??
    En una granja se tienen 160 cerdos cuyo peso promedio es de 24 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 106 días y un aumento de peso de 1.2 kg por día. ¿Cuánto pesa cada cerdo al final de los 106 días?

  6. hoa manuel me ayudarias con esto por favor?
    El noveno término de la siguiente progresión: {2, -6, 18, -54,….}, es:

  7. hola manuel me ayudas por favor?
    La derivada de x^2x es:

    • Frank:
      y= (x)^2x
      Se puede hacer de dos formas:
      1.- Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación:
      Ly= L(x)^2x
      Como es el logaritmo de una potencia:
      Ly= 2x.Lx
      Ahora derivamos, aplicando las reglas de derivación:
      y´/y= 2Lx+1/x.2x= 2Lx+2
      Despejando y´:
      y´= (2Lx+2).y= (2Lx+2).(x)^2x= 2(x)^2x(Lx+1)
      2.- La derivada de una función exponencial general: y= u^v
      La fórmula es:
      y´= u^v.Lu.v´+v.(u^n-1).u´
      En nuestro caso:
      u= x
      v= 2x
      Aplicando la fórmula:
      y´= [(x)^2x].Lx.2+2x.[(x)^2x-1].1= [(x)^2x].2.Lx.+2x.[(x)^2x].(x^-1)= [(x)^2x].2.Lx.+2x.(x)^2x.1/x= [(x)^2x].2.Lx.+2.[(x)^2x]= 2.[(x)^2x](Lx+1)
      En mi opinión es más sencillo el método 1, tomando logaritmos

  8. Hola Manuel podrías ayudarme con este ejercicio?
    La dietista de la universidad informa a sus pacientes que con determinada dieta y un mínimo de ejercicios diarios una persona
    puede bajar de peso 250 g por semana. Si una persona que pesa 100 kg quiere bajar a su peso normal de 72 kg ¿Cuántas semanas tardaría en lograrlo?

  9. El primer término de una sucesión es Uo= 5 y la relación de recurrencia Un-1 + 3. El término general Un es:

    a. Uo – 3n
    b. Uo + 3n
    c. Uo – 2n
    d. Uo – n

  10. hola manuel podrias ayudarme con este ejercicio?
    La primera derivada de cos (8x+ √ 7)? es:
    Seleccione una respuesta.
    a. sen(8x)
    b. 8 sen (8x+ √(7))
    c. -8 sen (8x+ √(7))
    d. sen (8x+ √(7))

  11. Hola Manuel me puedes ayudar con este ejercicio?
    En una granja se tienen 100 cerdos cuyo peso promedio es de 25 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 100 días y un aumento de peso de 1.5 kg por día. ¿Cuánto pesa cada cerdo al final de los 100 días?
    Seleccione una respuesta.
    a. 162.8 kilos
    b. 93.0 kilos
    c. 92.5 kilos
    d. 173.5 kilos

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Un cerdo pesa el 1er día 25 kg, luego:
      a1= 25
      Aumenta a razón de 1,5 kg cada día, luego d= 1,5
      El número de días que engordan son 100, luego: n= 100
      a1= 25
      a2= 25+1,5


      a100= 25+(100-1).1,5= 173,5 kg

  12. Hola manuel podrais ayudarme con este ejercicio?
    Una progresión geométrica es una sucesión de términos en donde el cociente entre dos términos consecutivos siempre es igual. Una pelota se deja caer desde una altura de 60 pies. La elasticidad de esta pelota es tal que rebota tres cuartas partes de la distancia desde donde cayó. ¿Qué tan alto rebota la pelota en el octavo rebote?
    Seleccione una respuesta.

    a. 12 pies
    b. 14 pies
    c. 6 pies
    d. 9 pies

    • Frank:
      Así lo entiendo:
      Como hay 8 rebotes, hay 9 picos es decir 9 subidas, luego:
      n= 9
      a1= 60
      luego, el rebote 8 es el pico de subida 9:
      a9= 60(3/4)^8= 60.6561/65536= 393660/65536= 6,00677490234375= 6 pies

  13. Ayuda urgente por favor: El venteavo de una progresión geométrica es 2 por 3 elevado a la 19. ¿Cuál es el sexto término?

  14. Solución
    Una compañía va a distribuir 4.600.000 en bonos a sus 10 mejores vendedores, el último premiado recibirá 100.000 y la diferencia entre los vendedores debe ser constante, ¿determine el bono para cada vendedor?

    • Camilo:
      Se trata de una progresión aritmética en la que:
      el número de términos: n= 10
      el último término es a10= 100.000
      Sabemos que
      Sn= a1+an/2.n
      En nuestro caso:
      4.600.000= a1+100.000/2.10
      a1= 820.000
      Sabemos que
      an= a1+(n-1).d
      En nuestro caso:
      100.000= 820.000+(10-1).d
      d= -80.000 (el signo negativo indica que la progresión es decreciente porque el 1er vendedor cobrará más que el segundo, y así sucesivamente hasta el último (a10)

  15. Hola Manuel buenas tardes necesito ayuda para hacer este trabajo Dice calcular el primer término de una progresión geométrica de razón 4 cuya 7 desimo es menos 49.152

  16. Manuel buenas noches, ayúdame con la solución de este ejercicio f(x)=sen^2 (3x^2+2), aplicando las reglas de la derivación, si puedes explicame los procedimientos.
    Te agradezco
    Bendiciones

    • Santiago:
      f(x)=sen^2 (3x^2+2)
      1º.- Es la derivada de una potencia porque el seno está elevado al cuadrado
      y= u^n
      y´= n.(u^n-1).u´
      En nuestro caso:
      u= sen (3x^2+2)
      n= 2
      Luego:
      f´(x)= 2.sen(3x^2+2).u´ (te lo dejo indicado como u´ para que te quede más claro)
      Ahora hay que derivar u, que en este caso es la derivada del seno
      u= sen x
      u´= cos x.x´
      En nuestro caso:
      sen(3x^2+2)= cos (3x^2+2).x´
      Pero x´ es la derivada de una suma, cuya derivada es la derivada de cada sumando, el 1er sumando es la derivada de una potencia (que la hemos visto antes), y el segundo sumando es la derivada de una constante, luego:
      x´= 2.3x+0 (la derivada de una constante es cero)
      x´= 6x
      Por tanto la derivada del sen(3x^2+2) queda:
      sen(3x^2+2)= cos (3x^2+2).x´
      Sustituimos x´por su valor:
      sen(3x^2+2)= cos (3x^2+2).x´= cos (3x^2+2) 6x
      Así: u´= cos (3x^2+2) 6x
      Luego la derivada que nos piden es, sustituyendo u´por su valor:
      f´(x)= 2.sen(3x^2+2).u´= 2.sen(3x^2+2)cos (3x^2+2) 6x= 6x. sen 2(3x^2+2). (porque sen 2a= 2.sen a. cos a)

  17. hola manuel buenas tardes este es el ejercicio completo

    Calcula las siguientes derivadas de orden superior.

    f(x)=e^x ; f^”’ (x)

  18. Porfa me puedes colaborar con este? f(x)=2^X

  19. Hola Manuel, podrías ayudarme con este ejercicio.
    Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
    f(x)=e^x

  20. oye ayúdame porfa con el siguiente problema:
    Determine los 3 números de una progresion geométrica sabiendo que su suma es 26 y el mayor menos el término del medio es igual a seis veces el menor

    • Kevin:
      Sea a1, a2 y a3 los términos pedidos, y que a1<a2<a3
      Sabemos que:
      a1= a1
      a2= a1.r
      a3= a1.r^2
      Su suma es 26:
      a1+a2+a3= 26
      El mayor menos el término del medio es igual a seis veces el menor:
      a3-a2= 6a1
      Ponemos todos los términos en función de a1:
      a1+(a1.r)+(a1.r^2) = 26 (ecuación 1)
      (a1.r^2)-(a1.r)= 6a1 (ecuación 2)
      Sacando factor común a1 en la ecuación 2 queda:
      a1(r^2-r-6)=0
      Luego:
      a1= 0 ( no es posible) ó r^2-r-6= 0
      Resolviendo esta ecuación de 2º grado en r, nos queda:
      r= 3 y r= -2
      para r= 3 los números son: a1= 2; a2= 6; a3= 18
      para r= -2, los números son: a1= 26/3; a2= -52/3; a3= 104/3

  21. buenas tardes estimados amigos
    por favor me pueden ayudar con estos 4 ejercicios grracias

    • Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.
    1) f (x) = ln(x) / x

    2) 𝑓(𝑥) = 𝑐os√3X ^−2 + 2

    • Calcula las siguientes Derivadas Impliticas.

    3) Sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1

    • Calcula las siguientes derivadas de orden superior.

    4) f (x) = log(x); 𝑓′′ (𝑥)

    • Carlos:
      1.- f (x) = ln(x) / x
      Es la derivada de un cociente: y= u/v; y´= v´.u-u´.v/v^2
      En nuestro caso:
      u= Ln(x)
      v= x
      Luego:
      f´(x) = 1/x.x-1.ln(x)/x^2= 1-Ln(x)/x^2
      2.- f(𝑥) = 𝑐os√3X ^−2 + 2: No me queda claro el enunciado
      3.- Calcula las siguientes Derivadas Implícitas.
      Sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
      Lo que nos piden es: dy/dx
      Para mayor facilidad hacemos el siguiente cambio de variable: y´= dy/dx
      cosx-2y´.2.sen 2y= 0
      cosx -4y´.sen2y= 0
      4y´.sen2y= cosx
      y´= cosx/4.sen2y
      Deshacemos el cambio:
      dx/dy=cosx/4.sen2y
      4.- Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
      f (x) = log(x); 𝑓′′ (𝑥)
      f (x) = log(x)
      f´(x)= log e/x
      f´´(x)= -log e/x^2

  22. buenas noches a todos
    manual mucho gusto en saludarlo
    por favor me podrían ayudar con es tos 4 ejercicios les agradezco

    1) f (x) = x + ln(x)
    2) f (x) = x ⋅ e^x
    3) sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
    4) f (x) = 2^x; 𝑓′′′ (𝑥)

    • Carlos:
      1) f (x) = x + ln(x)
      f´(x)= 1+1/x= x+1/x
      2) f (x) = x ⋅ e^x
      f´(x)= e^x+e^x.x= e^x(1+x)
      3) sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
      Sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
      Lo que nos piden es: dy/dx
      Para mayor facilidad hacemos el siguiente cambio de variable: y´= dy/dx
      cosx-2y´.2.sen 2y= 0
      cosx -4y´.sen2y= 0
      4y´.sen2y= cosx
      y´= cosx/4.sen2y
      Deshacemos el cambio:
      dx/dy=cosx/4.sen2y
      4) f (x) = 2^x; 𝑓′′′ (𝑥)
      f(x)=2^x ; f^”’ (x)
      f´(x)= 2^x.Ln2
      f´´(x)= 2^x.Ln2.Ln2= 2^x.(Ln^2)2
      f´´´(x)= 2^x.(Ln^3)2

  23. hola manuel podrias ayudarme con este ejercicio:
    Calcula las siguiente derivada de orden superior.

    dada f(x)=e^x hallar f^”’ (x)

  24. Hola, me podrían ayudar con este ejercicio por favor.

    Las edades de 5 hermanos están en progresión geométrica, si el producto de las edades es 1024, ¿qué edad tiene el mayor si el menor de todos tiene un año?

    • Marco:
      Sabemos que:
      a1= 1
      y que el producto de las edades de los 5 hermanos están en progresión geométrica:
      a1.a2.a3.a4.a5= 1024
      También sabemos que:
      an= a1.r^n-1
      Por lo que podemos expresa las edades de los 4 hermanos en función de la edad del menor:
      a1.(a1.r).(a1.r^2).(a1.r^3)(a1.r^4)= 1024
      Sustituyendo a1 por su valor:
      1.(1.r).(1.r^2).(1.r^3)(1.r^4)= 1024
      r.r^2.r^3.r^4= 1024
      r^(1+2+3+4)= 1024
      r^10= 1024
      1024= 2^10
      r^10= 2^10
      Extrayendo la raíz de índice 10,
      r= 2
      La edad del hermano mayor será:
      a5= a1.r^4= 1.2^4
      a5= 16 años

  25. hola manuel podrias ayudarme con estos ejercicios. te agradezco mucho tu ayuda.

    Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.

    a) f(x)=x.e^x

    b) f(x)=x^2.ln⁡(x)

    • Álex:
      a) f(x)=x.e^x
      Es la derivada de un producto:
      f(x)= u.v
      f´(x)= u´.v+v´.u
      En nuestro caso
      a) f(x)=x.e^x
      u= x
      v= e^x
      f´(x)= 1.e^x+e^x.x= e^x+e^x.x= e^x(1+x)
      b) f(x)=x^2.ln⁡(x)
      Es igual que la anterior:(derivada de un producto)
      f´(x)= 2x.Lx+(1/x).x^2= 2x.Lx+x= x(2Lx+1)= x(Lx^2+1)

  26. hola manuel me puedes colaborar con estos ejercicios:

    Desarrolle el siguiente límite usando el principio de sustitución 𝑎) lim 𝑥→3 (2 ^ 𝑥 + 1)

    Resuelva el siguiente límite usando formas indeterminadas
    lim t→-4 t^3+64 ^ t+4

    Calcule el límite al infinito de la siguiente función.
    lim x→∞⁡ 2x+3 ^ 3x+1

    Hallar el límite de la siguiente función trigonométrica
    lim x→1 6 cos⁡(x-1)

    Muchas Gracias.

    • July:
      𝑎) lim 𝑥→3 (2 ^ 𝑥 + 1)
      lim 𝑥→3 (2 ^ 𝑥 + 1)= 2 ^ 3 + 1= 8+1= 9
      Hallar el límite de la siguiente función trigonométrica
      lim x→1 6 cos⁡(x-1)
      Hallar el límite de la siguiente función trigonométrica
      lim x→1 6 cos⁡(x-1)= 6.cos(1-1)= 6.cos 0= 6.1 = 6

  27. Hola Manuel podrías ayudarme con estos ejercicios:

    a) lim x—>∞ = √(1+x/x^2)

    en este caso el radicando es toda la fracción dentro del parentesis

    • Álex:
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      Dividimos numerador y denominador por x: dentro de la raíz cuadrada entra como x^2
      lim x—>∞ = √(1+x/x^2) = lim x—>∞ = √(1/x^2+x/x^2/x^2/x^2)= lim x—>∞ = √(1/x^2+1/x/1)
      sustituimos x por su valor:
      lim x—>∞ √(1/x^2+1/x/1)= √(1/∞+1/∞/1)= √0+0/1= √0/1 = 0

  28. Hola Manuel podrías ayudarme con estos ejercicios:

    a) lim x—>∞ = √(1+x/x^2)

    b) lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)

    c) f) lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)

    te agradezco mucho tu ayuda!!

    • Álex:
      a) lim x—>∞ = √(1+x/x^2) (entiendo que solo (1+x) es el radicando, es decir, es lo único que está incluido en la raíz cuadrada)
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x: x^2; dentro de la raíz cuadrada entra como x^4
      lim x—>∞ = √(1+x/x^2) = lim x—>∞ = √(1/x^4+x/x^4/x^2/x^2)= lim x—>∞ = √(1/x^4+1/x^3/1)
      sustituimos x por su valor:
      lim x—>∞ √(1/x^4+1/x^3/1)= √(1/∞+1/∞/1)= 0+0/1= 0/1 = 0
      b) lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)
      dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x: x^2
      lim x—> ∞ (5x^2/x^2 +3x/x^2+1/x^2)/(2x^2/x^2-4x/x^2-5/x^2)= lim x—> ∞ (5 +3/x+1/x^2)/(2-4/x-5/x^2)
      Sustituimos x por su valor:∞
      (5 +3/∞+1/∞)/(2-4/∞-5/∞)= 5+0+0/2-0-0= 5/2
      c) lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)= lim x—> ∞ = x.x/x(x^2+1)= lim x—> ∞ = x/(x^2+1)
      dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x: x^2
      lim x—> ∞ = x/x^2/(x^2/x^2+1/x^2)= lim x—> ∞ = 1/x/(1+1/x^2)=
      Sustituimos x por su valor:∞
      1/∞/(1+1/∞)= 0/1+0= 0/1= 0

  29. hola manuel, me refiero a este limite que le respondiste a carlos el 13 octubre, 2016 en 5:23 AM

    3.- lim x^2 / (x^3+x)
    x→∞
    lim x^2 / (x^3+x)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x /(x^2+1)= x/x^2/x^2/x^2+1/x^2= 0/1= 0
    x→∞ x→∞ x→∞ x→∞

    • Álex:
      3.- lim x^2 / (x^3+x)
      x→∞
      Es un limite de los llamados algebraicos.
      Si sustituyes el valor de x en la fracción queda una indeterminación de la forma: ∞/∞ porque: ∞^2/∞^3+∞= ∞/∞
      La indeterminación solo nos indica que para obtener el cociente no es suficiente con dividir numerador entre denominador (4/2=2)
      Ahora hay que buscar un procedimiento que permita quitar esa indeterminación
      Como el denominador es: x^3+x
      Podemos sacar factor común x: x(x^2+1)
      A continuación lo ponemos en el denominador:
      lim x^2 / (x^3+x)= lim x^2 / x(x^2+1)
      x→∞ x→∞
      Ahora nos queda una fracción de la forma: x^2 / x(x^2+1)= x.x / x(x^2+1) y de la que se puede simplificar por x en el numerador y en el denominador, resultando:
      x.x / x(x^2+1)= x / (x^2+1)
      Luego nos queda:
      lim x^2 / x(x^2+1)= lim x.x / x(x^2+1)= lim x / (x^2+1)
      x→∞ x→∞ x→∞
      Veamos si ahora al sustituir x por su valor hemos quitado la indeterminación: (cuando se da el valor a x desaparece el límite)
      lim x / (x^2+1)= ∞/∞^2+1= ∞/∞
      x→∞
      Por tanto, sacando factor común no ha sido suficiente para eliminar la indeterminación, hay que buscar otro procedimiento
      Como x→∞ dividimos por la mayor potencia o exponente de x tanto el numerador como el denominador: x^2
      lim x / (x^2+1)= lim x/x^2 / (x^2/x^2+1/x^2)
      x→∞ x→∞
      Ahora simplificamos
      lim 1/x / (1/1+1/x^2) = lim 1/x / (1+1/x^2)
      x→∞ x→∞
      A continuación damos a x su valor para ver si hemos quitado la indeterminación:
      lim 1/x / (1+1/x^2)= 1/∞ / (1+1/∞) (aclaración: ∞^2= ∞ más grande pero infinito)
      x→∞
      Ahora nos queda: (1/∞; imagínate que divides 1/1000.000.000.000.000…, es decir 1 entre una cantidad enorme, es prácticamente cero, en el límite es cero)
      Luego el numerador queda: 1/∞
      el denominador queda: 1+1/∞
      Podemos poner
      1/∞ / (1+1/∞)= 0/1+0= 0/1= 0
      Espero haberte ayudado

  30. hola manuel te agradezco mucho que me ayudes con estos ejercicios:

    a) lim θ—>0= (sen3θ)/(2θ)

    b) lim θ—>0= (4sen9θ)/3θ

    c) lim x—>∞ = √(1+x)/x^2

    d) lim x—>∞ = √(3x+2)-x

    e) lim x—> ∞ = [(x^4+3x)/(3x^3-4x^2]

    f) lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)

    f) lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)

    • Álex:
      a) lim θ—>0= (sen3θ)/(2θ)
      lim θ—>0= (sen3θ)/(2θ)= lim θ—>0= (3θ)/(2θ)= 3/2
      b) lim θ—>0= (4sen9θ)/3θ
      lim θ—>0= (4sen9θ)/3θ= lim θ—>0= (4.9θ)/3θ= 36/3= 12
      c) lim x—>∞ = √(1+x)/x^2
      lim x—>∞ = √(1+x)/x^2 (entiendo que es solo el numerador lo que está dentro de la raíz cuadrada
      lim x—>∞ = √(1+x)/x^2 dividimos por x^2 numerador y denominador. Dentro de la raíz cuadrada entra como x^4
      lim x—>∞ = √(1/x^4+x/x^4)/x^2/x^2= √(1/∞+1/∞)/1= 0/1=0
      d) lim x—>∞ = √(3x+2)-x
      lim x—>∞ = √(3x+2)-x Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador:√(3x+2)-x
      lim x—>∞ = [√(3x+2)-x][√(3x+2)+x]/[√(3x+2)+x]
      El numerador es una igualdad notable del tipo: (a-b)(a+b)=a^2-b^2
      lim x—>∞ = 3x+2-x^2/[√(3x+2)+x]
      Dividimos por x^2
      lim x—>∞ = 3x/x^2+2/x^2-x^2/x^2/[√(3x/x^2+2/x^2)+x/x^2]
      lim x—>∞ 3/x+2/x^2-1/[√(3/x+2/x^2)+1/x]
      3/∞+2/∞-1/[√(3/∞+2/∞)+1/∞]= 0+0-1/[√(0+0)+0]= 1/0= ∞
      e) lim x—> ∞ = [(x^4+3x)/(3x^3-4x^2]
      lim x—> ∞ = [x(x^3+3)/x(3x^2-4x]
      lim x—> ∞ = [(x^3+3)/(3x^2-4x]
      Dividimos por x^3
      lim x—> ∞ = [(x^3/x^3+3/x^3)/(3x^2/x^3-4x/x^3]
      lim x—> ∞ = [(1+3/x^3)/(3/x-4/x^2]
      = [(1+3/∞)/(3/∞-4/∞]= 1+0/0-0= 1/0= ∞

  31. Si los términos sucesivos a , a+2 , 10-a forman una progresión geométrica y a pertenece a los reales , la suma de los posibles valores de a.

    • José:
      Me da la sensación de que el enunciado está incompleto, pero así lo entiendo:
      Si los términos son sucesivos, sabemos que:
      r= a2/a1= a+2/a
      r= a3/a2= 10-a/a+2
      Igualando en r:
      a+2/a=10-a/a+2
      Operando y despejando queda la siguiente ecuación de 2º grado en a:
      a^2-3a+2= 0
      a= 2
      a= 1
      Ambas soluciones de a dan una progresión geométrica:
      para a= 2: 2, 4, 8…
      para a= 1: 1, 3, 9…
      Luego la suma pertenecerá al conjunto de los números reales

  32. Como resuelven dos términos consecutivos 54, 81 y el numero inicial es 24. Hallar la ubicación de estos términos progresión geométrica

    • Ronny:
      Así entiendo el problema:
      a1= 24
      Como 54 y 81 son términos consecutivos, esto nos permite hallar la razón de progresión:
      r=81/54=3/2
      Una vez hallada la razón:
      a2= a1.r= 24.3/2= 36
      a3= a2.r= 36.3/2= 54
      a4= a3.r= 54.3/2= 81
      Luego:
      54 es el 3er término: a3
      81 es el 4º término: a4

  33. como resolverían lo siguiente…

    Hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2, el último 13120 y la suma de todos sus términos 19682.

    me tiene con 1001 dudas jajaja

    • Dershi:
      Así entiendo el problema:
      a1= 2
      an= 13120
      sn= 19682
      Sabemos que:
      Sn= an.r-a1/r-1
      19682= 13120.r-2/r-1
      19682r-19682= 13120r-2
      19682r-13120r= -2+19682
      6562r= 19680
      r= 19680/6562= 2,999 = 3 (aproximadamente)
      Sabemos que:
      an= a1.r^n-1
      13120= 2.(3)^n-1
      13120/2= .(3)^n-1
      6560= (3)^n-1
      Tomando logaritmos en ambos miembros de la igualdad:
      log 6560= log (3)^n-1
      (n-1).log3= log 6560
      n-1= log 6560/log3
      n-1= 3,816903/0,477121
      n-1= 7,999= 8 (aproximadamente)
      n= 8+1= 9

  34. buenas noches a todos me podrian ayudar con estos ejercicios
    1. Principio de Sustitución
    a)

    lim
    t→4 (t^3-64 )/ (t-4)

    2. Forma Indeterminada

    b)
    lim
    x→4 ⁡∛ (x+4)

    3. Límites al Infinito

    c)
    lim
    x→∞ x^2 / (x^3+x)

    4. Limites de Funciones Trigonométricas

    d)
    lim
    θ→0 sen3θ / 2θ

    • Carlos:
      1.- lim (t^3-64 )/ (t-4)
      t→4
      Es una forma de indeterminación 0/0
      lim (t^3-64 )/ (t-4)= lim (t^3-4^3 )/ (t-4)
      t→4 t→4
      Dividimos:
      t^3-4^3/t-4 aplicando la regla de Ruffini:
      lim t^2+4t+16
      t→4
      Sustituimos t por su valor:
      4^2+4.4+16= 16+16+16=48
      2.- lim ⁡∛ (x+4)= ⁡∛(4+4)= ⁡∛ 8 =⁡∛ 2^3= 2
      x→4
      3.- lim x^2 / (x^3+x)
      x→∞
      lim x^2 / (x^3+x)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x /(x^2+1)= x/x^2/x^2/x^2+1/x^2= 0/1= 0
      x→∞ x→∞ x→∞ x→∞
      4.- lim sen3θ / 2θ= lim 3θ / 2θ= 3/2
      θ→0 θ→0

      • Hola Manuel la verdad no entiendo muy bien la respuesta al número 3 podrías explicarla? gracias

      • Alex:
        Entiendo que te refieres al número 3 de la página de progresiones geométricas.
        Es la aplicación de las fórmulas de la suma de una progresión geométrica de n términos; y la aplicación de la fórmula del u´timo término para calcular el número de términos.
        La razón de la progresión se calcula mediante la división del 2º término entre el primero, en aplicación de la definición de progresión geométrica.
        Una vez obtenida la razón, 4, se aplica la fórmula de la suma:
        Sn= an.r-a1/r-1
        A continuación se aplica la fórmula del último término para calcular el número de elementos: n
        2^14= 2^2n-2
        Tomando logaritmos:
        log2^14= log 2^2n-2
        14.log 2= 2n-2.log 2
        Simplificamos en ambos términos log2
        14= 2n-2
        2n= 14+2
        2n= 16
        n= 16/2=8

  35. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,…

    • María Esperanza:
      Hallamos la razón de la progresión geométrica:
      r=a2/a1=6/3= 2
      Calculamos el octavo término: a8
      an= a1.r^n-1
      En esta caso:
      a8= 3.(2)^7
      a8= 3.128= 384
      Finalmente calculamos el producto pedido:
      P= raíz cuadrada de (a1.a8)^8
      P8= raíz cuadrada de (3.384)^8
      P8= raíz cuadrada de (1152)^8
      P8= raíz cuadrada de 3101843146481947279097856
      P8= 1761205026816
      P= raíz cuadrada de (3.384)^8

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