Problemas de Matemáticas Resueltos

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Problema 41:

Hallar la razón de una progresión geométrica de seis términos, sabiendo que la suma de los cincos primeros vale 170,5 y la suma de los cinco últimos 682. Formar la progresión.

solución-progresiones-geométricas-41

Problema 40:

El límite de la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente indefinida es 6, y la suma de sus dos primeros términos es 4,5. Hallar el primer término de la progresión.

solución-progresiones-geométricas-40

Problema 39:

Resolver la ecuación:

imgprgm_39

solución-progresiones-geométricas-39

Problema 38:

Hallar la suma:

imgprgm_38

solución-progresiones-geométricas-38

Problema 37:

Determinar el valor que se ha de dar a x para que los términos x+2, 3x+2 y 9x-2 estén en progresión geométrica. Calcular la suma de los cinco primeros términos de esta progresión y la suma de la progresión geométrica indefinida:

imgprgm_37

para el valor de x antes hallado.

solución-progresiones-geométricas-37

Problema 36:

Encontrar el quinto término a5 de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos son:

imgprgm_36-1

Hallar la suma de la serie geométrica:

imgprgm_36-2

solución-progresiones-geométricas-36

Problema 35:

En una progresión geométrica de cuatro términos el primero es el log 32 en el sistema de base 4 y el último es el coeficiente del término cuarto del desarrollo:

imgprgm_35

Hallar la razón de la progresión y la suma de los términos.

solución-progresiones-geométricas-35

Problema 34:

En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cada término es igual a la suma de los dos siguientes. Hallar la razón de la progresión.

solución-progresiones-geométricas-34

Problema 33:

Calcular el número de términos que hay que tomar en la progresión geométrica:

imgprgm_32

para  que su suma sea 442865.

solución-progresiones-geométricas-33

Problema 32:

Entre el 8 y el 5832 se interpolan 5 términos que forman con los números dados una progresión geométrica. Calcular el quinto término de esta progresión.

solución-progresiones-geométricas-32

Problema 31:

Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que su producto es 27000 y su suma 130.

solución-progresiones-geométricas-31

Problema 30:

El producto de tres números en progresión geométrica es 216. Si se multiplica el primero por 12, el segundo por 5 y el tercero por dos se obtienen tres números en progresión aritmética, dispuestos en el mismo orden. Calcular dichos números.

solución-progresiones-geométricas-30

Problema 29:

En una progresión geométrica la suma de sus infinitos términos es 64 veces la suma de los 6 primeros. ¿Cuál es la razón?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 29

Problema 28:

Hallar la suma de n términos de la progresión:

ImgPrGm_28

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 28

Problema 27:

En una progresión geométrica el primer término es 5. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de un número infinito de términos sea 50/11?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 27

Problema 26:

Se deja caer una pelota de goma desde la altura de 20 m. Después de cada rebote sube a 9/11 de la altura de que cae. ¿Qué espacio recorre antes de llegar al reposo?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 26

Problema 25:

Una pelota cae de la altura de 100 m. y rebota hasta la quinta parte después de cada caída. ¿Cuál será el camino recorrido después de la quinta caída?

 

Problema 24:

La suma de tres números en progresión geométrica es 70. Si el primero se multiplica por 4, el segundo por 5 y el tercero por 4, los números resultantes están en progresión aritmética. Hallar los tres números.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 24

Problema 23:

Resolver la ecuación x4-mx2+n= 0, siendo “m” la suma en el límite de los términos de la progresión

ImgPrGm_23-1

Y “n” el quinto término del desarrollo de

ImgPrGm_23-2

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 23

 

 

 

Problema 22:

Un pueblo que tenía 10.000 almas, no tiene hoy más que 6.561. La disminución anual ha sido la décima parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenía 10.000 almas dicho pueblo?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 22

Problema 21:

Dividir 3900 en cuatro partes que estén en progresión   geométrica de manera que la diferencia entre los términos medios esté, con la diferencia de los extremos, en relación 5/31.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 21

Problema 20:

Resolver el sistema:

ImgPrGm_20

Sabiendo que x, y, z son tres términos consecutivos de una progresión geométrica.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 20

Problema 19:

La suma de los términos que ocupan el lugar impar, en una progresión geométrica de seis términos, es 1365, y la suma de los que ocupan el lugar par, 5460. Hallar el primer término y la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 19

Problema 18:

ImgPrGm_18

Hallar dos términos consecutivos de la progresión anterior, cuyas raíces cuadradas se diferencian en 48.

SOLUCION PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 18

Problema 17:

Descomponer 726 en un número de partes que estén en progresión creciente, de manera que 492 sea la suma de los términos extremos, y su diferencia 483, menos la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 17

Problema 16:

En una progresión geométrica de tres términos, la suma de ellos es 117, y  su producto, 19683. Escribir la progresión.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 16

Problema 15:

Hallar el número y la suma de los términos de la progresión

ImgPrGm_15

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 15

Problema 14:

Una de las raíces de una ecuación de segundo grado es igual a la suma de los ocho primeros términos de la progresión

ImgPrGm_14-1

, y la otra raíz, el quinto término de la progresión

ImgPrGm_14-2

¿Cuál es la ecuación?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 14

Problema 13:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

ImgPrGm_13

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 13

Problema 12:

Hallar la suma de los cinco términos de una progresión geométrica, cuya razón es igual al primer término, con signo contrario, y la diferencia de los dos primeros igual a 2.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 12

Problema 11:

Hallar la fracción generatriz del número 1,1[3]

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 11

Problema 10:

Hallar la fracción generatriz del número 0,4[32]

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 10

Problema 9:

Calcular el número de términos de una progresión geométrica de razón 2, siendo 189 la suma de ellos, y la suma de sus cuadrados, 12285.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 9

Problema 8:

Hallar la fracción generatriz del número 0,[123]

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 8

Problema 7:

Hallar el número de términos de una progresión geométrica, cuyo primer término es 3; el último,   ImgPrGm_7-1                             ;

y la razón,ImgPrGm_7-2

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 7

Problema 6:

Hallar la suma de los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, cuyo primer término es      ImgPrGm_6-1                          ,

y la razón, ImgPrGm_6-2

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 6

Problema 5:

El último término de una progresión geométrica es 0,01; el número de términos, 3; y la suma 0,31. Hallar la razón.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 5

Problema 4:

Hallar la fracción generatriz del número 0,[27]:

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 4

Problema 3:

Hallar la suma y el número de términos de la progresión geométrica:

ImgPrGm_3

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 3

Problema 2:

En una progresión geométrica se da: el primer término, 9; la razón, 0,2; y la suma de los términos 11,232. Hallar el número de éstos.

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 2

Problema 1:

¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de 12 términos, siendo el primero 1 y el último 2048? ¿Cuál será la suma de los términos de esta progresión, y cuál el décimo término?

SOLUCIÓN PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 1

337 pensamientos en “PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

  1. Ayúdenme …!!! Es urgente
    El criadero de truchas de ingenio, en la región Junin es un centro piscícola especializado en la crianza de la trucha asalmonada. Este criadero cuenta con 75 pozas, las cuales son irrigadas por el río. Si una de las pozas esta poblada con una cantidad de truchas que aumento en progresión geométrica de 50.000 en enero a 73.205 en mayo, ¿cuántas truchas había en febrero, marzo y abril?

    • Amanda:
      Sea a1= 50.000 y a5= 73.205.
      a2= Febrero; a3= Marzo y a4= Abril
      Sabemos que an= a1.r^n-1
      En nuestro caso:
      a5= a1.r^5-1
      73205= 50000.r^4
      r^4= 73205/50000
      Descomponemos en factores primos:
      73205= 5×11^4
      50000= 5.10^4
      Sustituyendo:
      r^4= 5×11^4/5.10^4
      Simplificando y extrayendo la raíz cuarta,
      r= 11/10
      Por tanto:
      Febrero: a2= a1.r= 50000.11/10= 55.000 truchas
      Marzo: a3= a2.r=55000.11/10= 60.500 truchas
      Abril: a4= a3.r= 60500.11/10= 66.550 truchas

  2. Hola Manuel me puedes ayudar

    Hallar el producto de los once primeros términos de una P.G, si sabemos que el término central vale 2

    Por favor

    • Ricardo:
      Sabemos que en una progresión geométrica , si es impar, el término central al cuadrado es igual al producto del 1º y el último término.
      Por tanto,
      ac^2= a1.an
      En nuestro caso:
      2^2=a1.a11
      Por otra parte sabemos que el producto de una P.G. es:
      P= raíz cuadrada de (a1.an)^n
      En nuestro caso:
      P11= raíz cuadrada de [(2)^2]^11
      P11= 2^11=2048

  3. Hola me puedes ayudar a resolver un ejercicio de método determinísticos, Problema de Programación y Programación Lineal Entera.
    La empresa “La casa de la Salud” dispone de tres tipos de camiones y quiere transportar 410 toneladas de productos a la ciudad de Cúcuta. Se disponen de 10 camiones del tipo 1, con capacidad para 12 toneladas y con una utilidad de $580.000 por viaje, de 15 camiones tipo 2 con una capacidad de 13 toneladas y una utilidad de $670.000 por viaje y de 11 camiones tipo 3 con capacidad para 11 toneladas y una utilidad de $645.000 por viaje.

    espero tu pronta respuesta

  4. ¿Cuántas décimas de ciertas cantidades forman una progresión geométrica?
    ¿Cuándo una PG es creciente o decreciente?
    ¿Cómo podemos calcular el término enésimo de una PG ?
    ¿Cómo podemos calcular la suma de los términos de una PG?

    • Carlos:
      1.- ¿Cuántas décimas de ciertas cantidades forman una progresión geométrica?
      Es correcta la pregunta, o te refieres a ¿cuándo decimos que ciertas cantidades forman una progresión geométrica?
      Forman una progresión geométrica cuando cada uno se obtiene del anterior multiplicándole por una cantidad constante que se llama razón de la progresión.
      2.- ¿Cuándo una PG es creciente o decreciente?
      Creciente: si la razón es mayor que la unidad
      Decreciente: si la razón es menor que la unidad
      3.- ¿Cómo podemos calcular el término enésimo de una PG?
      Mediante la fórmula: an= a1xr^n-1
      Donde an es el término enésimo; a1 es el 1er término; r es la razón; y n e s el número de términos de la P.G.
      4.- ¿Cómo podemos calcular la suma de los términos de una PG?
      Si la P.G. es limitada mediante la fórmula: Sn= an.r-a1/r-1
      Si la P.G. es ilimitada mediante la fórmula: Sn= a1/1-r

  5. Me podrían ayudar con este: la cantidad de términos de una P.G, si a1=729, an =350 y r=3

    • Sharon:
      an= a1xr^n-1
      350= 729×3^n-1
      3^n-1=350/729
      Tomando logaritmos:
      log 3^n-1=log 350/729
      (n-1).log 3= log 350-log 729
      n-1= 2,544-2,862/0,477
      n-1=-0.318/0,477
      n-1= -0,666666…
      n-1= -2/3
      n= 1-2/3
      n=1/3
      n= número de términos es un número natural, en este caso es una fracción. ¿Es correcto el enunciado?

  6. Hola Manuel ayúdame con este: un arquitecto diseña un teatro con 15 asientos en la primera fila, 18 en la segunda y así sucesivamente. Si el teatro ha de tener 870 asientos de capacidad, ¿cuántas filas debe usar el arquitecto en su diseño?

  7. El segundo de progresión geométrica es -18 y el quinto término es 16 al cubo. Calcular el cuarto término. Por favor ayudadme es urgente.

    • Susan:
      Sabemos que:
      a3= a2.r
      a4= a3.r= (a2.r).r= a2.r^2
      a5= a4.r= (a2.r^2).r= a2.r^3
      Como sabemos el valor de a2 y a5, podemos calcular el valor de r:
      r^3= -16^3/18
      Operando y racionalizando el denominador obtenemos:
      r= -8/3.(raíz cúbica de 12)
      Sustituyendo en:
      a4= a2.r^2= (-18).[-8/3.(raíz cúbica de 12)]^2-256.(raíz cúbica de 18)

  8. El segundo término de una progresión geométrica -18 y el quinto término es 16 al cubo. Calcular el cuarto término. Por favor ayúdeme

    • Susan:
      Sabemos que:
      a3= a2.r
      a4= a3.r= (a2.r).r= a2.r^2
      a5= a4.r= (a2.r^2).r= a2.r^3
      Como sabemos el valor de a2 y a5, podemos calcular el valor de r:
      r^3= -16^3/18
      Operando y racionalizando el denominador obtenemos:
      r= -8/3.(raíz cúbica de 12)
      Sustituyendo en:
      a4= a2.r^2= (-18).[-8/3.(raíz cúbica de 12)]^2-256.(raíz cúbica de 18)

  9. Hola, me podrías ayudar con este ejercicio?

    Sonia está a dieta. La primera semana pierde 4 kilogramos y la última semana pierde 0,5 kg. Se sabe que las cantidades de peso que perdió están en progresión geométrica y que la suma total de kg que perdió fueron 7,5. ¿Cuantas semanas duró la dieta de Sonia?

    • Valentina:
      Sabemos que:
      Sn= an.r-a1/r-1
      7,5=0,5.r-4/r-1
      Operando y resolviendo esta ecuación, obtenemos:
      r= 0,5 kg
      Sabemos que:
      an= a1.r^n-1
      0,5=4.(0,5)^n-1
      Operando y tomando logaritmos en los dos miembros, queda:
      n-1= log0,125/log0,5= 3
      n-1= 3
      n= 4 semanas duró la dieta de Sonia

  10. Buenas noches,
    Me podrías ayudar con estos dos ejercicios?
    De las siguientes sucesiones inferior y/o superior (N+1)/(n-1) y de las siguientes sucesiones, determinar si son monótonas y si convergen o divergen. Justificar la respuesta.

    -4,9,-16,25,- 36,49,……

    Mil gracias.

    • Auralinda:
      1.- Un=n+1/n-1
      Vamos dando valores a n (te recomiendo que representes en una gráfica los valores obtenidos de manera que en el eje Y sitúes los valores de Un=n+1/n-1; y en el eje X los valores de n)
      Vamos dando valores a Un:
      para n=1———1+1/1-1=2/0= infinito
      para n=2———2+1/2-1=3/1= 3
      para n=3———3+1/3-1=4/2= 2
      para n=4———4+1/4-1=5/3= 1,666…
      para n=5———5+1/5-1=6/4= 1,5
      Cota superior no tiene porque tiende a infinito
      Cota inferior tiende a O, luego su CI= 0
      Es una sucesión decreciente y acotada inferiormente
      2.- -4,9,-16,25,- 36,49,…
      Es una sucesión alternada porque alternan los signos de sus términos y divergente porque tanto los términos pares como impares tienden a más infinito

  11. me toco fue hacer logaritmo por n era la incógnita

    • Víctor:

      No sabía exactamente a qué te referías, pero es cierto lo que dices, ya que la ecuación final es:
      5^n-1= 5^3
      tomando logaritmos en los dos miembros de la igualdad:
      log5^n-1= log5^3
      Aplicando la regla de logaritmos, en este caso es el logaritmo de una potencia:
      (n-1)log 5= 3.log5
      Simplificando en ambos términos de la igualdad el log 5, queda:
      n-1= 3
      n= 3+1= 4

  12. Ayuda con el problema 2, no entiendo que hizo para resolver

    • Víctor:
      1.- Con los datos que nos da el problema, y aplicando la fórmula de la suma de las progresiones geométricas limitadas (Sn= an.r-a1/r-1), se calcula an; es una ecuación de 1er grado donde la incógnita es an, únicamente hay que despejar ésta.
      2.- Una vez hallada an, y con el dato de a1 y r, dado por el enunciado del problema, y empleando la fórmula que relaciona an y a1 (an= a1.r^n-1), se calcula n que es el número de términos que tiene la progresión.

  13. Hola por favor me pueden ayudar con esto
    Una progresión geométrica cuyo primer término es 12 y la razón común es 8. Adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término.

    • César:
      1.- Término general
      an= a1.r^n-1
      an=12.8^n-1
      2.- la suma de los primeros 5 términos:
      hallamos a5= 12.8^4= 12.4096= 49.152
      Sn=an.r-a1/r-1
      S5= 49152.8-12/8-1= 56.172
      3.- el valor del décimo término.
      a10= 12.8^9= 1610612736

  14. x, y y z son términos consecutivos de una sucesión geométrica. Dado que x+y+z = 7/3 y que x^2 + y^2 + z^2 = 91/9, Halle x, y y z

    • Rafael:
      Como x, y, z son 3 términos consecutivos de una sucesión geométrica.
      Sea x= a1
      Sea y= a2= a1.r
      Sea z= a3= a1.r^2
      Sabemos que:
      x+y+z = 7/3
      Luego poniendo los tres términos en función de a1:
      a1+a1.r+a1.r^2= 7/3
      a1(1+r+r^2)=7/3 (ecuación 1)
      Y que:
      x^2 + y^2 + z^2 = 91/9
      Poniendo los tres términos en función de a1:
      a1^2+(a1.r)^2+(a1.r^2)^2= 91/9
      a1^2(1+r^2+r^4)= 91/9 (ecuación 2)
      De estas dos ecuaciones 1 y 2 se obtiene los valores pedidos

  15. Dividiendo un cierto número de 6 cifras en periodos de dos cifras, estos periodos forman una progresión geométrica, cuya razón es 2. Si a 1000 veces la suma de los términos se agrega el número dado, resulta 412896. ¿cuál es el número?

    • Julián:
      El número es 244.896 y así entiendo el problema(aunque tengo mis dudas en cuanto a la resolución)
      El número de 6 cifras es:
      a1a2a3a4a5a6 en el que:
      a1= centenas de millar
      a2= decenas de millar
      a3= unidades de millar
      a4= centenas
      a5= decenas
      a6= unidades
      Se agrupa en periodos de dos cifras, o sea:
      a1a2
      a3a4
      a5a6
      Estos periodos forman una progresión geométrica, cuya razón es 2, es decir:
      a1a2= a1a2
      a3a4= (a1a2).2
      a5a6= (a3a4).2= (a1a2).4
      Si a 1000 veces la suma de los términos se agrega el número dado, resulta 412896; es decir:
      Sabemos que:
      Sn= bn.r-b1/r-1 (he empleado bn y b1 para no confundir el término an y a1 de la fórmula con las cifras del número pedido)
      bn= (a1a2).4
      b1= a1a2
      Aplicándola tenemos:
      1000{[(a1a2).4].2-a1a2}+a1a2a3a4a5a6= 412896
      1000{[8(a1a2)]-a1a2}+a1a2a3a4a5a6= 412896
      1000{8(a1a2)-a1a2}+a1a2a3a4a5a6= 412896
      1000{7(a1a2)}+a1a2a3a4a5a6= 412896
      {7000(a1a2)}+a1a2a3a4a5a6= 412896
      Sabemos que:
      a1a2= 10a1+a2
      a1a2a3a4a5a6= 100.000a1+10.000a2+1.000a3+100a4+10a5+a6
      412896= 400.000+10.000+2.000+800+90+6
      Sustituyendo, nos queda:
      {7000(10a1+a2)}+100.000a1+10.000a2+1.000a3+100a4+10a5+a6= 400.000+10.000+2.000+800+90+6
      70.000a1+7.000a2+100.000a1+10.000a2+1.000a3+100a4+10a5+a6= 400.000+10.000+2.000+800+90+6
      Agrupando a1 y a2:
      70.000a1+100.000a1+10.000a2+7.000a2+1.000a3+100a4+10a5+a6= 400.000+10.000+2.000+800+90+6
      170.000a1+17.000a2+1.000a3+100a4+10a5+a6= 400.000+10.000+2.000+800+90+6
      De aquí podemos deducir que:
      a6= 6
      10a5= 90; a5= 90/10=9
      100a4= 800; a4= 800/100= 8
      Luego sabemos que las tres cifras finales son: 896
      Mi duda en el planteamiento está aquí ya que los términos a1, a2 y a3 no se pueden deducir de esta manera, ya que los números que resultan no son números enteros (a1 y a2) que es el requisito que se establece en el enunciado; y a3 habría que multiplicarlo por dos
      1.000a3= 2.000; a3= 2.000/1.000= 2
      17.000a2= 10.000; a2= 10.000/17.000= 10/17
      170.000a1= 400.000; a1= 400.000/170.000= 40/17
      Se pueden deducir de la progresión geométrica:
      a5a6= 4(a1a2)
      Sabemos que a5a6= 96, luego
      96/4= a1a2
      a1a2= 24
      Sabemos que:
      a3a4= a5a6/2= 96/2= 48
      Luego ya conocemos las 6 cifras:
      a1a2= 24
      a3a4= 48
      a5a6= 96
      Luego el número pedido es:
      244.896
      Pero te insisto en que tengo mis dudas sobre la resolución.

  16. Buenas noches, Manuel me podrías ayudar con este ejercicio por favor:
    Halla los tres números de una progresión geométrica sabiendo que su suma vale 12 y su producto -216

    • Indy:
      Así entiendo el problema:
      a1; a2 y a3 son los tres términos que nos piden.
      Sabemos que:
      a1= a1
      a2= a1.r
      a3= a1.r^2
      Y que:
      Sn= an.r-a1/r-1
      Luego, poniendo a3 en función de a1:
      12= a1(r^3-1)/r-1
      Dividiendo:
      (r^3-1)/r-1= r^2+r+1
      luego:
      12= a1(r^3-1)/r-1= a1[(r^2+r+1).(r-1)]/r-1
      12= a1(r^2+r+1) (ecuación 1)
      Por otra parte, sabemos que:
      P= √(a1.an)^n
      Poniendo a3 en función de a1:
      -216= √[a1.(a1.r^2)]^3
      Elevamos ambos términos al cuadrado:
      (-216)^2= {√[a1.(a1.r^2)]^3}^2
      (-216)^2= [a1.(a1.r^2)]^3
      [(-6)^3]^2= [a1.(a1.r^2)]^3
      [(-6)^2]^3= [a1.(a1.r^2)]^3
      Extraemos la raíz cúbica en ambos términos:
      (-6)^2= a1.(a1.r^2)
      36= a1^2.r^2
      Extrayendo la raíz cuadrada:
      6= a1.r
      a1= 6/r (ecuación 2)
      De la ecuación 1 y 2, tenemos:
      r^2-r+1= 0
      Obtenemos los valores de
      r= (1+/-i.√3)/2
      a1= 12/[1+/-(i.√3)]
      a2= 12
      a3= 3[1+/-(i.√3)]
      Pero en ninguno de los casos da los valores de la suma y el producto.
      ¿Puedes revisar el enunciado?

  17. Hola Manuel ¿me podrías ayudar con este ejercicio?

    El Gerente de una empresa ha observado que si fija el precio de un libro en $ 25 vende 15.000 unidades. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 500 ejemplares, la ecuación entonces es la siguiente:
    f(x)=(25+x)(15.000-500x)
    Donde x representa el incremento del precio en pesos
    ¿Qué precio deberá fijar el Gerente a cada libro de tal forma que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea el máximo?

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Operando y simplificando: f(x)=(25+x)(15.000-500x), nos queda la siguiente ecuación:
      f(x)= -x^2+5x+750
      Al ser una ecuación de 2º grado, su gráfica será una parábola y tendrá o máximo o mínimo
      Hallamos su derivada:
      f´(x)= -2x+5
      En este caso nos estamos fijando en las pendientes de las infinitas rectas tangentes a la parábola
      A continuación igualamos la derivada a cero:
      0= -2x+5
      2x= 5
      x= 2,5
      Luego x= 2,5 es un punto crítico
      Y tenemos las recta tangentes que son horizontales
      Para saber si tenemos un máximo o un mínimo, damos valores a x, un poco más pequeño y un poco más grande:
      x= 2
      Sustituimos en la 1a derivada:
      f´(x)= -2x+5
      f´(x)= -2x+5= -2.2+5= -4+5= 1 (lo importante es el signo, en este caso positivo, luego la pendiente es positiva)
      x= 3
      Sustituimos en la 1a derivada:
      f´(x)= -2x+5
      f´(x)= -2x+5= -2.3+5= -6+5= -1 (lo importante es el signo, en este caso negativo, luego la pendiente es negativa)
      Luego al pasar de una pendiente positiva a una negativa, es un máximo.
      Por tanto, el valor del libro será: 25+2,5= 27,5 $ por ejemplar para que los ingresos sean máximos

  18. Hola Manuel me podrías ayudar con este ejercicio por favor?

    Las cotas superior e inferior de la sucesión Un = (n+3)/(n+1) son:
    a. 1
    b. 3
    c. 2
    d. 4

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Un = (n+3)/(n+1)
      para n= 0: U0= 0+3/0+1=3/1= 3 es la cota superior
      La cota inferior:
      lim (n+3)/(n+1)= 1. es la cota inferior
      Luego:
      La cota superior es 3 (respuesta b)
      La cota inferior es 1 (respuesta a)

  19. Hola Manuel ayúdame con este ejercicio por favor
    Se tienen 112 cerdos cuyo peso promedio es de 23 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 106 días y un aumento de peso de 1.4 kg por día. ¿Cuánto pesa cada cerdo al final de los 106 días?

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Un cerdo pesa el 1er día 23 kg, luego:
      a1= 23
      Aumenta a razón de 1,4 kg cada día, luego d= 1,4
      El número de días que engordan son 106, luego: n= 106
      a1= 23
      a2= 23+1,4


      a106= 23+(106-1).1,4= 170 kg

  20. hola manuel me podrias ayudar con este ejercicio??
    En una granja se tienen 160 cerdos cuyo peso promedio es de 24 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 106 días y un aumento de peso de 1.2 kg por día. ¿Cuánto pesa cada cerdo al final de los 106 días?

  21. hoa manuel me ayudarias con esto por favor?
    El noveno término de la siguiente progresión: {2, -6, 18, -54,….}, es:

  22. hola manuel me ayudas por favor?
    La derivada de x^2x es:

    • Frank:
      y= (x)^2x
      Se puede hacer de dos formas:
      1.- Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación:
      Ly= L(x)^2x
      Como es el logaritmo de una potencia:
      Ly= 2x.Lx
      Ahora derivamos, aplicando las reglas de derivación:
      y´/y= 2Lx+1/x.2x= 2Lx+2
      Despejando y´:
      y´= (2Lx+2).y= (2Lx+2).(x)^2x= 2(x)^2x(Lx+1)
      2.- La derivada de una función exponencial general: y= u^v
      La fórmula es:
      y´= u^v.Lu.v´+v.(u^n-1).u´
      En nuestro caso:
      u= x
      v= 2x
      Aplicando la fórmula:
      y´= [(x)^2x].Lx.2+2x.[(x)^2x-1].1= [(x)^2x].2.Lx.+2x.[(x)^2x].(x^-1)= [(x)^2x].2.Lx.+2x.(x)^2x.1/x= [(x)^2x].2.Lx.+2.[(x)^2x]= 2.[(x)^2x](Lx+1)
      En mi opinión es más sencillo el método 1, tomando logaritmos

  23. Hola Manuel podrías ayudarme con este ejercicio?
    La dietista de la universidad informa a sus pacientes que con determinada dieta y un mínimo de ejercicios diarios una persona
    puede bajar de peso 250 g por semana. Si una persona que pesa 100 kg quiere bajar a su peso normal de 72 kg ¿Cuántas semanas tardaría en lograrlo?

  24. El primer término de una sucesión es Uo= 5 y la relación de recurrencia Un-1 + 3. El término general Un es:

    a. Uo – 3n
    b. Uo + 3n
    c. Uo – 2n
    d. Uo – n

  25. hola manuel podrias ayudarme con este ejercicio?
    La primera derivada de cos (8x+ √ 7)? es:
    Seleccione una respuesta.
    a. sen(8x)
    b. 8 sen (8x+ √(7))
    c. -8 sen (8x+ √(7))
    d. sen (8x+ √(7))

    • Frank:
      y= cos (8x+ √ 7)
      y´= -8.sen (8x+ √ 7)
      Por tanto, la respuesta es la c

      • 19.El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el octavo es 384. Calcula la suma de los términos cuarto y quinto.
        Hola Manuel ¿me puedes ayudar con esto por favor?

      • Diana:
        Expresamos a8 en función de a1 y como es una progresión geométrica, sabemos que:
        an= a1.(r^n-1)
        En nuestro caso,
        a8= a1.(r^8-1)
        a8= 3.(r^7)
        r^7= 384/3= 128
        r^7= 128= 2^7
        r^7= 2^7
        r= 2
        El término cuarto será: a4:
        a4= 3.2^3= 3.8= 24
        El término cuarto será: a5:
        a5= 3.2^4= 3.16= 48
        Luego la suma de a4 y a5 será:
        a4+a5= 24+48= 72

  26. Hola Manuel me puedes ayudar con este ejercicio?
    En una granja se tienen 100 cerdos cuyo peso promedio es de 25 kg, los cuales tendrán un tiempo de engorde de 100 días y un aumento de peso de 1.5 kg por día. ¿Cuánto pesa cada cerdo al final de los 100 días?
    Seleccione una respuesta.
    a. 162.8 kilos
    b. 93.0 kilos
    c. 92.5 kilos
    d. 173.5 kilos

    • Frank:
      Así entiendo el problema:
      Un cerdo pesa el 1er día 25 kg, luego:
      a1= 25
      Aumenta a razón de 1,5 kg cada día, luego d= 1,5
      El número de días que engordan son 100, luego: n= 100
      a1= 25
      a2= 25+1,5


      a100= 25+(100-1).1,5= 173,5 kg

  27. Hola manuel podrais ayudarme con este ejercicio?
    Una progresión geométrica es una sucesión de términos en donde el cociente entre dos términos consecutivos siempre es igual. Una pelota se deja caer desde una altura de 60 pies. La elasticidad de esta pelota es tal que rebota tres cuartas partes de la distancia desde donde cayó. ¿Qué tan alto rebota la pelota en el octavo rebote?
    Seleccione una respuesta.

    a. 12 pies
    b. 14 pies
    c. 6 pies
    d. 9 pies

    • Frank:
      Así lo entiendo:
      Como hay 8 rebotes, hay 9 picos es decir 9 subidas, luego:
      n= 9
      a1= 60
      luego, el rebote 8 es el pico de subida 9:
      a9= 60(3/4)^8= 60.6561/65536= 393660/65536= 6,00677490234375= 6 pies

  28. Ayuda urgente por favor: El venteavo de una progresión geométrica es 2 por 3 elevado a la 19. ¿Cuál es el sexto término?

  29. Solución
    Una compañía va a distribuir 4.600.000 en bonos a sus 10 mejores vendedores, el último premiado recibirá 100.000 y la diferencia entre los vendedores debe ser constante, ¿determine el bono para cada vendedor?

    • Camilo:
      Se trata de una progresión aritmética en la que:
      el número de términos: n= 10
      el último término es a10= 100.000
      Sabemos que
      Sn= a1+an/2.n
      En nuestro caso:
      4.600.000= a1+100.000/2.10
      a1= 820.000
      Sabemos que
      an= a1+(n-1).d
      En nuestro caso:
      100.000= 820.000+(10-1).d
      d= -80.000 (el signo negativo indica que la progresión es decreciente porque el 1er vendedor cobrará más que el segundo, y así sucesivamente hasta el último (a10)

  30. Hola Manuel buenas tardes necesito ayuda para hacer este trabajo Dice calcular el primer término de una progresión geométrica de razón 4 cuya 7 desimo es menos 49.152

  31. Manuel buenas noches, ayúdame con la solución de este ejercicio f(x)=sen^2 (3x^2+2), aplicando las reglas de la derivación, si puedes explicame los procedimientos.
    Te agradezco
    Bendiciones

    • Santiago:
      f(x)=sen^2 (3x^2+2)
      1º.- Es la derivada de una potencia porque el seno está elevado al cuadrado
      y= u^n
      y´= n.(u^n-1).u´
      En nuestro caso:
      u= sen (3x^2+2)
      n= 2
      Luego:
      f´(x)= 2.sen(3x^2+2).u´ (te lo dejo indicado como u´ para que te quede más claro)
      Ahora hay que derivar u, que en este caso es la derivada del seno
      u= sen x
      u´= cos x.x´
      En nuestro caso:
      sen(3x^2+2)= cos (3x^2+2).x´
      Pero x´ es la derivada de una suma, cuya derivada es la derivada de cada sumando, el 1er sumando es la derivada de una potencia (que la hemos visto antes), y el segundo sumando es la derivada de una constante, luego:
      x´= 2.3x+0 (la derivada de una constante es cero)
      x´= 6x
      Por tanto la derivada del sen(3x^2+2) queda:
      sen(3x^2+2)= cos (3x^2+2).x´
      Sustituimos x´por su valor:
      sen(3x^2+2)= cos (3x^2+2).x´= cos (3x^2+2) 6x
      Así: u´= cos (3x^2+2) 6x
      Luego la derivada que nos piden es, sustituyendo u´por su valor:
      f´(x)= 2.sen(3x^2+2).u´= 2.sen(3x^2+2)cos (3x^2+2) 6x= 6x. sen 2(3x^2+2). (porque sen 2a= 2.sen a. cos a)

  32. hola manuel buenas tardes este es el ejercicio completo

    Calcula las siguientes derivadas de orden superior.

    f(x)=e^x ; f^”’ (x)

  33. Porfa me puedes colaborar con este? f(x)=2^X

  34. Hola Manuel, podrías ayudarme con este ejercicio.
    Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
    f(x)=e^x

  35. oye ayúdame porfa con el siguiente problema:
    Determine los 3 números de una progresion geométrica sabiendo que su suma es 26 y el mayor menos el término del medio es igual a seis veces el menor

    • Kevin:
      Sea a1, a2 y a3 los términos pedidos, y que a1<a2<a3
      Sabemos que:
      a1= a1
      a2= a1.r
      a3= a1.r^2
      Su suma es 26:
      a1+a2+a3= 26
      El mayor menos el término del medio es igual a seis veces el menor:
      a3-a2= 6a1
      Ponemos todos los términos en función de a1:
      a1+(a1.r)+(a1.r^2) = 26 (ecuación 1)
      (a1.r^2)-(a1.r)= 6a1 (ecuación 2)
      Sacando factor común a1 en la ecuación 2 queda:
      a1(r^2-r-6)=0
      Luego:
      a1= 0 ( no es posible) ó r^2-r-6= 0
      Resolviendo esta ecuación de 2º grado en r, nos queda:
      r= 3 y r= -2
      para r= 3 los números son: a1= 2; a2= 6; a3= 18
      para r= -2, los números son: a1= 26/3; a2= -52/3; a3= 104/3

  36. buenas tardes estimados amigos
    por favor me pueden ayudar con estos 4 ejercicios grracias

    • Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.
    1) f (x) = ln(x) / x

    2) 𝑓(𝑥) = 𝑐os√3X ^−2 + 2

    • Calcula las siguientes Derivadas Impliticas.

    3) Sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1

    • Calcula las siguientes derivadas de orden superior.

    4) f (x) = log(x); 𝑓′′ (𝑥)

    • Carlos:
      1.- f (x) = ln(x) / x
      Es la derivada de un cociente: y= u/v; y´= v´.u-u´.v/v^2
      En nuestro caso:
      u= Ln(x)
      v= x
      Luego:
      f´(x) = 1/x.x-1.ln(x)/x^2= 1-Ln(x)/x^2
      2.- f(𝑥) = 𝑐os√3X ^−2 + 2: No me queda claro el enunciado
      3.- Calcula las siguientes Derivadas Implícitas.
      Sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
      Lo que nos piden es: dy/dx
      Para mayor facilidad hacemos el siguiente cambio de variable: y´= dy/dx
      cosx-2y´.2.sen 2y= 0
      cosx -4y´.sen2y= 0
      4y´.sen2y= cosx
      y´= cosx/4.sen2y
      Deshacemos el cambio:
      dx/dy=cosx/4.sen2y
      4.- Calcula las siguientes derivadas de orden superior.
      f (x) = log(x); 𝑓′′ (𝑥)
      f (x) = log(x)
      f´(x)= log e/x
      f´´(x)= -log e/x^2

  37. buenas noches a todos
    manual mucho gusto en saludarlo
    por favor me podrían ayudar con es tos 4 ejercicios les agradezco

    1) f (x) = x + ln(x)
    2) f (x) = x ⋅ e^x
    3) sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
    4) f (x) = 2^x; 𝑓′′′ (𝑥)

    • Carlos:
      1) f (x) = x + ln(x)
      f´(x)= 1+1/x= x+1/x
      2) f (x) = x ⋅ e^x
      f´(x)= e^x+e^x.x= e^x(1+x)
      3) sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
      Sen (𝑥) + 2 cos (2𝑦) = 1
      Lo que nos piden es: dy/dx
      Para mayor facilidad hacemos el siguiente cambio de variable: y´= dy/dx
      cosx-2y´.2.sen 2y= 0
      cosx -4y´.sen2y= 0
      4y´.sen2y= cosx
      y´= cosx/4.sen2y
      Deshacemos el cambio:
      dx/dy=cosx/4.sen2y
      4) f (x) = 2^x; 𝑓′′′ (𝑥)
      f(x)=2^x ; f^”’ (x)
      f´(x)= 2^x.Ln2
      f´´(x)= 2^x.Ln2.Ln2= 2^x.(Ln^2)2
      f´´´(x)= 2^x.(Ln^3)2

  38. hola manuel podrias ayudarme con este ejercicio:
    Calcula las siguiente derivada de orden superior.

    dada f(x)=e^x hallar f^”’ (x)

  39. Hola, me podrían ayudar con este ejercicio por favor.

    Las edades de 5 hermanos están en progresión geométrica, si el producto de las edades es 1024, ¿qué edad tiene el mayor si el menor de todos tiene un año?

    • Marco:
      Sabemos que:
      a1= 1
      y que el producto de las edades de los 5 hermanos están en progresión geométrica:
      a1.a2.a3.a4.a5= 1024
      También sabemos que:
      an= a1.r^n-1
      Por lo que podemos expresa las edades de los 4 hermanos en función de la edad del menor:
      a1.(a1.r).(a1.r^2).(a1.r^3)(a1.r^4)= 1024
      Sustituyendo a1 por su valor:
      1.(1.r).(1.r^2).(1.r^3)(1.r^4)= 1024
      r.r^2.r^3.r^4= 1024
      r^(1+2+3+4)= 1024
      r^10= 1024
      1024= 2^10
      r^10= 2^10
      Extrayendo la raíz de índice 10,
      r= 2
      La edad del hermano mayor será:
      a5= a1.r^4= 1.2^4
      a5= 16 años

  40. hola manuel podrias ayudarme con estos ejercicios. te agradezco mucho tu ayuda.

    Aplicando las reglas de la derivación calcular las siguientes derivadas.

    a) f(x)=x.e^x

    b) f(x)=x^2.ln⁡(x)

    • Álex:
      a) f(x)=x.e^x
      Es la derivada de un producto:
      f(x)= u.v
      f´(x)= u´.v+v´.u
      En nuestro caso
      a) f(x)=x.e^x
      u= x
      v= e^x
      f´(x)= 1.e^x+e^x.x= e^x+e^x.x= e^x(1+x)
      b) f(x)=x^2.ln⁡(x)
      Es igual que la anterior:(derivada de un producto)
      f´(x)= 2x.Lx+(1/x).x^2= 2x.Lx+x= x(2Lx+1)= x(Lx^2+1)

  41. hola manuel me puedes colaborar con estos ejercicios:

    Desarrolle el siguiente límite usando el principio de sustitución 𝑎) lim 𝑥→3 (2 ^ 𝑥 + 1)

    Resuelva el siguiente límite usando formas indeterminadas
    lim t→-4 t^3+64 ^ t+4

    Calcule el límite al infinito de la siguiente función.
    lim x→∞⁡ 2x+3 ^ 3x+1

    Hallar el límite de la siguiente función trigonométrica
    lim x→1 6 cos⁡(x-1)

    Muchas Gracias.

    • July:
      𝑎) lim 𝑥→3 (2 ^ 𝑥 + 1)
      lim 𝑥→3 (2 ^ 𝑥 + 1)= 2 ^ 3 + 1= 8+1= 9
      Hallar el límite de la siguiente función trigonométrica
      lim x→1 6 cos⁡(x-1)
      Hallar el límite de la siguiente función trigonométrica
      lim x→1 6 cos⁡(x-1)= 6.cos(1-1)= 6.cos 0= 6.1 = 6

  42. Hola Manuel podrías ayudarme con estos ejercicios:

    a) lim x—>∞ = √(1+x/x^2)

    en este caso el radicando es toda la fracción dentro del parentesis

    • Álex:
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      Dividimos numerador y denominador por x: dentro de la raíz cuadrada entra como x^2
      lim x—>∞ = √(1+x/x^2) = lim x—>∞ = √(1/x^2+x/x^2/x^2/x^2)= lim x—>∞ = √(1/x^2+1/x/1)
      sustituimos x por su valor:
      lim x—>∞ √(1/x^2+1/x/1)= √(1/∞+1/∞/1)= √0+0/1= √0/1 = 0

  43. Hola Manuel podrías ayudarme con estos ejercicios:

    a) lim x—>∞ = √(1+x/x^2)

    b) lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)

    c) f) lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)

    te agradezco mucho tu ayuda!!

    • Álex:
      a) lim x—>∞ = √(1+x/x^2) (entiendo que solo (1+x) es el radicando, es decir, es lo único que está incluido en la raíz cuadrada)
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x: x^2; dentro de la raíz cuadrada entra como x^4
      lim x—>∞ = √(1+x/x^2) = lim x—>∞ = √(1/x^4+x/x^4/x^2/x^2)= lim x—>∞ = √(1/x^4+1/x^3/1)
      sustituimos x por su valor:
      lim x—>∞ √(1/x^4+1/x^3/1)= √(1/∞+1/∞/1)= 0+0/1= 0/1 = 0
      b) lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)
      dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x: x^2
      lim x—> ∞ (5x^2/x^2 +3x/x^2+1/x^2)/(2x^2/x^2-4x/x^2-5/x^2)= lim x—> ∞ (5 +3/x+1/x^2)/(2-4/x-5/x^2)
      Sustituimos x por su valor:∞
      (5 +3/∞+1/∞)/(2-4/∞-5/∞)= 5+0+0/2-0-0= 5/2
      c) lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)
      sustituyendo x por su valor, nos queda una indeterminación de la forma ∞/∞
      lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)= lim x—> ∞ = x.x/x(x^2+1)= lim x—> ∞ = x/(x^2+1)
      dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de x: x^2
      lim x—> ∞ = x/x^2/(x^2/x^2+1/x^2)= lim x—> ∞ = 1/x/(1+1/x^2)=
      Sustituimos x por su valor:∞
      1/∞/(1+1/∞)= 0/1+0= 0/1= 0

  44. hola manuel, me refiero a este limite que le respondiste a carlos el 13 octubre, 2016 en 5:23 AM

    3.- lim x^2 / (x^3+x)
    x→∞
    lim x^2 / (x^3+x)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x /(x^2+1)= x/x^2/x^2/x^2+1/x^2= 0/1= 0
    x→∞ x→∞ x→∞ x→∞

    • Álex:
      3.- lim x^2 / (x^3+x)
      x→∞
      Es un limite de los llamados algebraicos.
      Si sustituyes el valor de x en la fracción queda una indeterminación de la forma: ∞/∞ porque: ∞^2/∞^3+∞= ∞/∞
      La indeterminación solo nos indica que para obtener el cociente no es suficiente con dividir numerador entre denominador (4/2=2)
      Ahora hay que buscar un procedimiento que permita quitar esa indeterminación
      Como el denominador es: x^3+x
      Podemos sacar factor común x: x(x^2+1)
      A continuación lo ponemos en el denominador:
      lim x^2 / (x^3+x)= lim x^2 / x(x^2+1)
      x→∞ x→∞
      Ahora nos queda una fracción de la forma: x^2 / x(x^2+1)= x.x / x(x^2+1) y de la que se puede simplificar por x en el numerador y en el denominador, resultando:
      x.x / x(x^2+1)= x / (x^2+1)
      Luego nos queda:
      lim x^2 / x(x^2+1)= lim x.x / x(x^2+1)= lim x / (x^2+1)
      x→∞ x→∞ x→∞
      Veamos si ahora al sustituir x por su valor hemos quitado la indeterminación: (cuando se da el valor a x desaparece el límite)
      lim x / (x^2+1)= ∞/∞^2+1= ∞/∞
      x→∞
      Por tanto, sacando factor común no ha sido suficiente para eliminar la indeterminación, hay que buscar otro procedimiento
      Como x→∞ dividimos por la mayor potencia o exponente de x tanto el numerador como el denominador: x^2
      lim x / (x^2+1)= lim x/x^2 / (x^2/x^2+1/x^2)
      x→∞ x→∞
      Ahora simplificamos
      lim 1/x / (1/1+1/x^2) = lim 1/x / (1+1/x^2)
      x→∞ x→∞
      A continuación damos a x su valor para ver si hemos quitado la indeterminación:
      lim 1/x / (1+1/x^2)= 1/∞ / (1+1/∞) (aclaración: ∞^2= ∞ más grande pero infinito)
      x→∞
      Ahora nos queda: (1/∞; imagínate que divides 1/1000.000.000.000.000…, es decir 1 entre una cantidad enorme, es prácticamente cero, en el límite es cero)
      Luego el numerador queda: 1/∞
      el denominador queda: 1+1/∞
      Podemos poner
      1/∞ / (1+1/∞)= 0/1+0= 0/1= 0
      Espero haberte ayudado

  45. hola manuel te agradezco mucho que me ayudes con estos ejercicios:

    a) lim θ—>0= (sen3θ)/(2θ)

    b) lim θ—>0= (4sen9θ)/3θ

    c) lim x—>∞ = √(1+x)/x^2

    d) lim x—>∞ = √(3x+2)-x

    e) lim x—> ∞ = [(x^4+3x)/(3x^3-4x^2]

    f) lim x—> ∞ = (5x^2 +3x +1)/(2x^2-4x-5)

    f) lim x—> ∞ = x^2/(x^3+x)

    • Álex:
      a) lim θ—>0= (sen3θ)/(2θ)
      lim θ—>0= (sen3θ)/(2θ)= lim θ—>0= (3θ)/(2θ)= 3/2
      b) lim θ—>0= (4sen9θ)/3θ
      lim θ—>0= (4sen9θ)/3θ= lim θ—>0= (4.9θ)/3θ= 36/3= 12
      c) lim x—>∞ = √(1+x)/x^2
      lim x—>∞ = √(1+x)/x^2 (entiendo que es solo el numerador lo que está dentro de la raíz cuadrada
      lim x—>∞ = √(1+x)/x^2 dividimos por x^2 numerador y denominador. Dentro de la raíz cuadrada entra como x^4
      lim x—>∞ = √(1/x^4+x/x^4)/x^2/x^2= √(1/∞+1/∞)/1= 0/1=0
      d) lim x—>∞ = √(3x+2)-x
      lim x—>∞ = √(3x+2)-x Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador:√(3x+2)-x
      lim x—>∞ = [√(3x+2)-x][√(3x+2)+x]/[√(3x+2)+x]
      El numerador es una igualdad notable del tipo: (a-b)(a+b)=a^2-b^2
      lim x—>∞ = 3x+2-x^2/[√(3x+2)+x]
      Dividimos por x^2
      lim x—>∞ = 3x/x^2+2/x^2-x^2/x^2/[√(3x/x^2+2/x^2)+x/x^2]
      lim x—>∞ 3/x+2/x^2-1/[√(3/x+2/x^2)+1/x]
      3/∞+2/∞-1/[√(3/∞+2/∞)+1/∞]= 0+0-1/[√(0+0)+0]= 1/0= ∞
      e) lim x—> ∞ = [(x^4+3x)/(3x^3-4x^2]
      lim x—> ∞ = [x(x^3+3)/x(3x^2-4x]
      lim x—> ∞ = [(x^3+3)/(3x^2-4x]
      Dividimos por x^3
      lim x—> ∞ = [(x^3/x^3+3/x^3)/(3x^2/x^3-4x/x^3]
      lim x—> ∞ = [(1+3/x^3)/(3/x-4/x^2]
      = [(1+3/∞)/(3/∞-4/∞]= 1+0/0-0= 1/0= ∞

  46. Si los términos sucesivos a , a+2 , 10-a forman una progresión geométrica y a pertenece a los reales , la suma de los posibles valores de a.

    • José:
      Me da la sensación de que el enunciado está incompleto, pero así lo entiendo:
      Si los términos son sucesivos, sabemos que:
      r= a2/a1= a+2/a
      r= a3/a2= 10-a/a+2
      Igualando en r:
      a+2/a=10-a/a+2
      Operando y despejando queda la siguiente ecuación de 2º grado en a:
      a^2-3a+2= 0
      a= 2
      a= 1
      Ambas soluciones de a dan una progresión geométrica:
      para a= 2: 2, 4, 8…
      para a= 1: 1, 3, 9…
      Luego la suma pertenecerá al conjunto de los números reales

  47. Como resuelven dos términos consecutivos 54, 81 y el numero inicial es 24. Hallar la ubicación de estos términos progresión geométrica

    • Ronny:
      Así entiendo el problema:
      a1= 24
      Como 54 y 81 son términos consecutivos, esto nos permite hallar la razón de progresión:
      r=81/54=3/2
      Una vez hallada la razón:
      a2= a1.r= 24.3/2= 36
      a3= a2.r= 36.3/2= 54
      a4= a3.r= 54.3/2= 81
      Luego:
      54 es el 3er término: a3
      81 es el 4º término: a4

  48. como resolverían lo siguiente…

    Hallar el número de términos y la razón de una progresión geométrica cuyo primer término es 2, el último 13120 y la suma de todos sus términos 19682.

    me tiene con 1001 dudas jajaja

    • Dershi:
      Así entiendo el problema:
      a1= 2
      an= 13120
      sn= 19682
      Sabemos que:
      Sn= an.r-a1/r-1
      19682= 13120.r-2/r-1
      19682r-19682= 13120r-2
      19682r-13120r= -2+19682
      6562r= 19680
      r= 19680/6562= 2,999 = 3 (aproximadamente)
      Sabemos que:
      an= a1.r^n-1
      13120= 2.(3)^n-1
      13120/2= .(3)^n-1
      6560= (3)^n-1
      Tomando logaritmos en ambos miembros de la igualdad:
      log 6560= log (3)^n-1
      (n-1).log3= log 6560
      n-1= log 6560/log3
      n-1= 3,816903/0,477121
      n-1= 7,999= 8 (aproximadamente)
      n= 8+1= 9

  49. buenas noches a todos me podrian ayudar con estos ejercicios
    1. Principio de Sustitución
    a)

    lim
    t→4 (t^3-64 )/ (t-4)

    2. Forma Indeterminada

    b)
    lim
    x→4 ⁡∛ (x+4)

    3. Límites al Infinito

    c)
    lim
    x→∞ x^2 / (x^3+x)

    4. Limites de Funciones Trigonométricas

    d)
    lim
    θ→0 sen3θ / 2θ

    • Carlos:
      1.- lim (t^3-64 )/ (t-4)
      t→4
      Es una forma de indeterminación 0/0
      lim (t^3-64 )/ (t-4)= lim (t^3-4^3 )/ (t-4)
      t→4 t→4
      Dividimos:
      t^3-4^3/t-4 aplicando la regla de Ruffini:
      lim t^2+4t+16
      t→4
      Sustituimos t por su valor:
      4^2+4.4+16= 16+16+16=48
      2.- lim ⁡∛ (x+4)= ⁡∛(4+4)= ⁡∛ 8 =⁡∛ 2^3= 2
      x→4
      3.- lim x^2 / (x^3+x)
      x→∞
      lim x^2 / (x^3+x)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x^2 /x(x^2+1)= lim x /(x^2+1)= x/x^2/x^2/x^2+1/x^2= 0/1= 0
      x→∞ x→∞ x→∞ x→∞
      4.- lim sen3θ / 2θ= lim 3θ / 2θ= 3/2
      θ→0 θ→0

      • Hola Manuel la verdad no entiendo muy bien la respuesta al número 3 podrías explicarla? gracias

      • Alex:
        Entiendo que te refieres al número 3 de la página de progresiones geométricas.
        Es la aplicación de las fórmulas de la suma de una progresión geométrica de n términos; y la aplicación de la fórmula del u´timo término para calcular el número de términos.
        La razón de la progresión se calcula mediante la división del 2º término entre el primero, en aplicación de la definición de progresión geométrica.
        Una vez obtenida la razón, 4, se aplica la fórmula de la suma:
        Sn= an.r-a1/r-1
        A continuación se aplica la fórmula del último término para calcular el número de elementos: n
        2^14= 2^2n-2
        Tomando logaritmos:
        log2^14= log 2^2n-2
        14.log 2= 2n-2.log 2
        Simplificamos en ambos términos log2
        14= 2n-2
        2n= 14+2
        2n= 16
        n= 16/2=8

  50. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,…

    • María Esperanza:
      Hallamos la razón de la progresión geométrica:
      r=a2/a1=6/3= 2
      Calculamos el octavo término: a8
      an= a1.r^n-1
      En esta caso:
      a8= 3.(2)^7
      a8= 3.128= 384
      Finalmente calculamos el producto pedido:
      P= raíz cuadrada de (a1.a8)^8
      P8= raíz cuadrada de (3.384)^8
      P8= raíz cuadrada de (1152)^8
      P8= raíz cuadrada de 3101843146481947279097856
      P8= 1761205026816
      P= raíz cuadrada de (3.384)^8

      • hola Manuel

        Hola me puedes ayudar a resolver un ejercicio de método determinísticos, Problema de Programación y Programación Lineal Entera.
        La empresa “La casa de la Salud” dispone de tres tipos de camiones y quiere transportar 410 toneladas de productos a la ciudad de Cúcuta. Se disponen de 10 camiones del tipo 1, con capacidad para 12 toneladas y con una utilidad de $580.000 por viaje, de 15 camiones tipo 2 con una capacidad de 13 toneladas y una utilidad de $670.000 por viaje y de 11 camiones tipo 3 con capacidad para 11 toneladas y una utilidad de $645.000 por viaje.

        gracias

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